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Année 2008
Département des
Sciences et Techniques
Licence de Mathématiques
L3
Contrôle continu de Topologie
du 17 mars 2008, 8h30-11h30, salle A7
Questions de cours (8 points)
I. Définissez les notions suivantes :
1. Partie ouverte d’un espace métrique (E, d).
2. Voisinage d’un point dans un espace topologique (E, O).
3. Point adhérent à une partie d’un espace topologique (E, O).
4. Partie bornée dans un espace métrique (E, d).
5. Diamètre d’une partie bornée dans un espace métrique (E, d).
6. Continuité en un point d’une application entre deux espaces topologiques.
7. Partie compacte d’un espace topologique séparé (E, O).
II. Énoncer le théorème caractérisant une application f continue entre deux espaces topologiques. Démontrer
l’implication
f est continue =⇒ l’image réciproque par l’application f de tout ouvert est un ouvert .
III. Soient (E, O) un espace topologique, A une partie non vide de E, OA la topologie induite sur A par
celle de E et iA : A → E l’injection canonique (i.e. iA (x) = x pour tout x ∈ A).
1. Montrer que iA est continue de (A, OA ) dans (E, O).
2. Donner des conditions suffisantes vérifiées par A pour que iA soit une application ouverte
(resp. fermée) de (A, OA ) dans (E, O).
IV. Démontrer l’affirmation :
toute partie compacte d’un espace topologique séparé est fermée.
Exercice (4 points)
Soit (E, d) un espace métrique, et A et B deux parties de E. Montrer que :
1. int (A ∩ B) = int (A) ∩ int (B).
2. (A ∪ B) = Ā ∪ B̄.
3. int (A ∪ B) ⊃ int (A) ∪ int (B).
4. (A ∩ B) ⊂ Ā ∩ B̄.
5. Montrer à l’aide d’un exemple que les deux dernières inclusions peuvent être strictes.
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Problème (8 points)
Sur le produit des espaces compacts
Dans ce problème l’espace métrique R sera muni de sa distance usuelle. Soient (E 0 , d0 ) et (E 00 , d00 ) deux
espaces métriques. Posons E = E 0 × E 00 et considérons les applications d : E × E → R, p0 : E → E 0 ,
p00 : E → E 00 définies par
∀x = (x0 , x00 ), y = (y 0 , y 00 ) ∈ E,
d(x, y) = d0 (x0 , y 0 ) + d00 (x00 , y 00 );
∀x = (x0 , x00 ) ∈ E
p0 (x0 , x00 ) = x0 ;
∀x = (x0 , x00 ) ∈ E
p00 (x0 , x00 ) = x00 .
Pout tout (a0 , a00 ) ∈ E 0 × E 00 fixé, on définit les applications ia00 : E 0 → E et ja0 : E 00 → E par
∀x0 ∈ E 0
ia00 (x0 ) = (x0 , a00 );
∀x00 ∈ E 00
ja0 (x00 ) = (a0 , x00 ).
Si a = (a0 , a00 ) ∈ E = E 0 × E 00 et r est un réel positif, on note B(a; r) (resp. B 0 (a0 ; r), B 00 (a00 ; r)) la boule
ouverte de centre a (resp. a0 , a00 ) et de rayon r de l’espace (E, d) (resp. (E 0 , d0 ), (E 00 , d00 )).
1. Montrer que d est une distance sur E (appelée «distance produit» ).
2. On suppose uniquement dans ce point que E 0 = E 00 (donc E = E 0 × E 0 ) et d0 = d00 . Montrer que
d0 : (E, d) → R est continue.
3. Montrer que les applications p0 : (E, d) → (E 0 , d0 ) et p00 : (E, d) → (E 00 , d00 ) sont continues.
4. En déduire que :
l’espace métrique (E, d) est compact =⇒ les espaces métriques (E 0 , d0 ) et (E 00 , d00 ) sont compacts.
5. Montrer que pour tout (a0 , a00 ) ∈ E 0 × E 00 , les applications ia00 : (E 0 , d0 ) → (E, d) et ja0 : (E 00 , d00 ) →
(E, d) sont des isométries.
6. Montrer que pour tout a = (a0 , a00 ) ∈ E et r > 0 on a :
p0 (B(a; r)) = B 0 (a0 ; r),
p00 (B(a; r)) = B 00 (a00 ; r).
7. En déduire que les applications p0 : (E, d) → (E 0 , d0 ) et p00 : (E, d) → (E 00 , d00 ) sont ouvertes.
8. Considérons (x0n ) une suite de E 0 , (x00n ) une suite de E 00 et posons, pour tout n ∈ N, xn = (x0n , x00n ).
Montrer que :
(xn ) converge dans (E, d) ⇐⇒ [(x0n ) converge dans (E 0 , d0 ) et (x00n ) converge dans (E 00 , d00 )]
Dans ce cas
lim xn = (lim x0n , lim x00n ).
9. En déduire que :
les espaces métriques (E 0 , d0 ) et (E 00 , d00 ) sont compacts =⇒ l’espace métrique (E, d) est compact.
10. Soit A0 ⊂ E 0 et A00 ⊂ E 00 , et posons A = A0 × A00 . Soit a = (a0 , a00 ) ∈ A.
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(a) Préciser les ensembles p0 −1 (A0 ), p00 −1 (A00 ), p0 −1 (A0 ) ∩ p00 −1 (A00 ), i−1
a00 (A) et ja0 (A).
(b) En déduire que
A est un ouvert de (E, d) ⇐⇒ [A0 est un ouvert de (E 0 , d0 ) et A00 est un ouvert de (E 00 , d00 )]
A est un fermé de (E, d) ⇐⇒ [A0 est un fermé de (E 0 , d0 ) et A00 est un fermé de (E 00 , d00 )]
11. En utilisant les points 4., 9. et 10. montrer que, pour toute partie K ⊂ R2 (muni de la distance
produit) on a :
K est un compact ⇐⇒ K est fermé et borné.
(Indication : on pourrait commencer par le cas où K est un produit cartésien de deux segments ...)
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