f (+) (x,y,t)

Membranes couplées et interaction avec le
timbre: expériences numériques
Stefan Bilbao
Acoustics and Fluid Dynamics Group / Music
University of Edinburgh
CFA, Lyon: avril, 2010.
Idée generale: simulation d’une caisse claire, en utilisant méthodes
différences finites (temporelles)…avec but le synthèse sonore.
Couplage numérique entre composantes: membranes, champ acoustique
et timbre
1.
2.
3.
4.
5.
modèle
schémas différences finies
simulations et exemples sonores
comparaison: modèle piston
coût de calcul
Modèle: région 3D
•
Intérieur du domaine (parallélépipède):
l’équation des ondes, en 3D:
 tt  c 2 2
   ( x, y , z , t )
•
c: célérité de l’air
•
Ψ: une fonction potentielle, liée aux variables
acoustiques par:
p   t
u  
vitesse
pression
•
Condition de limite Neumann, sur une cylindre
rigide:
  n  0
•
Extérieur: conditions absorbantes (ici Engquist-Majda…autres possibilités!)
 t  c n  0
1e ordre

c2
 tt  c nt   s1s1  s2 s2
2
2e ordre


Modèle: membranes
•
membranes: l’équation des ondes 2D, avec
termes supplémentaires…
v vtt  Tv 2v    f v(  )  f v( )  f exc
 w wtt  Tw 2 w    f w(  )  f w( )  f snare
•
•
•
•
•
v(x,y,t), w(x,y,t): déplacements transversales
ρv, ρw: densités, kg/m2 (différentes en general)
Tv, Tw: tensions kg/s2 (différentes en general)
…: autres termes (pertes internes, raideur, effets
nonlinéaires)
conditions de limite:
v, w  0
f(+)(x,y,t)
f(-)(x,y,t)
x2  y 2  R2
•
•
fexc: force dû à l’excitation
fsnare: force dû à l’interaction avec les colles
•
f(+), f(-): forces dû à l’interaction avec le champ
acoustique…
Couplage membrane/champ acoustique
•
Membrane: position d’équilibre, à z=z0, avec déplacement transversale v(x,y,t)
f(+)(x,y,t)
z
v(x,y,t)
ψ(z0 + ε)
z=z0
ψ(z0 - ε)
f(-)(x,y,t)
•
Pression:
f (  )    t ( x, y, z  z0   , t )
•
f (  )   t ( x, y, z  z0   , t )
Continuité de vitesse:
vt   z ( x, y, z  z0   , t )   z ( x, y, z  z0   , t )
Excitation
•
Modèle typique d’excitation: masse/ressort, avec raideur nonlinéaire…utilise
f exc  g ( x, y) f in (t )
Modèle: timbre
membrane
Ensemble de fils (12-15)
•
•
•
ensemble de fils fixés au
membrane de résonance…
fils hélicoïdales…sous tension
en contact partiel avec la
membrane…
membrane
régions de
contact
support
support
fil
•
modèle simple: l’éq. des ondes 1D (corde):
(q)
(q)
(q)
qème fil:  s Artt  Ts r    f snare
f snare
force totale sur membrane:
(q)
  f snare
 ( q ) ( x, y  D ( q ) )
q
•
:
collisions
distribuées:



(q)


K
r

v

(q)
f snare


0

r (q)  v  0
r
(q)
v  0
x, y  D ( q )
région totale de
contact, fil q
Différences finies: 3D
•
Discrétisation spatiale/temporelle:
•
•
 ln,m, p   x  lh, y  mh, z  ph, t  nk 
k: pas temporel (=1/fs)
h :pas spatial
•
schéma simple (2e ordre) pour l’éq. des ondes:
 ln,m1, p  2 ln,m, p  ln,m1, p

 2  ln1,m, p  ln1,m, p  ln,m1, p  ln,m1, p  ln,m, p 1  ln,m, p 1  6 ln,m, p
•
•
avec
Condition de stabilité (von Neumann, analyse
énérgetique):
•
•
Spécialization du schéma
necessaire aux
bords…(cylindre rigide, et
exterieure):
Travaux liés (timpani)
Rhaouti, Chaigne et Joly,
JASA, 1999.
  ck / h

1
3

h  3ck

Différences finies: 2D/1D
•
•
•
•
discrétisation spatiale/temporelle:
k: pas temporel (=1/fs)
hv,hw :pas spatiaux, membranes (distincts)
hr::pas spatial, fils (egaux)
•
schémas 2D:
n
l ,m
n
l ,m
v ,w
•
 v, wx  lhv,w , y  mhv,w , t  nk 

rl( q ) n  r ( q ) x  lhr , t  nk 


vln,m1  2vln,m  vln,m1  2v vln1,m  vln1,m  vln,m1  vln,m1  4vln,m  
•
cond. de stabilité:
v , w  cv , w k / hv , w
•
v , w 
spécialization des schémas aux limites…

rl( q ) n 1  2rl( q ) n  rl( q ) n 1  2r rl(q1) n  rl(q1) n  2rl( q ) n  
•
1
 hv ,w  3cv ,w k
2
schémas 1D:
cond. de stabilité:
v , w  cv , w k / hv , w
r 1  hr  cr k
Choix des pas spatiaux et interpolation
•
Condition de stabilité:
indique un pas spatial
minimal pour un pas
temporel donné.
•
h = hmin
Choisir le pas spatial
loin de cette limite
dispersion numérique et
limitation de largeur de
bande sévère!
•
•
h = 2hmin
pas distincts pour membranes, espace acoustique et fils  interpolation nécessaire
plusieurs choix…linéaire/bilinéaire est simple (et pas coûteux)
Ψ(+)
r
v
w
Ψ(-)
Simulations: membranes et rayonnement
Simulations: interaction membrane/timbre
Exemples sonores
Comparaison: modèle piston
•
Un modèle simple utilisé souvent dans l’acoustque musicale (Rossing et al, JASA, 1992), et aussi en
synthèse sonore (Avanzini et al, IEEE Transactions on Audio Speech and Language Processing,
2010).
 v vtt  Tv 2v  B / V0  ( w  v)d  
A
 w wtt  Tw 2 w  B / V0  ( w  v)d  
A
•
Couplage depend sur le module d’elasticite B de l’air, et le volume totale V0…
•
A noter: que de communication des modes axisymétriques entre les deux membranes…
–
–
–
•
déplacement des fréquences modales (couplées) est tres differente…
densite modale (manquant les modes de la cavité) est réduite…
dynamique du timbre est plus cohérente…
Comparaison sonore
(manquant: bon modèle de rayonnement!)
Coût de caclul
•
•
Coût dominant: calcul de la solution de l’éq. des ondes 3D…
Supposons une région de volume V, et un pas spatiale de
h  3ck
•
La mémoire et nombre d’opérations/seconde sont, pour un schéma 2e ordre:
N
•
2V
3 ck
3V
c k4
3
c = 340 m/s
k = 1/32000 s
V = 0.53 m3
N  4 10 4
•
O
Pour une système typique:
–
–
–
•
•
3/ 2 3 3
O  5.7 109
flops
…qui est grande, mais pas énorme, et pas loin (en théorie!) de temps-réel.
Très importante alors, d’avoir une condition absorbante qui permet une région de computation
minimale!
Pour le modèle piston, les coûts sont beaucoup reduits!
Perspectives
• Une modele tres simple, geree vers la simulation des tambours…
– Couteux, mais pas enormement…
• Une modele trop simple:
– Coque cylindrique pas modelisee