1 STG. CORRIGE DU D.S. 1 DE MATHEMATIQUES

1 STG. CORRIGE DU D.S. 1 DE MATHEMATIQUES
EXERCICE 1
1.
Construire obligatoirement dans le repère orthonormé cicontre les quatre droites dont les équations réduites sont les
suivantes :
D1 : y = 2x + 1
D2 : y = – x + 3
1
D3 : y = x – 1
2
2
D4 : y = – x + 4 .
3
2.
Par le calcul, déterminer l’ordonnée du point A de la droite D4 et d’abscisse est – 10.
On fait x = – 10 dans l’équation de la droite D4.
2
20
20 12 32
On obtient y = – × ( – 10) + 4 donc y =
+4=
+
=
.
3
3
3
3
3
Donc l’ordonnée du point A d’abscisse – 10 appartenant à D4 est
3.
32
32
. Donc A ( – 10 ;
).
3
3
Par le calcul, déterminer l’abscisse du point B appartenant à la droite D3 et dont l’ordonnée est – 10.
On fait y = – 10 dans l’équation de D3 .
1
1
On obtient x – 1 = – 10 ; d’où x = – 10 + 1 = – 9 ; donc x = – 9 × 2 = – 18.
2
2
Donc l’abscisse du point B d’ordonnée – 10 appartenant à D3 est – 18 . Donc B ( – 18 ; – 10).
EXERCICE 2
Résoudre graphiquement le système suivant :
 x – 2y = – 1

 2x + 3y = 12
Transformons chacune des équations en une équation de la
forme y = mx + p.
D’abord : x – 2y = – 1 ⇔ – 2y = – x – 1
1
1
⇔ 2y = x + 1 ⇔ x = x + .
2
2
Ensuite : 2x + 3y = 12 ⇔ 3y = – 2x + 12 ⇔ y = –
2
x+4 .
3
On construit les droites D1 et D2 dont ce sont les
équations réduites (figure ci-contre).
On lit les coordonnées de leur point d’intersection.
On trouve environ ( 3 ; 2 ) .
On ne demandait pas de vérifier. Faisons-le quand même ici :
D’une part, 3 – 2 × 2 = 3 – 4 = – 1.
D’autre part, 2 × 3 + 3 × 2 = 6 + 6 = 12 .
Le couple solution unique est donc bien exactement ( x ; y ) = ( 3 ; 2 ) .
EXERCICE 3
Dans un repère orthonormé, déterminer par le calcul l’équation réduite :
a) de la droite D5 de coefficient directeur 2 et passant par le point
A ( 1 : 3 ).
b) de la droite D6 passant par les points A ( 1 ; 3 ) et B ( – 2 ; – 1 ) .
a) D5 a pour coefficient directeur 2.
Donc son équation s’écrit y = 2x + p.
Comme D5 passe par le point A ( 1 ; 3 ) , les coordonnées de A
vérifient l’équation de la droite.
Donc, 2 × 1 + p = 3 , donc p = 3 – 2 = 1.
Donc l’équation de D5 est y = 2x + 1.
b) D6 a une équation de la forme y = mx + p .
Comme A ( 1 ; 3 ) et B ( – 2 ; – 1 ) appartiennent à D6 ,
y –yB
3–(–1) 4
alors m = A
=
= .
x A – xB
1–(–2) 3
Donc l’équation de D6 s’écrit y =
4
x+p.
3
Comme A ( 1 ; 3 ) ∈ D6 , alors ses coordonnées vérifient l’équation de cette droite.
4 9 4 5
4
× 1 + p = 3 . Donc p = 3 – = – =
.
Donc
3 3 3 3
3
L’équation de D6 est donc y =
4
5
x+
3
3
.
EXERCICE 4
Résoudre algébriquement et en utilisant obligatoirement la méthode la plus appropriée les systèmes suivants :
 3x + 7y = 5
a)  x – 2y = 3

 3x – 2y = 1
b)  2x – 5y = – 1

.
On ne demande pas de vérifier.
 3x + 7y = 5
 x – 2y = 3
 x = 2y + 3
 6y + 9 + 7y = 5
⇔ 
⇔ 
 3 ( 2y + 3 ) + 7y = 5
 x = 2y + 3
4
 x = 2 × ( – ) + 3 = – 8 + 39 = 31
y=– 4
13
13 13 13
13
⇔ 
⇔

4
 x = 2y + 3
 y = – 13
31
4
Donc ce système a un couple unique solution : ( x ; y ) = (
;–
).
13
13
 13y = 5 – 9 = – 4
⇔ 
 x = 2y + 3
a) 
b)
 3x – 2y = 1 / × 5

 2x – 5y = – 1 / × ( – 2 )
 x = 7
11
⇔ 
21
 – 2y = 1 – 11
⇔
 15x – 10y = 5

 - 4x + 10y = 2
 x = 7
11
⇔ 
10
 – 2y = – 11
⇔
 11x = 7
⇔ 
 3x – 2y = 1
 x = 7
11

10
 2y = 11
Donc ce système a un couple unique solution : ( x ; y ) = (
⇔
7 5
;
).
11 11
⇔
 x = 7
11

7
 3 × 11 – 2y = 1
 x = 7
11

10 1 10 5
 y = 11 × 2 = 22 = 11
EXERCICE 5
a) Un fleuriste vend des roses à 0,80 € l’une ainsi que des tulipes à 0,60 € l’une.
Il a vendu 45 roses de plus que de tulipes. La recette a été de 211 €.
Combien de fleurs de chaque sorte a-t-il vendues ?
b) Un torréfacteur met en vente deux sortes de café : l’Arabica et le Robusta.
Un mélange est composé de 60 % d'Arabica et de 40 % de Robusta et coûte 3,69 € le kilogramme.
Un lot composé de 2 kg d’Arabica et de 3 kg de Robusta coûte 17,05 €.
Quel est le prix d’un kilogramme d'Arabica et d’un kilogramme de Robusta ?
a) Soient x le nombre de roses vendues et y le nombre de tulipes vendues.
 x = y + 45
 0,80 x + 0,60 y = 211
On a donc 
 x = y + 45

 0,80 ( y + 45 ) + 0,60 y = 211
⇔
. Résolvons ce système par substitution.
 x = y + 45
 x = y + 45
⇔ 
⇔  1,40 y = 211 – 36 = 175
 0,80y + 36 + 0,60y = 211

 y = 175 = 125
1,40

 x = 125 + 45 = 170
.
Vérifions : 170 = 125 + 45 et 0,80 × 170 + 0,60 × 125 = 136 + 75 = 211 .
Donc le fleuriste a vendu 170 roses et 125 tulipes.
b) Soient x le prix d’un kg d’Arabica et y le prix d’un kg de Robusta.
 60 x + 40 y = 3,69
100
On a alors  100
 2x + 3y = 17,05
. Résolvons ce système par combinaisons.
 0,60 x + 0,40 y = 3,69 / × 3

 2x + 3y = 17,05 / × ( – 0,4)
⇔
 1,8 x + 1,2 y = 11,07

 – 0,8 x – 1,2 y = – 6,82
 x = 4,25
⇔ 
 2 × 4,25 + 3y = 17,05
⇔
 x = 4,25

 3y = 17,05 – 8,50 = 8,55
 x = 4,25
⇔ 
 2x + 3y = 17,05
 x = 4,25
 x = 4,25
⇔  y = 8,55 ⇔ 
 y = 2,85
3

60
40
× 4,25 +
× 2,85 = 2,55 + 1,14 = 3,69
100
100
Et 2 × 4,25 + 3 × 2,85 = 8,50 + 8,55 = 17,05 .
Vérifions :
Donc le prix d’un kg de café Arabica était 4,25 € et celui d’un kg de café Robusta 2,85 € .