LOI BINOMIALE 1. Épreuve de Bernoulli On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p, toute expérience aléatoire admettant deux issues exactement : • l'une appelée « succès » notée S , dont la probabilité d'apparition est p ; • l'autre S appelée « échec » , dont la probabilité est 1− p . Exemple On lance un dé cubique équilibré et on s’intéresse à l'apparition de S : « obtenir un 6 » ou de S . 1 C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p= 6 2. Loi de Bernoulli Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p , la variable aléatoire X , prend la valeur 1 si S se produit et la valeur 0 sinon.On obtient la loi de probabilité ci-contre. Son espérance est E ( X ) = p et sa variance est V ( X )= p ( 1− p ) On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p . k 0 P ( X =k ) 1− p 1 p 3. Schéma de Bernoulli et coefficients binomiaux On appelle schéma de Bernoulli , toute répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Un schéma de Bernoulli peut être représenté par un arbre ; un résultat est une liste de n issues S ou S ; Ce peut être ( S , S , S , S , S ) dans un schéma de 5 épreuves. Le chemin codé S S S S S qui y conduit réalise 3 succès lors des 5 répétitions. On considère un schéma de n épreuves de Bernoulli, n∈ℕ * , représenté par un arbre. Pour k entier, 0⩽k ⩽n , on note n le nombre de chemins de l'arbre réalisant k succès lors des n k répétitions. Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux. Par convention 0 =1 0 () () Exemple : 3 = 0 () () 3 = 1 Avec une calculatrice : pour calculer CASIO : OPTN ► F3 (PROB) Taper 8 nCr 3 () 3 = 2 () 3 = 3 () 8 3 TEXAS : MATH ► ► ► (PRB) Taper 8 nCr 3 4. Propriétés des coefficients binomiaux • • • Pour tout entier n⩾0 , n =1 0 () ( nn)=1 (n1 )=n Pour tous entiers naturels n et k tels que 0⩽k ⩽n , n = n k n−k n Pour tous entiers naturels n et k tels que 0⩽k ⩽n , = n−1 + n−1 k k −1 k Exemples : ()( ) ()( )( ) () () 8 3 = 8 .. () () 8 7 = .. =… .. ( )()() 4 3 3 = + 2 .. .. 5. Loi binomiale Dans un schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p , la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès a pour loi de probabilité : n −k k P ( X =k )= n p ( 1− p ) où k prend les valeurs 0 ,1 , 2 ,…, n k () On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p , noté B ( n; p ) . Son espérance est E ( X ) =n p Sa variance est V ( x ) =n p ( 1− p ) et son écart type est σ ( X )= √ np ( 1− p ) Exemples 1. On lance cinq fois de suite, de façon indépendante, une pièce de monnaie bien équilibrée. X est la variable aléatoire qui indique le nombre de « PILE » obtenus lors des 5 lancers. a) Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres. b) Déterminer la probabilité p ( X =3) . c) Déterminer la probabilité p ( X ⩾3) . 2. Dans un région pétrolifère, la probabilité qu'un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. On effectue 10 forages. Calculer la probabilité qu'un seul forage conduise à une nappe de pétrole. 3. Dans une production de fruits il y a 30 % de fruits abîmés. On prélève un échantillon de 20 fruits. (la production est suffisamment grande pour que l'on puisse assimiler l'échantillon à des tirages avec remise) . X désignant le nombre de fruits abîmés dans l'échantillon, calculer p ( X ⩽2) .