notion de fonction

3ème Chapitre A8
I)
1
NOTION DE FONCTION
Mise en évidence et définition.
• " Pense à un nombre, puis calcule son carré"
départ
–6
–2
0
6
7.5
11
15
x
arrivée
36
4
0
36
56.25
121
225
x²
! Remarque :
Pour les nombres – 6 et 6, le nombre d'arrivée est le
même
• " Pense à un nombre, puis multiplie le par 5"
départ
–3
4.2
7
11.3
19
x
arrivée
– 15
21
35
56.5
95
5x
2
2.5
6
x
0.5
0.4
• " Pense à un nombre, puis calcule son inverse"
départ
– 1.5
arrivée
–
0
–
! Remarque : Pour le nombre zéro, le nombre d'arrivée n'existe pas
• "Pense à un nombre, multiplie le par – 3 , ajoute lui 7"
départ
– 10
– 4.5
0
11
arrivée
37
20.5
7
– 26
27.2
– 74.6
x
– 3x + 7
Dans ces quatre exercices, nous avons utilisé quatre fonctions différentes
que l'on appellera par exemple: f ; g ; h et k
3ème Chapitre A8
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NOTION DE FONCTION
Une fonction est un outil mathématique qui, à un nombre, fait
correspondre un autre nombre.
II) Notation et vocabulaire.
• Reprenons l'exemple de la fonction appelée f. C'est l'outil
mathématique qui, à un nombre, fait correspondre son carré.
Au nombre 6, cette fonction f fait correspondre le nombre 36.
On note: f :
6
36
Antécédent de 36 par la fonction f
image de 6 par la fonction f
On dit que 36 est l'image de 6 par la fonction f.
Cette image est unique.
On dit aussi que 6 est l'antécédent de 36 par la fonction f.
Un nombre peut avoir plusieurs antécédents.
( 36 a deux antécédents par la fonction f: – 6 et 6 )
On note:
f ( – 6 ) = 36
Cela signifie
Cela se lit "f de (– 6) égal 36"
L'image de – 6 par la fonction f est 36
f ( 6 ) = 36
Cela se lit "f de ( 6) égal 36"
Cela signifie L'image de 6 par la fonction f est 36
La fonction f associe, au nombre x, le nombre f ( x ) qui est x².
On note: f ( x ) = x²
ou
f :
x
x²
! Remarque : Les parenthèses n'ont pas du tout la même
signification que dans une expression littérale comme k ( a + b )
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NOTION DE FONCTION
3
! Remarque : x et f ( x ) sont des nombres, mais f n'est pas un
nombre, c'est une fonction.
• Reprenons l'exemple de la fonction g.
g : x
5x
ou
g ( x ) = 5x
 Quelles sont les images des nombres – 3 ; 11.3 ; – 22 ; 15 par la
fonction g?
g ( – 3 ) = 5 ×( – 3) = – 15
g ( 11.3 ) = 5 × 11.3 = 56.5
g ( – 22 ) = – 110
g ( 15 ) = 75
Les images des nombres – 3 ; 11.3 ; – 22 et 15 par la fonction g sont
respectivement – 15 ; 56.5 ; – 110 et 75
 Donner un antécédent des nombres 35 ; 21 ; 95
g ( 7 ) = 35
g ( 4.2 ) = 21
g ( 19 ) = 95
7 est un antécédent de 35 par la fonction g
21 est un antécédent de 4.2 par la fonction g
19 est un antécédent de 95 par la fonction
• Reprenons l'exemple de la fonction h.
h: x
ou
h(x) =
3ème Chapitre A8
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NOTION DE FONCTION
 Quelles sont les images des nombres – 1.5 ; 0 ; 2.5 ; – 4 ; 3.4
par la fonction h?
h ( – 1.5 ) =
= – = – = –
h ( 0 ) n'existe pas, car la division par zéro est impossible.
h ( 2.5 ) =
=
=
= = 0.4
h ( – 4 ) = = – = – 0.25
h ( 3.4 ) =
=
=
=
Les images des nombres – 1.5 ; 2.5 ; – 4 et 3.4 par la fonction h
sont respectivement – ; 0.4 ; – 0.25 et .
L'image de 0 par la fonction h n'existe pas.
 Donner un antécédent des nombres 0.5 et par la fonction h.
h ( 2 ) = 0.5
h(6) =
2 et 6 sont des antécédents respectifs de 0.5 et par la fonction h
• Reprenons l'exemple de la fonction k.
k: x
–3x+7
ou
k ( x ) = – 3x + 7
 Calculer les images des nombres – 1 ; – 7 ; 0 ; 10 ; 2648 ;
k ( – 1 ) = – 3 × ( – 1 ) + 7 = 3 + 7 = 10
k ( – 7 ) = – 3 × ( – 7 ) + 7 = 21 + 7 = 28
k(0) = –3×0+7 = 7
k ( 10 ) = – 3 × 10 + 7 = – 30 + 7 = – 23
k ( 2648 ) = – 3 × 2648 + 7 = – 7944 + 7 = – 7937
k( ) = –3×( )+7 = –2+7 = 5
3ème Chapitre A8
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NOTION DE FONCTION
Les images des nombres – 1 ; – 7 ; 0 ; 10 ; 2648 ; par la fonction
k sont respectivement: 10 ; 28 ; 7 ; – 23 ; – 7937 ; 5
 Donner un antécédent des nombres 20.5 ; – 26 ; – 74.6 ; 34
D' après le tableau du I)
k ( – 4.5 ) = 20.5
k ( 11 ) = – 26
k ( 27.2 ) = – 74.6
Donc – 4.5 ; 11 et 27.2 sont des antécédents respectifs des nombres
20.5 ; – 26 et – 74.6 par la fonction k.
Pour trouver l'antécédent de 34 par la fonction k, il faut résoudre
l'équation:
k ( x ) = 34 c'est à dire
– 3 x + 7 = 34
– 3 x = 34 – 7
– 3x = 27
x =
x = –9
– 3 x + 7 = 34
donc k ( – 9 ) = 34
Donc 9 est un antécédent de 34 par la fonction k.
! Remarque : Pour déterminer une fonction l, on peut au choix:
utiliser une phrase
La fonction l qui, à un
nombre associe le cube
de son quart.
II)
utiliser sa notation
l: x
( )3
utiliser une égalité
l(x) = ( )3
Représentation graphique d'une fonction.
On considère une fonction f , un nombre a et l'image de a par la fonction f
notée f ( a )
3ème Chapitre A8
6
NOTION DE FONCTION
On choisit un repère,
et on considère les points M de coordonnée (a ; f ( a ) )
L'ensemble de tous ces points est la représentation graphique de la
fonction f dans ce repère.
Exemple:
Je considère la fonction l telle que l ( x ) = ( ) 3
Je vais tracer plusieurs points de coordonnées ( a ; ( ) 3 )
l ( – 8 ) = (– ) 3 = ( – 2) 3 = – 8
l(–4) = (– )3 = (–1)3 = –1
l ( – 2 ) = ( – ) 3 = ( – 0.5)3 = – 0.125
l(0) = 0
l ( 2 ) = 0.5 3 = 0.125
l(4) = 1
l(8) = 8
x
l( x )
–8
–8
–4
–1
–2
– 0.125
0
0
2
0.125
4
1
8
8
M
o
a