3e Calculer une longueur, un angle avec la

3e Calculer une longueur, un angle avec la trigonométrie
Objectif 17
Livre 28.1
Mots clefs.
 Triangle rectangle
 Hypoténuse
 Côté adjacent à un angle aigu
 Côté opposé à un angle aigu
 Lignes trigonométriques (sinus, cosinus, tangente)
 Calculatrice.
I. Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu.
1. Vocabulaire.
Soit ABC un triangle rectangle en A.
[BC] est l’hypoténuse du triangle.
[AC] est le côté opposé à l’angle 𝐵̂.
[AB] est le côté adjacent à l’angle 𝐵̂.
2. Observation.
Dans les triangles ABC et MBN respectivement rectangles
en A et M :
Comme les droites (MN) et (AC) sont toutes les deux
perpendiculaires à (MB) alors (MN)//(AC).
Les triangles ABC et MBN sont dans une situation
d’agrandissement-réduction.
Donc, d’après le théorème de Thalès on a proportionnalité
entre les longueurs des côtés des triangles ABC et MBN.
Autrement dit, on a le tableau de proportionnalité suivant :
AB
BC
AC
BM
BN
MN
De là, on peut extraire les trois tableaux de proportionnalité suivants :
AB
BM
MN
AC
MN
AC
BC
BN
BN
BC
BM
AB
Or, dans une situation d’agrandissement-réduction, les longueurs changent, mais les angles restent
les mêmes donc :
 du premier tableau, on peut en déduire que les rapports
𝐴𝐵
𝐵𝑀
𝑒𝑡
𝐵𝐶
𝐵𝑁
ne dépendent pas des longueurs des côtés des triangles ABC et MBN et ne peuvent donc dépendre
que de la mesure de l’angle 𝐵̂.
𝐴𝐵
Par définition, on appellera cosinus de l’angle 𝐵̂ le rapport
;
𝐵𝐶

du deuxième tableau, on peut en déduire que les rapports
𝐴𝐶
𝑀𝑁
𝑒𝑡
𝐵𝐶
𝐵𝑁
ne dépendent pas des longueurs des côtés des triangles ABC et MBN et ne peuvent donc dépendre
que de la mesure de l’angle 𝐵̂.
𝐵𝐴
Par définition, on appellera sinus de l’angle 𝐵̂ le rapport
;
𝐵𝐶

du troisième tableau, on eut en déduire que les rapports
𝐴𝐶
𝑀𝑁
𝑒𝑡
𝐴𝐵
𝐵𝑀
ne dépendent pas des longueurs des côtés des triangles ABC et MBN et ne peuvent donc dépendre
que de la mesure de l’angle 𝐵̂.
𝐴𝐶
Par définition, on appellera tangente de l’angle 𝐵̂ le rapport
.
𝐴𝐵
3. Définitions. Cosinus, sinus, tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
Soit ABC un triangle rectangle en A, alors :
 le cosinus de l’angle 𝐵̂ noté 𝑐𝑜𝑠 𝐵̂ est le rapport :
𝐴𝐵 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝐵̂
̂
cos 𝐵 =
=
𝐵𝐶
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙 ′ ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒
 le sinus de l’angle 𝐵̂ noté 𝑠𝑖𝑛 𝐵̂ est le rapport :
𝐴𝐶 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝐵̂
̂
sin 𝐵 =
=
𝐵𝐶
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙 ′ ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒
 la tangente de l’angle 𝐵̂ noté 𝑡𝑎𝑛 𝐵̂ est le rapport :
𝐴𝐶
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝐵̂
tan 𝐵̂ =
=
𝐴𝐵 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝐵̂
4. Propriétés.
 Le cosinus et le sinus de n’importe quel angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1.
 La tangente d’un angle aigu est un nombre positif ou nul.
 Les trois rapport sin 𝐵̂ , cos 𝐵̂et tan 𝐵̂ ne dépendent pas de la position des points A et C sur
les côtés de l’angle 𝐵̂, mais uniquement de la mesure de cet angle.
Démonstration de la première propriété.
L’hypoténuse étant le plus grand côté d’un triangle rectangle, donc sinus et cosinus sont majorés
par 1. Ils sont minorés par 0, car le rapport de deux nombres positifs (des longueurs) est un
nombre positif.
On a bien : 0 ≤ 𝐴𝐶 ≤ 𝐵𝐶
et
0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ 𝐵𝐶
𝐴𝐶
𝐵𝐶
𝐴𝐵
𝐵𝐶
soit 0 ≤ 𝐵𝐶 ≤ 𝐵𝐶
et
0 ≤ 𝐵𝐶 ≤ 𝐵𝐶
soit
0 ≤ 𝑠𝑖𝑛 𝐵̂ ≤ 1
et
0 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝐵̂ ≤ 1.)
II. Avec la calculatrice.
1. Attention, il faut régler la calculatrice en mode ‘degré’.
Exemples. Utiliser les fonctions trigonométriques de la calculatrice.
Déterminer l’angle A
Déterminer l’angle B
tel que sin A = 0,3
tel que tan B = 2
tan 68 =
2nd sin 0 . 3 =
2nd tan 2 =
0.9271838546
2.475086853
17.45760312
63.43494882
sin 68° = 0,927 à
10-3 près
tan 68° = 2,475 à
10-3 près
sin A = 0,3 donc
tan B = 2 donc
A = 17,5° à 10-1 près
B = 63,4° à 10-1 près
Calculer sin 68°
Calculer tan 68°
Je tape …
sin 68 =
Il
s’affiche
…
Je note
…
Exemple. Calculer la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
ABC est rectangle en A tel que 𝐴𝐵 = 3 𝑐𝑚, 𝐴𝐶 = 4 𝑐𝑚 𝑒𝑡 𝐵𝐶 = 5 𝑐𝑚.
Calculer la mesure de l’angle 𝐶̂ arrondie au degré près.
Le triangle ABC est rectangle en A. Les longueurs des trois côtés étant connues, on choisit la ligne
trigonométrique que l’on veut.
Utilisons le sinus.
𝐴𝐵 3
𝑠𝑖𝑛𝐶̂ =
=
𝐵𝐶 5
Avec la calculatrice, on peut déterminer la mesure de l’angle 𝐶̂ = 37° arrondie au degré près.
Exemple. Calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle.
DEF est un triangle rectangle en D tel que 𝐸̂ = 56° 𝑒𝑡 𝐸𝐹 = 10 𝑐𝑚.
Calculer l’arrondi au millimètre de la longueur DE.
Le triangle DEF est rectangle en D. On recherche la longueur du côté adjacent à l’angle 𝐸̂ , et on
connaît la longueur de l’hypoténuse [EF], c’est donc le cosinus de l’angle 𝐸̂ qui nous permettra de
calculer DE.
𝐷𝐸
cos 𝐸̂ =
𝐸𝐹
soit
𝐷𝐸
cos 56° =
10
soit
𝐷𝐸 = 10 × cos 56° = 5,6 𝑐𝑚 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑛𝑑𝑖 à 1 𝑚𝑚 𝑝𝑟è𝑠.
2. Pour aller plus loin. Quelques valeurs particulières.
0°
30°
45°
Angle
60°
90°
cosinus
1
√𝟑
𝟐
√𝟐
𝟐
1
2
0
sinus
0
1
2
√𝟐
𝟐
√𝟑
𝟐
1
tangente
0
√𝟑
𝟑
1
√𝟑
n'existe
pas