I. Algèbre linéaire A. Matrices 1. Définition Une

I. Algèbre linéaire
A. Matrices
1. Définition
Une matrice est un nombre rectangulaire de nombres.
Une matrice est dénotée Anxp où n représente le nombre de rangées et p le
nombre de colonnes dans la matrice.
Les éléments de la matrice sont dénotés aij où i indique la rangée et j la colonne
où est retrouvé l’élément.
A2 x 3
a11 a12
a13
a21 a22
a23
2. Multiplication par un scalaire
Lorsqu’on multiplie une matrice par un scalaire, on doit multiplier chaque
élément dans la matrice par le scalaire.
Si A
a11 a12
alors kA
a21 a22
ka11
ka12
ka21 ka22
3. Addition et soustraction de matrices
Lorsqu’on additionne des matrices, elle doit avoir le même format nxp. Chaque
élément semblable (ayant la même rangée et colonne) est additionné à l’autre
élément semblable.
Si A
a11 a12
et B
a21 a22
b11
b12
b21 b22
alors A B
a11 b11
a12 b12
a21 b21 a22 b22
L’addition de matrices est associative : A+B+C = (A+B)+C = A+(B+C)
L’addition de matrices est commutative : A+B = B+A
La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l’addition :
k(A+B) = kA+kB
4. Multiplication de matrices
Pour que deux matrices soient compatibles pour la multiplication, le nombre de
colonnes de la première matrice doit être le même que le nombre de rangée de
la deuxième. Donc, si A3x2 et B2x4, les matrices sont compatibles pour la
multiplication.
Dans la multiplication : AmxnBjxk n doit être égal à j et la matrice résultante sera
de format mxk.
Pour déterminer la valeur d’un élément, par exemple l’élément c11, nous
faisons la somme des produits des éléments de la première rangée de la matrice
A et de la première colonne de la matrice B.
1
B. Résolution de systèmes d’équations
1. par substitution
2. par élimination
C. La méthode Gauss-Jordan
La méthode Gauss-Jordan est semblable à la résolution de systèmes d’équations par
élimination par contre il faut transformer le système d’équations en matrice en
premier.
Une fois qu’on a la matrice, nous transformons celle-ci en matrice identité. Les
transformations des lignes possibles sont :
a. on peut multiplier une ligne par un scalaire
b. on peut échanger les lignes de place
c. on peut soustraire ou additionner deux lignes
D. Les matrices inverses
Étant donné une matrice A, la matrice inverse est dénotée A-1.
Si deux matrices, A et B, sont inverses l’une de l’autre, alors :
AB = BA = I
Nous pouvons aussi utiliser la matrice inverse afin de résoudre un système
d’équations.
Prenons les matrices A et X.
A représente la matrice des coefficients des variables, B représente la matrice des
égalités des systèmes d’équations et X la matrice de variables.
AX = B
AA-1X = A-1B
1
http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQolZfMU9dJG8SwCSK2VjagMeXCj0wMzmIdW_LndazNKxaayL3wrA
IX = A-1B
X = A-1B
Pour trouver l’inverse, nous mettons la matrice dont nous voulons trouver l’inverse
à côté de la matrice identité. Nous transformons la matrice originale en matrice
identité. Pour chaque transformation sur la matrice originale, nous appliquons la
même transformation à la matrice identité.
E. Systèmes d’équations sans solution
1. Déterminer les solutions possibles
2. Effet sur l’inversibilité de la matrice
F. Les déterminants
Un système d’équations a une solution si le déterminant de la matrice est non nul.
1. Les matrices 2x2
2. Les matrices 3x3
a. la formule générale
det A ai1 ( 1) i 1 det Ai1
ai 2 ( 1) i 2 det Ai 2
ai 3 ( 1) i 3 det Ai 3
Aij est la sous-matrice qui est obtenue de A en enlevant les rangées et
colonnes i et j.
b. la règle de Sarrus
detA = aei + bfg + cdh – ceg – afh – dbi
c. l’algorithme de Gauss
Si une matrice de 3x3 possède un triangle de zéros inférieur ou supérieur, le
déterminant de la matrice peut être déterminé en multipliant la diagonale.
G. Les comatrices et les matrices transposées
1. Définition de comatrice
comatA
1i j det Bij
T
Bij est la sous-matrice qui est obtenue de A en enlevant les rangées et colonnes i
et j.
2. Définition de matrice transposée
Une matrice transposée est celle où les rangées et les colonnes sont échangées.
3. L’inverse d’une matrice en fonction des comatrices et matrices transposées
comatA
A1
det A
A comatA = detA(I)
H. La règle de Cramer
Ax b
x A -1 b
1
x
comatA b
detA
xj
det A j
det A
où Aj est la matrice obtenue en remplaçant la colonne j par b.
II. Nombres complexes
1. Définition
Prenons x2+1=0. Étant donné que x2=-1, il n’y aura pas de solution réelle. Nous
avons donc dénoté i2=-1 où i est un nombre imaginaire ou dans le domaine
complexe.
Un nombre complexe, z, consiste d’une partie réelle et d’une partie imaginaire.
z=a+bi où a est réel et b est imaginaire
2. Représentation graphique
Nous représentons les nombres complexes sur un plan cartésien où l’axe des
abscisses représente la droite numérique des nombres réels et l’axe des ordonnées
la partie imaginaire du nombre complexe.
3. Le module d’un nombre complexe
Le module indique la distance d’un nombre complexe par rapport au point zéro;
soit la partie réel et imaginaire sont tous deux zéro.
Le module peut être calculé de la même façon d’une distance sur un plan
cartésien :
| z | | a bi |
a 2 b2
4. L’addition de nombres complexes
Étant donné deux nombres complexes : a+bi et c+di
Si nous additionnons (a+bi) + (c+di), les parties réelles s’additionnent et les
parties imaginaires s’additionnent pour donner :
(a bi) (c di) (a c) (b d )i
S’il s’agit d’une égalité, les parties réelles sont égales l’une à l’autre ainsi que
pour les parties imaginaires :
a bi c di
alors, a=c et b=d
5. Le complexe conjugué
Le conjugué d’un nombre complexe est pareil que le conjugué d’un nombre
radical.
Étant donné z a bi
le conjugué sera donc z
a bi (z barre)
6. La multiplication de nombres complexes
La multiplication des nombres complexes est distributive. Lorsqu’on multiplie des
nombres complexes nous appliquons la distributivité comme nous faisons pour un
binôme.
(a bi )(c di )
ac adi bci bdi 2
Remarquez que le dernier terme est i2 qui, par définition, est égal à -1. Nous avons
donc,
(ac bd ) (ad bc)i
7. La division de nombres complexes
Lorsque nous divisons deux nombres complexes, nous utilisons le conjugué du
dénominateur pour trouver un nombre complexe équivalent. C’est la même
méthode que lorsqu’on rationnalise un radical.
a bi
c di
a bi c di
c di c di
(ac bd ) (bc ad )i
c2 d 2
8. i n
Nous pouvons dériver i à n’importe quel exposant. Il suffit de trouver le patron.
i i
i2
1
3
2
i i i
i
4
i
5
2
i i
1i
2
i
1 1 1
4
i i 1i i
Nous n’avons qu’à diviser l’exposant par 4. Le reste de la division nous donnera
la valeur de i.
Par exemple, i 21 .
Nous divisons 21 par 4 et il nous restera 1. alors i 21
9. Les propriétés de nombres complexes
a. z1 z2 z1 z2
b. z1 z2
z1 z2
c. z z | z |2
d. z1 / z2
z1 / z2
10. Résolution d’équations
i1
i
Lorsque nous résolvons des équations avec des nombres complexes, la partie
réelle est égale à la partie réelle et la partie imaginaire est égale à la partie
imaginaire.
Par exemple, dans a bi c di , a=c et b=d
Alors, si 3 xi y 2i , y 3 et x
2
11. La forme polaire d’un nombre complexe
Étant donné qu’on peut représenter un nombre complexe de la forme algébrique,
z a bi , sous la forme de coordonnées, il est possible de déterminer la forme
polaire de ce nombre.
Étant donné z a bi placé sur le plan complexe, a représente notre coordonnée
x et b représente notre coordonnée y.
z
a bi devient alors z
Avec une substitution de x
z
r (cos
x
yi
r cos et y r sin nous obtenons donc,
i sin )
Cette expression est abrégée à :
z
rcis
a. le produit de nombres complexes sous forme polaire
z1 r1 (cos
i sin ) et z2 r2 (cos
i sin )
z1 z2
r1r2 (cos
i sin )(cos
z1 z2
r1r2 (cos cos
i cos sin
z1 z2
r1r2 (cos cos
sin sin
z1 z2
r1r2 (cos(
) i sin(
i sin )
i sin cos
i(cos sin
))
r1r2 (cis (
i 2 sin sin )
sin cos ))
))
b. le quotient de nombres complexes sous forme polaire
L’inverse d’un nombre complexe z est :
1 1
cis( )
z r
Le quotient peut donc être déterminé utilisant l’inverse du nombre
complexe :
z1
z2
z1
z1
z2
r1cis
z1
z2
r1
z1
z2
r1
cis (
r2
1
z2
1
cis (
r2
)
1
cis (
r2
)
)
12. Le théorème de Moivre
Étant donné un nombre complexe sous la forme polaire, le théorème de Moivre
nous dit que :
(rcis ) n r n cis (n ) pour tout n
13. Les ne racines d’un nombre complexe
Étant donné un nombre complexe z, si nous voulons trouver la ne racine nous
pouvons l’écrire zn=u.
Supposons que u
Donc, z n
cis
(une racine)
cis et par conséquent r n cisn
cis .
1
n
Si r n
, alors nous savons que r
Aussi, n
mais avec la périodicité des angles n
2k
à
.
n
n
2k
Ces deux termes peuvent donc entrer dans une seule formule :
1
2k
n
où r
et k 0,1, 2,..., n 1
zk rcis
n
n
qui se simplifie
III. Coordonnées polaires
On représente parfois des coordonnées à l’aide du système de coordonnées polaires.
Ceux-ci diffèrent du système cartésien qui utilise les coordonnées x et y sur deux
axes ainsi nommés. Les coordonnées polaires sont représentées par un rayon (r) et
un angle (θ) par rapport à l’angle 0.
1. Représentation d’une coordonnée polaire
Le rayon indique la distance par rapport au point d’origine
L’angle indique l’angle par rapport à l’axe polaire
Une coordonnée est dénotée : (r, θ)
L’angle positif indique la mesure de l’angle dans le sens anit-horaire et un angle
négatif indique la mesure dans le sens horaire.
Le rayon positif indique la direction de l’angle et celui négatif indique le côté
opposé de l’angle. Indiqué différemment, (-r, θ) est équivalent à (r, θ + 180°) ou
(r, θ + π).
Exemple :
Représenter le point (4, 45°) sur un plan polaire
Quelles sont les autres façons de représenter le point (3, 60°)?
2. La relation entre les coordonnées polaires et cartésiennes
En utilisant la trigonométrie dans le plan cartésien on en déduit la relation :
cos
sin
x
r
y
r
x2 + y2 = r2
tan
y
x
donc, x = r cos θ
donc, y = r sin θ
donc, r
donc,
x2
tan
y2
1
y
x
Exemple :
Quelles sont les coordonnées cartésiennes de la coordonnée polaire (4, 3π/4)?
Quelles sont les coordonnées polaires de la coordonnée cartésienne 1, 3 ?
Quelles sont les coordonnées polaires du point (-2, -4)?
3. Relations graphiques en coordonnées polaires
IV. Suites et séries
Une suite est composée d’une fonction où le domaine s’agit d’entiers positifs. On
peut démontrer la suite comme suit :
f(1), f(2), f(3), …, f(n),…
ou en utilisant la notation pour les suites où cn = f(n) :
c1, c2, c3, …, cn
Le premier numéro est nommé le premier terme et est dénoté c1, le deuxième numéro
est le deuxième terme (c2) et ainsi de suite jusqu’au ne terme (cn).
1.
Les suites arithmétiques
Une suite est dite arithmétique si la différence entre chaque terme successif est
égale. Par exemple :
1, 3, 5, 7, …
La différence entre chaque terme est 2.
La formule générale pour une suite arithmétique est donnée par :
cn = (n-1)r + c1
2.
où r est la différence entre deux termes successifs
Les suites géométriques
Une suite est dite géométrique si le quotient de deux termes successifs est égal à
n’importe quels autres deux termes. Par exemple :
2, 4, 8, 16, …
Chaque terme successif est un facteur de 2 du précédent.
La formule générale est donnée par :
cn = c1rn-1
3.
où r est le facteur entre deux termes successifs
Les suites récursives
Une suite récursive est une suite qui contient toujours le terme précédent. Le
premier terme doit être défini. Par exemple :
c1 = 2, cn+1 = cn + 3
Certaines suites ne sont ni arithmétiques, ni géométriques et d’autres sont les
deux en même temps.
4.
Les limites de suites
Pour qu’une suite possède une limite, elle doit avoir ces caractéristiques :
-
elle doit être monotone (soit croissante ou décroissante)
elle doit être bornée (doit avoir une valeur qu’elle ne rejoint pas)
Il faut premièrement démontrer ces deux caractéristiques avant de trouver la
limite. Nous pouvons démontrer la première par induction et la deuxième par
substitution.
5.
Preuve par induction
Pour prouver qu’une formule pour calculer la somme est bel et bien la bonne, il
faut suivre ces étapes :
- la formule doit fonctionner pour le premier terme
- on assume que la formule fonctionne pour n
- on démontre que la formule est vraie pour n+1
6.
La notation sigma (les séries)
Une série est une suite où on additionne chaque terme de celle-ci. On peut
dénoter cette somme avec la lettre grecque sigma (∑). Pour faire ceci, il nous
faut la formule générale de la suite. La formule de suite récursive ne peut être
utilisée avec la notation sigma.
On peut simplifier une série à l’aide d’une seule formule. Il suffit d’utiliser ces
séries suivantes :
n
i
i 1
n
n(n 1)
2
i2
i 1
n(n 1)(2n 1)
6
n
i3
i 1
n 2 (n 1) 2
4
Si l’intervalle est de 1 à n, ces trois formules peuvent être utilisées. Par contre, si
l’intervalle est de k à n, il faut faire une soustraction de sommes.
n
n
f (i)
i k
n
f (i)
i 1
f (i)
i k 1