Statistiques II

Exercices Probabilités
Statistiques II
Alexandre Caboussat
[email protected]
Classe : Mardi 11h15 - 13h00
Salle : C110
http://campus.hesge.ch/caboussata
22 mars 2011
A. Caboussat, HEG
STAT II, 2011
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Exercices Probabilités
Exercice 2.2
Le tableau croisé mettant en relation les fréquences observées pour les
variables ”Importance” et ”Bon payeur” du fichier Clients d’un magasin
est donné ci-dessous:
Bon payeur?
non
oui Total
Importance du client très petite
1
8
9
petite
0
9
9
1
10
11
moyenne
grande
2
5
7
très grande
0
1
1
Total
4
33
37
Calculez la probabilité suivante :
P(Bon payeur=oui | (Importance=grande ∪ Importance= très
grande))
Les événements Importance=très petite et Bon payeur=oui sont-ils
indépendants ?
A. Caboussat, HEG
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Exercice 2.3
Calculer la distribution de probabilité de la variable “Catégorie
socio-professionnelle”.
Calculer la distribution de probabilité de la variable “Revenu
familial”.
Calculer la probabilité qu’une personne choisie au hasard parmi
celles ayant participé à l’enquête soit:
a) un cadre ayant un revenu élevé
b) une personne au foyer ayant un revenu faible
c) un professionnel ayant un revenu moyen
Calculer les probabilités conditionnelles suivantes: P(élevé | au
foyer), P(cadre | élevé), P(ouvrier | faible).
Soit les événements A et B où A est l’événement “la personne
choisie est un ouvrier” et B est l’événement “la personne choisie a
un revenu faible”. Les événements A et B sont-ils indépendants?
A. Caboussat, HEG
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Exercice 2.4
Soient les probabilités suivantes :
P(A) = 1/2
P(B) = 1/3
P(C ) = 1/4
P(A ∩ B) = 1/8
P(B | C ) = 1/2
P(C | A) = 1/5
P(A | (B ∩ C )) = 2/3 P(A ∪ B ∪ C ) = 49/60
En déduire les probabilités suivantes:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
P(A ∩ C )
P(B ∩ C )
P(A ∩ B ∩ C )
P(A | B)
P(C | B)
P((B ∩ C ) | A)
P(A ∪ B)
P(A ∪ C )
A. Caboussat, HEG
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Exercice 2.4
Soient les probabilités suivantes :
P(A) = 1/2
P(B) = 1/3
P(C ) = 1/4
P(A ∩ B) = 1/8
P(B | C ) = 1/2
P(C | A) = 1/5
P(A | (B ∩ C )) = 2/3 P(A ∪ B ∪ C ) = 49/60
a) Y a-t-il deux événements mutuellement exclusifs parmi les
événements A, B et C ?
b) Quelles paires d’événements ne sont-elles pas statistiquement
indépendantes?
A. Caboussat, HEG
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Exercice 2.4
Soient les probabilités suivantes :
P(A) = 1/2
P(B) = 1/3
P(C ) = 1/4
P(A ∩ B) = 1/8
P(B | C ) = 1/2
P(C | A) = 1/5
P(A | (B ∩ C )) = 2/3 P(A ∪ B ∪ C ) = 49/60
Construire un diagramme de Venn pour les événements A, B et C ,
et attribuer sa probabilité à chaque zone du graphique.
A. Caboussat, HEG
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Exercice 2.6
Une société comportant 40 hommes et 60 femmes est frappée par
une épidémie. Un jour où 15% des femmes et 40% des hommes
sont absents, on se propose de faire passer une visite médicale à
l’une des personne présente choisie au hasard. Quelle est la
probabilité que cette personne soit une femme?
A. Caboussat, HEG
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Exercice 2.15
Lors d’un tir sur une cible, la probabilité de faire mouche est égale
à p = 0.1 pour chaque coup. Calculer :
1
la probabilité de faire 3 mouches successifs
2
la probabilité de faire exactement 2 mouches lors de 3 tirs
3
la probabilité de faire au moins 2 mouches lors de 3 tirs
A. Caboussat, HEG
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Rappels
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B)
−P(A ∩ C ) − P(B ∩ C ) + P(A ∩ B ∩ C )
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(B)
A et B indépendants
A. Caboussat, HEG
⇔
⇔
⇔
P(A) = P(A | B)
P(B) = P(B | A)
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
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Variables aléatoires indépendantes
Définition
Deux variables X et Y sont dites indépendantes si pour n’importe
quelle paire d’ensembles de nombres réels A et B, on a
P(”X ∈ A” | ”Y ∈ B”) = P(”X ∈ A”).
Autrement dit, aucune information sur la valeur de Y n’influence
les probabilités sur X .
A. Caboussat, HEG
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Tableau des probabilités: Exemple
Exemple: Sur l’ensemble des entreprises concurrentes à la vôtre,
vous vous intéressez aux événements suivants.
A : " Marché = national ", A : " Marché 6= national "
B : " Concurrence = forte ", B : " Concurrence 6= forte "
Nous savons que P(A) = 0.3, P(B) = 0.6, P(B|A) = 0.6 et
P(B|A) = 0.5714.
On peut en déduire le tableau des probabilités conjointes et simples
(marginales):
B
B B̄ total
B̄
total
A
A
0.1 0.2
0.3
Ā
Ā
0.3 0.4
0.7
total
A. Caboussat, HEG
total 0.4 0.6
1
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Tableau des probabilités
Soient deux événements A, B, et leurs contraires Ā, B̄.
Les probabilités conjointes et simples (marginales) sont données
dans le tableau suivant:
B
A
Ā
total
A. Caboussat, HEG
B̄
total
P(A ∩ B) P(A ∩ B̄) P(A)
P(Ā ∩ B) P(Ā ∩ B̄) P(Ā)
P(B)
P(B̄)
1
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Remarques
1
Si on connaît P(A) et P(B|A), on peut en déduire P(A ∩ B)
par la formule P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)
2
En cas d’indépendance des événements A et B, on a bien
P(A ∩ B) = P(A) P(B), car P(B|A) = P(B).
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Arbre des probabilités: Exemple
Exemple: Pour notre exemple, nous pouvons aussi construire
l’arbre des probabilités.
P(A) = 0.3, P(B) = 0.6, P(B|A) = 0.6 et P(B|A) = 0.5714.
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Arbre des probabilités
La probabilité d’une branche (probabilité conjointe) est égale au
produit des probabilités se trouvant le long de cette branche. Par
exemple:
P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)
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Inversion de l’arbre des probabilités
On aimerait construire l’arbre suivant en fonction des résultats de
l’arbre précédent, mais sans utiliser les probabilités conjointes.
Formellement, on désire calculer les probabilités conditionnelles du
type A|B en fonction de celles de la forme B|A.
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Principe de Bayes
P(A|B) =
A. Caboussat, HEG
P(A ∩ B)
P(B)
=
P(B ∩ A)
P(B ∩ A) + P(B ∩ A)
=
P(B|A) P(A)
P(B|A) P(A) + P(B|A) P(A)
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Principe de Bayes: Exemple
A : " Marché = national ", A : " Marché 6= national "
B : " Concurrence = forte ", B : " Concurrence 6= forte "
P(A) = 0.3, P(A) = 0.7
P(B) = 0.4, P(B) = 0.6
P(B|A) = 0.3, P(B|A) = 0.6
P(B|A) = 0.4286, P(B|A) = 0.5714
P(A|B) =
P(B|A) P(A)
P(B|A) P(A) + P(B|A) P(A)
=
0.3 · 0.3
= 0.25
0.3 · 0.3 + 0.4286 · 0.7
A. Caboussat, HEG
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Principe de Bayes
P(A|B) =
P(B|A) P(A)
P(B|A) P(A) + P(B|A) P(A)
=
0.5714 · 0.7
= 0.6
0.5714 · 0.7 + 0.6 · 0.3
A. Caboussat, HEG
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Principe de Bayes
Le théorème de Bayes est une généralisation de ceci aux cas où
deux variables X et Y prennent plus que deux modalités A et A, ou
B et B. Pour simplifier l’écriture, on écrira "Ai " pour l’événement
"X ∈ Ai ".
Théorème de Bayes
Soit une variable X prenant les modalités A1 , . . . , Ak et une variable Y prenant les modalités B1 , . . . , B` . Alors,
P(Ai |Bj ) =
P(Bj |Ai ) P(Ai )
Pk
m=1 P(Bj |Am ) P(Am )
pour tout i et j.
A. Caboussat, HEG
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