1 Réponse d`un circuit RC série à un échelon de tension

Lycée Naval, Sup 2.
Signaux Physiques. 06. Circuit linéaire du premier ordre
→ La tension uc est continue en t = 0, le condensateur se charge, la tension
augmente jusqu’à atteindre une valeur constante égale à E.
Circuit linéaire du premier ordre
→ L’intensité du courant i est discontinue en t = 0 ; partant d’une valeur maximale
en t = 0+ , l’intensité décroît pour s’annuler une fois le condensateur chargé.
1
→ On distingue, le régime permanent, une fois que les grandeurs ne dépendent
plus du temps (ici pour t > 0, 5 s) et le régime transitoire entre l’instant initial
et le régime permanent.
Réponse d’un circuit RC série à un échelon de tension
On s’intéresse à la réponse d’une association série {conducteur ohmique, condensateur} que l’on soumet « brusquement » à une tension E constante.
Le condensateur est initialement déchargé, et on ferme l’interrupteur à t = 0.
1.3
Équation différentielle vérifiée par uc (t)
On s’intéresse à l’évolution du circuit, une fois l’interrupteur fermé, ∀t > 0.
1.1
Montage
→ Loi d’additivité des tensions : u = E = uR + uc
K
i
R
E
uR
E
→ Caractéristiques des dipôles : uR = Ri et i = C
u(t)
u
On en déduit :
uc
C
∀t > 0,
t
0
1.2
1.4
Résultats expérimentaux
u(t) (V)
uc (t) (V)
i(t) (mA)
6
4
2
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
2
1.5
Analyse de l’équation différentielle
Résolution de l’équation différentielle
Le condensateur est initialement déchargé uc (0− ) = 0, la continuité de la tension
aux bornes d’un condensateur assure que : uc (0+ ) = uc (0− ) = 0.
4
2
0
0.1
duc
+ uc
dt
→ La loi d’additivité des tensions conduit à :
E − uc (t)
∀t > 0, i(t) =
R
En particulier pour t = 0+ , le condensateur est déchargé, i est maximale et vaut
i(0+ ) = E/R ; une fois le régime permanent atteint, l’intensité s’annule.
4
0
0.1
6
E = RC
→ L’équation différentielle fait apparaître τ = RC, la constante de temps du
circuit.
duc
→ Une fois le régime permanent atteint
= 0, on conclut que uc = E en régime
dt
permanent.
On réalise une première expérience avec R = 1, 0 kΩ, C = 100 µF et E = 6, 0 V.
0
0.1
6
duc
dt
0.0
0.1
0.2
t (s)
0.3
0.4
0.5
Le problème à résoudre est donc le suivant : on cherche uc qui vérifie :
duc
+ uc et uc (0+ ) = 0
∀t > 0, E = τ
dt
0.6
1
La solution générale est de la forme :
∀t > 0,
6
t
uc (t) = E + A exp −
τ
1.6
uc (V)
La condition initiale impose : uc (0+ ) = 0 = E + A ⇒ A = −E, on en déduit :
∀t ≥ 0, uc (t) = E 1 − e−t/τ
4
2
R =1,0 kohm
R =500 ohm
R =220 ohm
Tracé et constante de temps
0
0.00
La courbe théorique ci-dessous représente l’évolution de la tension aux bornes du
condensateur en fonction de la variable adimensionnée t/τ .
regime transitoire
permanent
1.7
E
0.05
0.10
0.15
0.20
t (s)
0.25
0.30
Intensité du courant au cours de la charge
uc
→ L’intensité du courant est nulle pour t < 0 (circuit ouvert).
E
→ Pour t > 0, l’intensité a pour expression i(t) = e−t/τ , cette relation peut être
R
obtenue de deux manières :
— En utilisant la loi des mailles :
E = Ri(t) + uc (t) = Ri(t) + E 1 − e−t/τ
⇔ 0 = Ri(t) − Ee−t/τ
— En utilisant la caractéristique du condensateur :
0,63E
0
0
1
2
3
t/τ
4
5
6
7
i(t) = C
→ Pour t = 5τ , uc (5τ ) = E(1 − e−5 ) ' 0, 99 E, on peut considérer que la tension
uc a atteint sa valeur finale.
duc
−1 −t/τ
E × C −t/τ
E
= C × (−E) ×
e
=
e
= e−t/τ
dt
τ
RC
R
E/R
Le régime permanent est atteint au bout d’une durée de l’ordre de 5τ .
→ La constante de temps peut être déterminée graphiquement de deux manières :
i
? La tension uc atteint 63% de sa valeur finale pour t = τ ; en effet (1−e−1 ) ' 0, 63
? La tangente à l’origine coupe l’asymptote y = E pour t = τ .
0,37E/R
E
En effet, u0c (0+ ) = E/τ , la tangente à l’origine a donc pour équation y(t) = t,
τ
pour t = τ , y(τ ) = E.
0
Les courbes ci-contre, obtenues expérimentalement, présentent l’influence de la
constante de temps sur la charge du condensateur ; pour les expériences la capacité
est fixée à C = 100 µF, et R prend trois valeurs distinctes.
2
0
1
2
t/τ
3
4
5
1.8
Bilan énergétique
2.1
→ Énergie fournie par le générateur :
Compte tenu des conventions d’orientation, les caractéristiques s’écrivent :
duc
i = −C
et uc = Ri
dt
On en déduit :
duc
= 0 avec τ = RC
∀t > 0, uc + τ
dt
t
t
Z
i∞
E −
E2 ∞ −
E2 h
τ
τ
Eg = E × i(t)dt = E × e dt =
e dt =
−τ e−t/τ
= CE 2
R
R 0
R
0
0
0
Z
∞
Z
∞
→ Énergie stockée dans le condensateur :
1
Ec = CE 2
2
→ Énergie dissipée par effet Joule :
2.2
Z
La continuité de la tension aux bornes du condensateur assure que uc (0+ ) =
uc (0− ) = U0 , on en déduit A = U0 et finalement :
On en déduit : Eg = Ec + EJ .
uc (t) = U0 e−t/τ
∀t ≥ 0,
L’énergie fournie par le générateur est, pour moitié, stockée sous forme
d’énergie électrostatique dans le condensateur et, pour moitié, dissipée
par effet Joule.
2.3
Résultats expérimentaux
L’expérience a été réalisée avec C = 100 µF et R = 1, 0 kΩ. On observe la décharge
du condensateur en une durée caractéristique τ ' 0, 1 s.
Le bilan énergétique peut être obtenu en multipliant chaque terme de la loi des
mailles par l’intensité du courant :
duc
d 1 2
2
2
2
(E = Ri + uc ) × i ⇒ Ei = Ri + uc × i = Ri + uc × C
= Ri +
Cu
dt
dt 2 c
d 1 2
2
Ei
=
Ri
+
Cu
|{z}
|{z}
dt 2 c
Puissance fournie
Puissance effet Joule
|
{z
}
uc (t) (V)
6
Puissance reçue condensateur
2
Résolution de l’équation différentielle
En l’absence de second membre, la solution se limite à la solution homogène :
∀t > 0, uc (t) = Ae−t/τ
2t
Z
∞
∞
E2 −
E 2 ∞ −2t/τ
E2τ
1
2
EJ = R × i (t)dt = R × 2 e τ dt =
e
dt =
= CE 2
R
R 0
2R
2
0
0
Z
Équation différentielle vérifiée par uc (t)
uc
4
2
Décharge d’un condensateur
0
0.1
On s’intéresse à la décharge d’un condensateur dans une résistance. Le condensateur est initialement chargé sous une tension U0 . À l’instant initial, on ferme
l’interrupteur.
0.0
0.1
0.2
t (s)
0.3
0.4
0.5
0.6
K
i
C
3
i
uc
Réponse d’un circuit RL série à un échelon de tension
R
On s’intéresse à la réponse d’une association série {conducteur ohmique, bobine}
que l’on soumet brusquement à une tension E constante.
On ferme l’interrupteur à t = 0.
3
3.1
Montage
3.4
K
i
u
E
L
→ L’équation différentielle fait apparaître τ = , la constante de temps du
R
circuit. La bobine tend à retarder l’installation du courant.
di
E
→ Une fois le régime permanent atteint
= 0, on conclut que i =
en régime
dt
R
permanent.
u(t)
uL
E
R
uR
t
0
3.5
3.2
Résultats expérimentaux
tension (V)
Le problème à résoudre est donc le suivant : on cherche i qui vérifie :
E
di
∀t > 0,
= τ + i et i(0+ ) = 0
R
dt
La solution générale est de la forme :
t
E
∀t > 0, i(t) =
+ A exp −
R
τ
2
u
uR
0.000
0.005
0.010
t (s)
0.015
0.020
Résolution de l’équation différentielle
Tant que l’interrupteur est ouvert, l’intensité du courant est nulle i(0− ) = 0, la
continuité de l’intensité du courant parcourant une bobine assure que : i(0+ ) =
i(0− ) = 0.
On réalise une première expérience avec R = 100 Ω, L = 0, 20 H et E = 3, 0 V.
0
0.005
Analyse de l’équation différentielle
E
E
+ A ⇒ A = − , on en déduit :
R
R
E
i(t) =
1 − e−t/τ
R
La condition initiale impose : i(0+ ) = 0 =
0.025
∀t ≥ 0,
→ Pour un conducteur ohmique i = uR /R, la mesure de la tension est une image
directe de l’intensité du courant parcourant la résistance.
3.6
→ L’intensité i est continue en t = 0 ; en présence d’une bobine, l’intensité s’installe progressivement jusqu’à atteindre une valeur limite en régime permanent.
Tracé
regime transitoire
permanent
E/R
3.3
Équation différentielle vérifiée par i(t)
i
On s’intéresse à l’évolution du circuit, une fois l’interrupteur fermé, ∀t > 0.
0,63E/R
→ Loi d’additivité des tensions : u = E = uL + uR
→ Caractéristiques des dipôles : uR = Ri et uL = L
di
dt
0
On en déduit :
∀t > 0,
E
L di
=
+i
R
R dt
4
0
1
2
3
t/τ
4
5
6
7
La courbe précédente représente l’évolution de l’intensité dans le circuit en fonction de la variable adimensionnée t/τ .
Annexe : résolution d’une équation différentielle linéaire
du premier ordre à coefficients constants
3.7
On considère une équation différentielle à coefficients constants de la forme :
Bilan énergétique
Pour obtenir le bilan de puissance, on multiplie la loi des mailles par i :
(E = Ri + uL ) × i
d
di
× i = Ri2 +
dt
dt
d 1 2
Li
dt 2
|
{z
}
⇒ Ei = Ri2 + uL × i = Ri2 + L
Ei
|{z}
Puissance fournie
=
Ri2
|{z}
Puissance effet Joule
+
τ
1 2
Li
2
du
+u=E
dt
La solution est de la forme : u = up + uh avec :
→ up , une solution particulière de l’équation avec second membre ;
→ uh , la solution homogène, solution générale de l’équation sans second membre.
Capacités exigibles
? La solution particulière est n’importe quelle fonction solution de :
dup
τ
+ up = E
dt
Avec un second membre constant, on recherche une solution constante, up (t) = E
convient.
→ Réaliser pour un circuit l’acquisition d’un régime transitoire du premier ordre et analyser ses caractéristiques. Confronter les résultats expérimentaux aux expressions théoriques.
? La solution homogène est la solution générale de :
dus
τ
+ us = 0
dt
→ Distinguer, sur un relevé expérimental, régime transitoire et régime permanent
au cours de l’évolution d’un système du premier ordre soumis à un échelon.
t
On montre que la solution cherchée est : us (t) = A exp −
, avec A une
τ
constante d’intégration inconnue à ce stade.
Puissance reçue bobine
***************************************
→ Interpréter et utiliser les continuités de la tension aux bornes d’un condensateur
ou de l’intensité dans une bobine.
Justification : avec la solution proposée
dus
1
t
t
τ
+ us = τ × −
× A exp −
+ A exp −
=0
dt
τ
τ
τ
→ Établir l’équation différentielle du premier ordre vérifiée par une grandeur
électrique dans un circuit comportant une ou deux mailles.
En conclusion, la solution de l’équation différentielle est donc :
t
u(t) = E + A exp −
τ
→ Prévoir l’évolution du système, avant toute résolution de l’équation différentielle, à partir d’une analyse s’appuyant sur une représentation graphique de la
dérivée temporelle de la grandeur en fonction de cette grandeur.
→ Déterminer analytiquement la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre
ou d’un échelon. Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
la constante A étant déterminée grâce à la condition initiale.
→ Réaliser des bilans énergétiques.
5
Applications directes :
AD 1.
Un condensateur de capacité C se charge sous la tension E selon la loi :
u(t) = E(1 − exp (−t/τ ))
1. Calculer le pourcentage de charge atteint à l’instant t = τ .
2. Exprimer en fonction de τ la durée ∆T nécessaire permettant à la tension de
passer de 10% de E à 90% de E (cette durée est appelée temps de montée).
AD 2.
On considère le circuit suivant :
K
R2
i2
i1
E
R1
ic
C
s
À t = 0, on ferme l’interrupteur, le condensateur est initialement déchargé.
1. Déterminer, « sans calcul », les valeurs de i1 , i2 et s en t = 0+ .
2. Déterminer, « sans calcul », les valeurs de i1 , i2 et s quand t → +∞.
3. Établir l’équation différentielle vérifiée par s.
ds
+ s = G × E en précisant les expressions de τ et
4. L’écrire sous la forme τ
dt
G.
5. Déterminer l’expression de s(t).
6. Déterminer l’instant t0 pour lequel la tension aux bornes du condensateur
atteint 90% de sa valeur maximale.
6