Séminaire Henri Cartan M ICHEL Z ISMAN La théorie de Marston Morse, II : topologie algébrique Séminaire Henri Cartan, tome 12, no 2 (1959-1960), exp. no 15, p. 1-16 <http://www.numdam.org/item?id=SHC_1959-1960__12_2_A5_0> © Séminaire Henri Cartan (Secrétariat mathématique, Paris), 1959-1960, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Henri Cartan » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 15-01 Séminaire Il. CARTAN - J. C. MOORE i2e année, 1959/60, u° 15 7 THÉORIE DE MARSTON MORSE, TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE LA mars 1960 II : par Michel ZISMAN A. Notations, énoncé des théorèmes ~ . 1. Préliminaires. l’exposé précédent, 1~~ désigne une variété paracompacte munie d’une structure riemannienne C°° colleté. n désigne une sous-variété différentiable C~ de M , P désigne un )oint donné de ri , P ~ N . Les renvois à l’exposé préComme dans cédent seront notés I, suivi du numéro du paragraphe auquel (1.1) N , P) . C’est tous les chemins l’espace de proportionnellement u ~ v les valeurs 0 et 1 On démontrera en [0 , 1] , à la N , P)~ du et où désigne L la par la appel. paramétrés u(0) = P , avec métrique longueur de l’arc compris entre paramètre. N , P) appendice que 03A9(M , a même type joignant P à N , muni compact. Par définition méme des chemins continus de convergenoe uniforme sur tout Q , L est une fonction continue de l’espace que f ait différentiables par morceaux, u longueur de l’arc pour u(1) e N . On munit Q de la topologie induite où on d’ homotopie (faible) la topologie de la la topologie de Q . sur (1.2) L’espace S(~~~~ , N , P). C’est l’espace de toutes les géodésiques de 03A9 (M , N , P) normales à N. On a sont isolés dans vu que si P est régulier (cf. I, f I0.3 ) ) , les éléments de S Q ~ et qu’il n’y a qu’un nombre fini d’éléments de S de longueur ~ ~ . (cf. I, (10.2)). Dans tout cet N donné, étant (1.3) on suppose l’ensemble des P ue P points régulier. Rappelons (I, (10.3)) réguliers est dense dans M . est Une notation. Soient sur exposé, E un espace E . On note : topologique, f une fonction à valeurs réelles définie que (1.4) étant ici points de cet peut ordonner pour tout l ~ R , l P) S (M , N , est un > 0 (l a fonction continue sur 03A9 , l’ensemble des de à obtenir l’ensemble f ensemble dénombrable. Les ensemble étant isolés suite strictement Q . P) (l) 03A9(l) = 03A9(M , N , L ). D’après (1.2), Posons dans 0 , et L étant longueurs des éléments de S façon on une .... On notera : croissante ~, 1 ~ .. ~ ~ n 03A9(li) , û7 l’ensemble 03A9-(li) , l’ ensemble des éléments de appelés les valeurs stationnaires de (1.5) Soit a existe alors un (a) valeur une i non tel que 11 espace (2 (M par Q’ 03A9’ S (M L de (en longueur li . Les seront sur stationnaire a , N , P) , N 9 Pj prise L par particulier l1 muni de la, a ). topologie induite En N , P) . 11 effet, désignons par la métrique (a) . donc un g N , P) tel que L(g) soit minimum, et on a L(g) ~ la condition nécessaire de minimum (cf. 1, 6), g e N , P) ; mais non stationnaire , on a forcément L(g) a est compact et Lest semi-continue inférieurement sur 03A9’ Il existe a Q a D’ après étant C. Q. F. D ~ 2. Les théorèmes N , P) (les démonstrations seront données au paragra- phe G). (2.1) (2.2) THÉORÈME. - Si induisent des Soient A i~ est régulier, on a : P e st régulier, les inclus ions en homologie et isomorphismes et B deux séries formelles en en cohomologie. t à coefficients réels. On écrit s’il existe Il revient B et une au série formelle môme de dire inégalités les Soient alors à C coefficients + (1 +t) 0 telle quei A = B + qu’il existe entre les coefficients C . et de b. A suivantes : N , P) g ~ l’indice de et g . On considère l’expres- s ion : Si cette . expression est série formelle une fini de géodésiques de de (M, N , P) ~ Morse (2.4) THÉORÈME. - Si série de Morse et on P est en régulier, et si le la série de Poincaré de corps de COROLLAIRE. - Dans pairs, En admet une les et de du corps des universels , , 03A9(M , N , P) pour conditions, si ~(t) no contient que et S~ (1v , I~~ ~ P) est sans torsion. ces effet, l’égalité m(t) = 03A9(t) cients (l~ ! N , P) triple l’homologie à coeffi- caractéristique quelconque. on a degrés téristique on n’y a qu’un nombre l’appelle la série de alors où Q(t) désigne un s’il e. N , P) ayant m6me indice ) , la désigne par (t) cients dans (i. t (2.4). résulte immédiatement de des termes de l’hypothèse degrés faite sur égalité ayant lieu quelle que soit la caraccoefficients, on en déduit, d’après la formule des coeffiN , P) est sans torsion. Cette B. Quelques lemmes Dans (3.1) (constant) le groupe qui suit, l’homologie ne joue ce aucun Soient E rôle ; un DÉMONSTRATION. A Posons est contenue dans A = aussi le espace disj oints, X étant fermé. Pour le H( (U n F) u X , U n tout F ~ X , F , puis que de coefficients U supprime-t-on avec lequel on calcule des notations. topologique, F et X deux sous-espaces voisinage U de X, l’application naturelest un isomorphisme. W est = F - (U ouvert ; n F F) . L’adhérence de est ouvert dans W dans A ~ puisque ’ est fermé. X le théorème D’après H(A - ~ ~ F -W) ~ H(A , F) d’excision, est m isomorphisme , C.Q. F.D. (3.2) espaces disjoints, un La isomorphis.me 9 U et par Xl ’ M@me résultat composée étant fermés. Soit E - par échangeant en induisent X-~ ). sous- Alors les inclu- u3L . isomorphisme un applications naturelles des deux (3.1) (où vertu du lemme cn trois topologique, F ~ X. et )L espace (F u X , F) DÉMONSTRATION. - X un X. et X2 sions est E LEMME. - Soient Donc est a les rôles de F serait romplacé par F X2 , u injection sur un facteur direct, X2 . Finalement, la suite exacte une Xl et d’homologie achève la démonstration. (3.3) LEMME. soit E , F en S oit un E un sous-espace de nombre fini, dont espace E , aucun dans topologique et soient (i x. à n’appartient E lequel I) oints sont fermés; points distincts de les des Alors les inclusions J- ~: DÉMONSTRATION à partir (3.2), du lemme par récurrence sur le nombre dos élé- ments de I. 4.Topologie fonctionnelle de (4~1) ces J une J"f0) l’ensemble i. Notons données on x. j, désigne ... , par forme quadratique des conditions : DÉMONSTRATION. - et E=R ~ et Soient E , d’indice R~ . tels que bon dégénérée J(x) sur 0 . Dans ~. On considère dans xn R~ un système d’axes rectangulaires do coor- tel que ot les doux sous-espaces orthogonaux engendres par pour x xn) ~ Rn , (x1 , ... , _ = (Jj0) par déformation de (4 .2 ) Soient u hessien non et J une stationnaire l’origine (1- nul à e Det e. désignant l’indice DEMONSTRATION. - D’ suffit de calculer 0 assez petite (4.3) LEMME. un de forme après i~ ~ ~~~ Alors le lemme Appliquons a..(x) Les ce == signe de a..(0) y1 , une 0 ) , ayant = Dans ces sur un conditions: Au xj , J voisinage on se en au 0) non 0 ~ de 0 telles que : conti- vient toutes nulles à ramené au cas où l’origine. a..(0) ~-’- do voisinage numérique g(t) , deux fois g(0~ ~ g’ (0) == 0 ? on a ~ , . ~ différentiables, les il existe (nulles yn ... , fonction g(t) = sont r e . sur par le (4.2), du lemme 0 .$ t ~ 1 , satisfait à transformation linéaire e. locales résultat à = akj.(x) réelles définie appliqué au cas où F J~~O ~ = ~ 0 } , il u~ o~ 9 U. n J~~? ~ pour un vois inage ouvert U de ~4 .2 ~ résulte de ~4 . ~ ~ s en vertu du lemme suivant : On sait que si nûment dérivable pour valeurs ~2 J i,j|0 ~ 0 ) . quadratique définie Sous les hypothèses DÉMONSTRATION. - fonction à 0 (1. on d’ où le résultat. = n système de coordonnées rétraction ôx ôx~ ~ i une .. =Rn , E do classe lll , [0 , 1] . Alors f définit ( 0) , J-(0)) sur (R1 , R1 - ( 0) ) , t - les fonctions ~0. Par Soit une forment En opérant ot comme de coordonnées système un par récurrenco, l’indice Qst i . Le lemme (4.3) obtient on de coordonnées locales tel que système à - 1 E . J égaux que le nombre des est est démontré. ~~.1~ DÉFINITION. - Démonstration des théorèmes L-déformation do A ~ B , de t N , P) ; rappelons A S~ ~~ > N , P) . Une homotopio Soient longueur d’une courbeu ht~. ~ ~ ~ sens large) un i , il s’ensuit C. une et locales, e A et si de plus pour tout a ~ (5.2) DÉMONSTRATION h~o , ~ ~ si B dans L(h(t , a)) A ~ A est une que désigne L -~ A sera là appelée l’ identité, est fonction décroissante (au A . (2.1). - du théorème l’ensemble des ~’ Soit géodésiques sées qui interviennent dans le calcul do l’indice de la géodésique g N, I, ~’~.5~~ P est défini par la donnée de p + 1 points parcourant, les p des boules fermées à premiers q = est dim N dimensions. Le homéomorphe à valeurs à une P au on a ( 4 .2 ) , on a ces C ~° , stationnaire ce une compact, boule fermée à on en ~ ~ L déduit est une que @ fonction g (cf. 1, 7) non nul. D’après ~I, ~’~.~~ ~ et donc (qui sera démontré On peut choisir g ) de façon qu’il existe un voisinage pendant en hessien est ~ 03C9i . U boules étant Sur g L-déformation de le dernier P) dont la forme quahessien n’est autre que la forme quadratique Q de (I, 7). le lemme suivant IEMME. - Soit de dimensions, boule fermée d’un étant régulier par hypothèse, le lemme Or produit réelles de classe dratique associée 1 n - bri~ dans la déformation. 6V n U tels au P ouvert paragraphe D) : (permettant de calculer l’indice de U do g da,ns, ~ (M , N , P ) et ur~ que les points de 03C1 ~ U restent fixes n03A9j) ~ ~ {g} , U ~03A9j ~ p) . liais, d’ aprè s le premier membre est isomorphe à H ( 03A9-j ~ {g} , 03A9-j) ,et le sele n 1 i cond est isomorpho à H (P-(li) ~ {g} , P-(li)) , d’ où la conclusion du théorème (2.1). U (U ~03A9i~{g} , lemme (3.1) 9 Donc . H (5.3) DÉMONSTRATION démontré au li du théorème (2.2). - On utilise le lemme suivant (qui sera paragraphe D).. Soit Soit (U Hn la a valeur une Soit alors mation de Il existe 03A9( a) une L-déformation de la déformation donnée par le D dans prise L par u W. Z ,- puisque lemme ; D et que c 03A9 dans (M , N , P) . (li existe sur 03A9 des valeurs stationnaires inférieures à plus grande à ’ après (1.5)). stationnaire non -i a u est aussi n’ D une augmonte pas les longueurs. L’existence de D montre donc que : La suite exacte associée montre que l’ inclusion au (S~ 1.~ . triple u w 1. ~ ~ l~) (~ 1. , S~ 1~ ) a induit un isomorphisme en homologie. Pour démontrer que l’inclusion en homologie, on (~ 1. y ~. ) -~ 1~~. (~ 1. ~ ~ .~) 1 induit un isomorphisme considère le triple dont la suite exacte associée est : et par conséquent : Puisque O? . eat la réunion des Q(a) homologie commute aux limit e s inductives, tout i ; en particulier~ H(p7 ~ Q .) = pour on en a li+1 , déduit que et que le foncteur H(03A9-i+1 , 03A9i) 0 . La suite exacte associée =0 au pour triple donne alors le résultat. (5.4) où g COROLLAIRE au théorème parcourt l’ ensemble DÉMONSTRATION. REMARQUE. - (5.4) On et (5.5) DÉMONSTRATION démonstration ne (2.2). - 03C9j , induisent applique (2.1) le théorème présente une (2 .2 ) déterminent donc (2.4). - du théorème (03A9-j1 ~ {g} , 03A9-j)~ (03A9j , 03A9-j) 1 l 1 décomposition en somme directe Les inclusions (3.3 ) . ot le lemme complètement On utilise les lemmes suivants, dont la difficulté : aucune 00 a. LEMME. - Soit A == 1 A un étant de dimension finie. On pose b. LEMME. - Soit Fp(A) tels ue A un espace vectoriel différentiel (dim A n) tn A(t) = Z espace vectoriel différentiel FP(A) c Fp+1 A E1 ct que le terme gradué, les A et -~ gradué, filtré par de la suite ~ des spectrale isso’ ciée à cette filtration soit de typo fini ; alors (i) est de type fini 9 iP désigne l’ inclusion filtration croissante de H(A) FP A .~ la Im i~ définissent une (dans le cas où il y a un nombre infini stationnaires) Si l’onsemble des valeurs stationnaires prend grou es telle que On considère alors la suite d’inclusions de valeurs A , les ~. est fini ~ i ~ 0 , 1 ~ ... ~ s ~ ~ on . où les i ; a . C t~ . ) les de la suite définissent spectrale D’après ( ~.4) , (~ ~ 1 ) E1 est de qui tendent notation, écrivons par abus de Alors, E1 sont des nombres réels 03A9s+i au vers l’infini lieu de Q croissant avec (as+i) . C ~~ ) ~ filtration croissante de une en et le terme associée à cette filtration est et (~ p2 ) , type fini et que m l’existence d’une série de Morse (t) = Nais = E~-(t)~ alors d’ après implique les lemmes a et que b, E~(t) C~ Q. Fo Do REMARQUE. - L’introduction d’une suite spectrale dans l’étude des inégalités de Morse est due à Ro DEHEUVELS [lJ. o D. Démonstration des lemmes (6.1) (5.2) et (5.3). rappelle ( cf . 1, 7) qu’étant donné un compact A c M , il existe un nombre d > 0 tel que si a et b appartiennent à A avec d(a, b) d , il existe un arc de géodésique et un seul joignant a à b ; alors la longueur de cet are est égale à d(a , b) Soit y un arc de courbe tracé dans A ~ de longueur inférieure à d et T un point de l’arc y . On pout par une unique géodésique a ~ joindre a dont la longueur est inférieure ou égale à celle de l’arc â ~ de y . Lorsque T varie de a à b, on On a obtient une L-déformation de sur y la géodésique ab . ( 6.2) DÉMCNSTRATION formé par las courbes un (5.2). - S oit U 1 le telles que L(u) 2L(g) . du lemme point u cette boule est compacte. Soit d dans g 03A9(M , N, P) ~0 ~ 2~ ~ u(t) est de rayon 2L(g) . M étant complète, positif associé à ce compact (c£ (5.1)). P et de la boule ferma do contre vois inage de le nombre Pour t E On considère alors: ~ -~ des points P , dos boules fermées petit assez a. si b. si à définir coupe Ti 1 ~ Si 1~I1 , ’~. i ~~i p ... , (i ~~ 1 ~ ~ ~~i ... , p lE ~ + p N 1) sur g tels que de centre M.1 ~ d~I 1. ! M.~.+1) d ; . de rayon E pour que : T . 1 E 03B3i , alors 0 d(Ti , Ti+ 1 Si désigne l’hypersurface passant P 9 on un I, ?) i point Q1 cf. e alors la et un d par pour i = 0 , ... , p ; + - N ) (qui géodésiques Ti-1 T. a. Ti+1 M. ( i p 9 l.igne polygonale de seul qui dépend continûment S des points sert On définit alors n 1 1 un et 03B3i , 1 on élément do à 1’aide des considère la M. , z S. des s. : ~ Pm1 m2¿ u = R , définies 1 par ... s. l des prend on i géodésique brisée . Les fonctions 03B3i : et des ~ m p+1. 9 c’est (u) = longueur géodésique . 1. sont continues et strictement positives ct étant un compact 03A3s(u) = L(u) . 03A9(M , N , P) étant un espace normal, 1 de l’arc de 03A9(M , N , P) , tout entier, Soit tl E 0 on peut prolonger 1es les étant si (M , N , p) . encore On pose on si t. positives. = s1(u1 ) + . . + si(u0Us1(u) + . . sp+1(u) + 1 N s P) des fonctions continues sur 03A9 (M , strictEnlcnt de .,. ... + u r+1 pour i=l,..., p + 1 , . 0 . on 0 L©s nombres ti te donc a, un a o t. 1 et les voisinago U d(~. x ~1~I.~E i 1 A points dc g pour on T1 donc considérer les peut 1 u(t.~ 1 u . Il exis- T. ~ points sont des f onctions continues do o tcl que : uEU , i=0, ... ,p+1 9 Autrement dit : + T. d (on rappelle que fi ’ , longuour Ti-1 ii sont paramétrées proportionnellement à la longueur de 0 à 1 ) . do l’ arc On déforme U en TJ n Q de la los courbes de Q l’ arc pour variant do t suivante: façon Première étape : Diaprés (6*1) peut? déformer u PT.... par une en la polygonale seul point former la la et 03B2’ , on géodésique brisée L-déformation. Deuxième étape : Diaprés T. b et 03B1’, coupe S la ligne en un Q.. D’après (6~1)~ on peut brisée PT. $.. brisée PCL Q dé- ... Mais une et (M , N , P) f n C rations reste fixe pendant Tp+1 ~ , les doux opé- précédentes~ 0~ Q. F. D. (6,3) L-déformation Construction d’une Toutes les courbes do et de rayon un nombre q tel que 2a . Soit positif qui Q (a) d D. de Q ( a ) sont tracées dans la boule le nombre positif associe compacte de centre P ci compact. Soit ô ~ d choisit un entier positif à déterminé dans la suite. On sera Q"(a) . dans 2014 ô . q Première iq, étape : Si ue 03A9(a) , on appelle T. les de points u de paramètre longueur do l’arc T. T. étant inférieure à d , on peut les T. par une ligne polygonale de géodésiques, et il existe diaprés (6.1) une L-déformation de u sur la géodésique brisée PT.... T .De plus, 0 joindre q . La i L(PT.... T ) a sauf si Deuxième étape : d(Qi-1 , Q.) d , diaprés (6.1)~ Soit Q. il existe ces segment points par sauf si Q do géodésique un segment PT.... T PT est l ... une do T Comme T.. T.. géodésique unique, T. sur géodésique brisée non a . Troisième étape : Diaprés (I, (9.10)), que, si =a . de une T )a ~ longueur avec le milieu du peut joindre on Alors do PT.... appartient à la boule il existe compacte nombre un de centre d tel positif r[ de rayon 2a , et si P et N tel que d(Q ~ Q’)== d(N ~ (~ ; unique point Q’ ~ de plus, l’unique géodésique joignant Q à Q’ est orthogonale à N , sa longueur est égale à d(Q , Q’) , et Q’ varie continûment avec Q . Enfin, N étant une sous-variété do M , est munie elle aussi d’une structure riemannienne: il existe alors un nombre positif X tel que, si a et b sont deux points do N dans la boule de centre P et de rayon 2a ~ de distance (pour la métrique do M ) inférieure à 03BB , il existe une unique géodésique de N , paramétrée proportionnel lement à la longueur do l’arc pour t variant de 0 à 1 , joignant a et b . On choisit alors ô~ d) . d(N ~ Q) Dans ces T~ ~ alors il existe un ~Q T conditions conditions~ unique vérifiant les précédentes . Il existe de conséquente et~ il existe un Q’ = N Mais une unique géodésique (pour N ) joignant Soit T q q B la métrique un point géodésique ; lorsque B vario de à Q’ dans le temps 1 , on obtiant uno q dans la formation do la géodésique Q T q q .. géodésique Q q Q’ q de cotte T q De plus, L(PQ1 ... T) Q = une géodésique non brisée et orthogonale à N , ce ... sauf Qq Tq = PQ1 a , Qq Qq) mais ceci ost impossible, car a ; i. e. suivant l’hypothèse est contraire à qui Qq Q’q , avec PQ1 Tq serait Qq de ... ... laquelle alors a ... est une S(M , N , ?) , valeur non stationnaire. éléments qui restent fiREMARQUE 1. - Il ressort de ce qui précède que les seuls Q (a) n S(M , N , P) . xes dans la déformation D~ sont ceux do l’ensemble 2. - On REMARQUE . a supposé est N que une sous-variété fermée (6.4) Avec les notations de (6.3), désignons par Q(a) par ~(u)=L(u)-L(D~(u)) pour u=Q(a)? ~ et, d’après la remarque 1, désigne un ouvert Q(M , N , P) on aie : Si 7 LEMME. - Sur core sens u) désignée par de 03A9’ ). déduit que impossible ; a une borne S(M , N , P) . stationnaires de inf que inférieure strictement = 0 pour -~ 0 u e U telle que ~(u~) positive. il existe Q(a) - pour étant semi-continue .intérieurement, et = en on ue géodésiques fonction continue une (cf. (1.5)) peut extraire de la suite précédente une autre suite (enqui converge vers une courbe u= Q~(a) (convergence au u e Q(a) - étant compact, Q’(a) est sur . 03A9(a) -U , suite une M . la fonction définie si et seulement si contenant toutes les DEMONSTRATION. - Supposons alors 0 = de 0 , donc u e S(M , N , P) . E~ n -~. Mais (un) ~ 0 , particulier u e on en U . Cela est effet : indépendant de n ). On peut alors extraire de la suite u~ une sous-suite (encore M désignée par un) telle que (D1 un)(ti,n) et (D1 un)(1) convergent dans 1 , ... , q ? mais alors D1 un converge dans Q(a) . L’applicapour tout i . D. est u une n géodésique brisée en des points t1,n , = tion identique étant continue, Du converge dans D. un ~ D, Mais alors Q’(a) . u= u Donc dans Q(a) . ’" t le - terme du second membre est premier Q’ ; dans - le deuxième terme est - le troisième terme est Donc Q(a) fermé dans Soient e pour et U u ~ boules ouvertes de contre impossible, D car e u car a )~(u ) -~ 0 ; car grand, assez n Q(a) - u dans U qui et de rayon g. 0(a) . On métrique de stationnaires do géodésiques est le LEMME. - II existe plus grand indice DÉMONSTRATION. - (pour e la tel que leurs images boules pour par k D. = 1, s) ... , U . Soit existe D. + 2014) ~ p a, li + 03B4 2 rieure = déformation de a ; si, 6’ > 0 au dans Q(a) dans 0(~. + 03B4 2 03A9(a) -03A9-(li 03B4 2) . c contraire, dans et de rayon g, soient contenues dans une Q(a) . Soit ( U . i restant fixes dans la déformation 1 , ... , s ; posons ô = inf strictement positif diaprés (6.4). Je dis qu’il soit est a ). A. il existe des boules ouvertes do contre Dt ’ . A. de 0(a) L-déformation une g. ( k Les Q . considère les assez petit pour que ces bouges soient disjointes, et contenues dans U l’ouvert réunion des boules précédentes. On a alors : (6.5) u car o les g ... , grand, grand, assez n pour assez n pour Q . Mais ceci est dans u e e li a , On + U~ u e pour prend un En assez pour que la réunion do Q(a) - U’ ; nombre entier ces &#x26; r effet, c’est évident d’après (6.4), pour petit r un une est tel qu3 si borne infé- nombre entier tel +~-. Soit alors a. A. == si b. si D r+1 ~ alors, Drt u ~U’ , alors A. répond à la par définition Drt u e 03A9(li question. 0394t U + 03B4 2) - En effet : EU; JI* . Comme, par définition, Dt diminue les (6.6) ù de désignée U dans par les boules de centre b il existe des moins au DEMONSTRATION du lemme nion est a. longueurs (5.3). - Soit (6.5). On peut et de rayon g, L-déformations soit 1~ identité b.. dans Q(a) - A, . on a choisir cet assez e (k=l~...~s) 0(a) déforme la boule de contre et de rayon g. pour que: soient disjoints ; g. et do rayon dans 03A9-(li) u {gk} 2e’; b?. petit telles que: dehors de la boule do centre on co cas le rayon des boules dont la réu- e 2e do dans e Bk~l ~ ... ~s/ . e étant ainsi (5.3), fixé, de composer L(g ) == Soit P pour avoir déformation satisfaisant une (6.5) (construite du lemme A. Construction des L(g. ) Si suffit, avec e) cet et les b). satisfaisant à (67) il prendre A.. écrivons simplement g , l , l’ensemble des lemme A, A... suffit de ot au géodésiques sidère le voisinage "tubulaire" == identité. Supposons donc que en supprimant tous brisées construit dans des éléments u les indices. (6.2). Dans P on con- tels que petit pour qu’il oxiste une L-défornation cp de 3 dans (on déforme le long des trajectoires orthogonales des surfaces P comme une boule d’un espace euclidien, et en appliquant un raien considérant sonnement très proche de celui de (4.~)~. ~ étant Soit assez U le voisinage de pour que la boule de centre imago par la déformation du puisque g reste fixe dans En composant g leme cette déformation (5.2) [0 , 1] cherchée. 2e e soit contenue dans ~5,~) soit contenue déformation). do la boule de centre alors, pour A est la et de rayon la déformation du lemme L-déformation pose On choisit alors du g dans 3 et la déformation g de rayon 2e assez U (co qui 03C6 , on petit et que son est possible, obtient dans ~ _ (~ ) u ~ g }; un on BIBLIOGRAPHIE [1] DEHEUVELS (René). - Topologie d’une fonctionnelle, Annals of t. 61, 1955, p. 13-72 (Thèse Sc. math. Paris. 1953). [2] SEIFERT (H.) Series Math., 2, (W.). - Variationsrechnung im Grossen (Theorie Morse). - Leipzig, B. G. Teubner, 1938 (Hamburger mathematische Einzelschriften, 24). Reprinted : New York, Chelsea publishing Company, 1951. Voir und THRELFALL Marston von Bibliographie outre la en l’exposé précédent. de APPENDICE ESPACES DE CHEMINS DANS par AdrienDOUADY r Soit X un couple ~t ~ ’~) une.application ~ est et [t , On oo[ . + eu continue de de R un nombre réel? R dans des chemins l’espace 0 ~ appelé K ’ constante l’origine, et appelle D munit l’ensemble produit t topologique séparé. Un espace de la Pour tout espace T~ une topologie induite propriété un et y ~.. ~ ~ 0~ de par la R topologie avec la suivante : D T ~ application cp : durée du est l’extrémité du chemin. On des Cette topologie est caractérisée par la X les intervalles sur applications continues topologie compacte-ouverte. par chemin dans est continue si et seulement si : 1° la durée de z° (p(6) dépend l’application Si X est un T espace x continûment de cette d~ ~t ~ y) , ~t’ ~ Y ’ ) ) (on peut remplacer L’espace D I° C’ost une gine 2~ premier X des chemins dans composé application D sc t’ f ~ pour durée la jouit avec somme une par catégorie topologique : a somme , des sup u~R ou une distance : d(y(u) , Y’ ~u) ) i + par propriétés ~)~z etc.). fondamentales suivantes : composition, définie quand l’ori1’extrémité du premier, est associative 9 le la loi de des durées des chemins donnés. Cette loi est continue d’une partie fermée de rétracte par déformation est continue. est définie par topologie = su p du deuxième chemin coïncide chemin une le ° définie par (p R a X métrique, 0 ~ sur D x D dans D ° le sous-espace des chemins de durée nulle, qu’on X . La déformation identifie à 1 x D D -~ a 1 , 0 est donnée pour par (a~ (t , y)) ~ y~) at] , y ’a coïncide avec y sur l’intervalle l’intervalle [at ~ + oo[ . Cette déformation eu 3° Il est fibre à de au sens chaque chemin, fait correspondre X x et D cas X où est par son variété riemannienne~ qui possèdent les mêmes propriétés. Dans le de X origine son l’origine conserve sur une et est constante sur chaque chemin. de l’application 03C0 qui , extrémité. on va étudier des sous-espaces , Soient : l’espace l’espace l’espace D. D~ D~ des chemins suite finie induise une des chemins dont la , est dit différentiable par (to=0~t.~...~t .~t==t} application différentiable L’application longueur est la vitesse. La condition Les espaces D2 , D3 Ces espaces vérifient de égale à 1 morceaux tangents définit exigée dans D~ et les conditions vecteur vitesse, est que cette D~ [ti,ti+1](0in). par colle sont munis de la topologie façon évidente y [t. ~ un chacun des intervalles sur s’il existe telle que croissante, de chacun des intervalles induite sur les espaces vitesse soit constante et est par morceaux, de vitesse constante 1 . géodésiques (t , y) chemin X. dans 1, constante 1 , Lipschitz de des chemins différentiables par morceaux, de vitesse Rappelons qu’un une lipschitziens dont la constante 1° et 2~ . Montrons qu’ils vérifient aussi la condition 3° . Cette condition est locale relativement ~ la base, clost-à-dirG qu’il suffit de montrer quo, pour tout (x , y) X x X , il existe des voisinages .Il de x et V de y tels que, pour tout diagramme commutatif (0 , p) où i une application 03C8 : In+1 ~ 03C0 (U est l’injection i(p) = x In de V) dans il existe qui respecte la commutativité du dia- gramme. Prenons pour y(x’ U un ouvert contenant x") de U puissent être joints , x") contenu dans U t et pour x ~ mais tel que doux po ints quel conques par V un arc un de géodésique et un seul ouvert semblable contenant y . 15-16 y (x’ dc durée L’arc j x" ) cons idéré scr. c, égala à longueur, sa D qui dépend continuement C ~ a 1 ~ ~ ~ In , p) = possède Choisissons dans X est x E~ ~ fibrés, on a d’homotopie, E sur qué où Ei = aux (1) L’espace E injections suitos exactes extrémité. Il Si Di . Y 03A9i ~ un p) , où E pa.r l’ on des chomins dans application cst de même do n ses sont 1cs fibres de E . 1 X sous-espaces ces divors différentielle de la suite de X, E(Y) lcs fibrés induits par p a r les (1). faible. 10 fibré induit par Lc Le lemme des dcs 5 appli- d’homotopie E(Y) 1 ont et E2(Y) est homéomorphe ZISi"ùii’l, paragraphe ( 1 . 1 ) . à encore l’espace 3° . qui à équivalences d’ homotopie sont des sous-espace . qui démontra la propriété ce ~2 ~ ~~ 03A9 chemin dc p) , g(a , i ) ,1’ isomorphisme étant 1(X) , = et les n un trois chemins:i ot fibré sur X son d’ extrémité définit alors x . L’espace do base point correspondre montre que 1cs espaces dè un généralement, soit les ) Y lcs Y , et E .1((Y) Plus x" . On propriétés voulues, lcs contractile, o que chemin fait ct composition de par la x’ , ct de vitesse constante 1 . C’ ost y(f(a , p) , f ( C ~ ~3 ) ) . ~(f3) . Cette application d’origine x’ dc chemin dorigine comme un même type d’ homotopio Q(X, Y, x) ° àc 1 ’ expo s é 1 5