Solutions de l`examen 2012

Corrigé :Solutions de la deuxième édition du Concours de mathématiques
Poincaré
Question 1:
a) 1, 4, 9, 16, 25, etc. sont des carrés parfaits car ils sont respectivement les carrés des
nombres 1, 2, 3, 4,5, etc. Le plus petit carré parfait inférieur à 1000 est 961 car
Par suite, il y a 31 carrés parfaits entre 1 et 1000 dont 16 sont impairs et
ainsi il y a 16 carrés parfaits dans la suite 1,3, 5, …, 999.
b) 1ère ligne : 1 dont la somme est 1=
2e ligne : 3 5 dont la somme des deux nombres est égale à 3+5=8=
3e ligne : 7 9 11 dont la somme des 3 nombres est égale à 7+9+11=27=
.
.
.
2000e ligne : sa somme est égale à
Question 2 :
Le triangle ABC est rectangle en B; soit h =BD, la hauteur relative à l’hypoténuse. Elle partage le
triangle ABC en deux triangles rectangles, à savoir le triangle ADB et le triangle BDC.
Le triangle ADB est semblable au triangle ABC car l’angle A est commun et les angles D et B sont
égaux. De même, le triangle BDC est semblable au triangle ABC. Par suite, les triangles ADB et
BDC sont semblables au triangle ABC.
Question 3 :
Soient
∑
(
.
et
sont deux entiers positifs quelconques; comme
(
) (
) (
) (
) (
e
)
(
)
car le 7 terme est
)
Question 4 :
[ ]
Or ∑
(
∑
)(
∑
∑
)
∑
et donc
∑
(
(
(
∑
)
(
)(
)
)
)(
)
.
Par suite, [ ]
Question 5 :
Soit
un nombre palindrome ayant un nombre pair de chiffres; on a
On a
(
)
)
(
)
(
.
∑
Par suite,
(
) .
Or,
est divisible par 11 et donc
est divisible par 11.
Question 6 :
( )
( )
Or ( )
(
D’autre part, si
)
( )
si cette limite existe.
( ) et donc ( )
.
,
(
( )
Et donc ( )
( )
( )
)
où
( )
( )
( )
est une constante d’où
( )
( )
. On obtient ( )=
( )
( )