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Le lemme de Zorn
Une preuve élémentaire
Alain Frisch
30 Novembre 1998
Le lemme de Zorn est un outil fondamental en mathématiques. Il est utilisé pour prouver de nombreux
résultats, en algèbre, en logique, en analyse. Par exemple, l'existence d'une base dans un espace vectoriel
de dimension quelconque est une conséquence facile du lemme de Zorn.
Le lemme, qui en fait est aussi important qu'un théorème, est également connu pour son équivalence
avec l'axiome du choix dans la théorie ZF. Cet article se propose de donner une preuve facile du lemme de
Zorn dans un cadre mathématique intuitif.
Commençons par quelques dénitions :
Dénition. Soit (X; ) un ensemble ordonné. Une chaîne est une partie de X telle que l'ordre induit
dessus soit total. On dit que (X; ) est inductif si toute chaîne est majorée.
Dénition. Si X est un ensemble quelconque, on dit qu'une famille A de parties de X est stable par
union de chaîne si la réunion de toute sous famille de A totalement ordonnée pour l'inclusion est dans A.
Remarquons qu'une famille stable par union de chaîne est un ensemble ordonné inductif (pour l'inclusion). Nous pouvons alors énoncer le lemme de Zorn :
Théorème (Lemme de Zorn). Tout ensemble inductif admet un élément maximal.
Sa preuve résulte facilement du résultat suivant (qui n'utilise pas l'axiome du choix) :
Lemme. Soit X un ensemble, A une famille non vide de parties de X , stable par union de chaîne; alors
toute application f : A ! A telle que pour tout A 2 A, f (A) = A ou f (A) = A [ fxg pour un certain
x 62 A, admet un point xe.
Preuve. Prenons A0 quelconque dans A et considérons B, la plus petite partie de A contenant A0 , stable
S
par union de chaîne et stable par f . Si B est totalement ordonnée pour l'inclusion, par hypothèse, A = B
est dans B, donc f (A) aussi, mais alors f (A) A et donc A = f (A). Il reste donc à prouver que B est
totalement ordonnée. Montrons par induction sur X 2 B que pour tout Y 2 B, X Y ou Y X .
C'est vrai pour A0 ; en eet, l'ensemble des Y de A tels que A0 Y est stable par union de chaîne
et stable par f , donc il est plus gros que B et cela prouve que A0 minore B. Le passage à la réunion de
chaîne est triviale : si les Xi sont tous contenus dans Y , alors leur réunion aussi. Si au contraire l'un des Xi
contient Y , alors leur réunion aussi.
L'étape dicile est le passage de X à f (X ). On suppose que pour tout Y dans B, X Y ou Y X . Il
faut prouver que l'on peut remplacer X par f (X ). Nous allons en fait prouver par induction que pour tout
Y dans B, f (X ) Y ou Y X , ce qui est plus fort. C'est vrai pour A0 et le passage à la réunion de chaîne
est facile. Considérons Y 2 B tel que f (X ) Y ou Y X . On a aussi, par hypothèse sur X : X f (Y )
ou f (Y ) X , car f (Y ) 2 B. Le seul cas non trivial est Y X f (Y ). Par hypothèse sur f , l'une deux
inclusions est une égalité, ce qui termine la démonstration.
On prouve enn le lemme de Zorn.
Preuve. Soit (X; ) inductif et A l'ensemble de ses chaînes. A est stable par union de chaîne : si (Ai ) est
une famille de chaînes de X , deux à deux comparables, alors on voit facilement que la réunion des Ai est
encore une chaîne.
Supposons que X n'a pas d'élément maximal. On peut alors associer à chaque chaîne A, avec l'axiome
du choix, un majorant strict aA . Il est clair que A [ faA g est encore une chaîne et cela contredit le lemme
avec f (A) = A [ faA g.
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