Probabilités sur un univers dénombrable

Chapitre 12 - Probabilités sur un univers dénombrable - Cours
Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr
Dénition 3 (Espace probabilisé dénombrable).
Chapitre 12
Probabilités sur un univers dénombrable
1.
1.1.
Un espace probabilisé dénombrable est un couple (Ω, P ) où Ω est un univers
dénombrable et P une probabilité sur Ω.
Proposition 1
Espace probabilisé dénombrable
Soit P : Ω → [0, 1] une probabilité sur l'univers Ω. Alors
(i) P (∅) = 0,
(ii) Si A1 , . . . , An sont des évènements deux à deux incompatibles, alors
Ensemble dénombrable
Dénition 1 (Ensemble dénombrable).
Un ensemble Ω est dit dénombrable s'il existe une suite (ωn )n∈N d'éléments de
Ω telle que Ω = {ωn | n ∈ N}.
P
Exemple 1
!
Ai
i=1
a) Les ensembles nis sont dénombrables.
b) Les ensembles N, Z et Q sont dénombrables.
c) L'ensemble R n'est pas dénombrable.
1.2.
n
[
Jusqu'à la n du chapitre, on xe un univers Ω dénombrable modélisant une
expérience aléatoire. Nous allons étendre les dénitions et les résultats vus dans
le cas où Ω est ni.
Ω
On appelle probabilité sur Ω toute application P : P(Ω) → [0, 1] vériant
(i) P (Ω) = 1,
(ii) Pour toute suite (An )n∈N d'événements deux à deux incompatibles
P
n∈N
An
=
+∞
X
P (Ai ),
i=1
Illustration 1
Dénition 2 (Probabilité).
!
n
X
(iii) ∀A ∈ P(Ω), P (Ā) = 1 − P (A),
(iv) ∀(A, B) ∈ P(Ω)2 , A ⊂ B ⇒ P (A) 6 P (B) et P (B \ A) = P (B) − P (A),
(v) ∀(A, B) ∈ P(Ω)2 , P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Probabilité sur un univers dénombrable
[
=
A
A∩B
B
Le point (v)
Proposition 2
P (An ).
Si p : Ω → [0, 1] est une application vériant
n=0
X
p(ω) = 1, alors il existe une
ω∈Ω
et une seule probabilité P : P(Ω) → [0, 1] vériant
Remarque 1
Dans le cas où Ω est ni, on retrouve la dénition d'une probabilité déjà vue.
1/8
∀ω ∈ Ω,
P ({ω}) = p(ω).
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Remarque 2
Autrement dit, pour dénir une probabilité P sur un univers dénombrable Ω,
il sut de dénir P sur chaque singleton de Ω de sorte que la somme donne 1.
La formule générale pour P est alors simplement donnée par
∀A ∈ P(Ω),
P (A) =
X
Proposition 3
Soit B un évènement de probabilité non nulle. L'application PB : P(Ω) → [0, 1]
est une probabilité.
Remarque 3
En particulier, on peut utiliser les résultats de la proposition 1 avec PB .
P ({ω}).
ω∈A
Théorème 1 (Formule des probabilités composées).
Si A1 , . . . , Am sont des événements tels que P (A1 ∩ · · · ∩ Am ) 6= 0, alors
Exemple 2
Si Ω = N, il existe une unique probabilité sur Ω vériant
∀k ∈ Ω,
P ({k}) =
1
2k+1
P
m
\
!
Ai
= P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A2 ∩ A1 ) · · · P (Am |Am−1 ∩ · · · ∩ A1 ).
i=1
.
Dénition 5 (Système complet d'évènements).
2.
2.1.
On dit qu'une famille dénombrable d'événements (Ai )i∈I est un système complet d'événements si
(i) les événements (Ai )i∈I sont deux à deux incompatibles,
[
(ii) les événements (Ai )i∈I recouvrent Ω, i.e. Ω = Ai .
Conditionnement et indépendance
Conditionnement
Dénition 4 (Probabilité conditionnelle).
Soient A et B deux évènements avec P (B) > 0. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B le nombre réel
P (A | B) = PB (A) =
i∈I
Illustration 2
P (A ∩ B)
.
P (B)
Ω
Exemple 3
On jette un dé équilibré. On désigne par A l'évènement le chire du dé est 6
et par B l'évènement le chire du dé est pair. On a
P (A | B) =
P (A ∩ B)
1/6
1
=
= .
P (B)
1/2
3
Le résultat est intuitif : si on sait que le dé ache une chire pair, on a une
chance sur trois que le chire soit six.
2/8
A1
A3
A4
A2
Un système complet d'évènements
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Dénition 6 (Système quasi-complet d'évènements).
2.2.
Indépendance
On dit qu'une famille dénombrable d'événements (Ai )i∈I est un système quasiDénition 7 (Évènements indépendants).
complet d'événements si
Deux évènements A et B sont dits indépendants si P (A ∩ B) = P (A)P (B).
(i) les événements (Ai )i∈I sont deux à deux incompatibles,
X
(ii) on a
P (Ai ) = 1.
Remarque 5
i∈I
Remarque 4
Si P (B) > 0, l'indépendance de A et B équivaut à P (A | B) = P (A). Autrement dit, avoir des informations sur la réalisation de B , ne renseigne pas la
réalisation de A.
Théorème 2 (Formule des probabilités totales).
Dénition 8 (Évènements mutuellement indépendants).
Un système complet d'évènements est un système quasi-complet d'évènements.
La réciproque est fausse.
Soit B un événement. Si (An )n∈N est unPsystème quasi-complet d'évènements
de probabilités non nulles, alors la série P (B ∩ An ) converge et
Des évènements A1 , . . . , An sont dits mutuellement indépendants si
!
P (B) =
+∞
X
P (B ∩ An ) =
n=0
+∞
X
P (B | An )P (An ).
P
i∈I
Ai
=
Y
P (Ai ).
i∈I
n=0
Illustration 3 (Illustration : La formule des probabilités totales).
A3
Ω
∀I ⊂ J1, nK,
\
A1
B ∩ A1 B ∩ A3
A2
B ∩ A2
A4
Si n évènements sont mutuellement indépendant, alors ils sont indépendants
deux à deux.
B ∩ A4
B
La formule des probabilités totales
Théorème 3 (Formule de Bayes).
Si A et B sont deux événements de probabilités non nulles, alors
P (A | B) =
Remarque 6
Attention : La réciproque est fausse comme le montre l'exemple suivant.
Exemple 4
On considère Ω = {1, 2, 3, 4} muni de la probabilité uniforme et on note A =
{1, 2}, B = {1, 3}, C = {1, 4}. On vérie facilement que ces évènements sont
indépendants deux à deux, mais ils ne sont pas mutuellement indépendants car
P (B | A)P (A)
.
P (B)
P (A ∩ B ∩ C) =
3/8
1
1
6= = P (A)P (B)P (C).
4
8
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3.
3.1.
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Proposition 5
Variable aléatoire discrètes
La loi PX est entièrement déterminé par les nombres P (X = x) pour x ∈ X(Ω).
Variable aléatoire réelle
Remarque 8
Dénition 9 (Variable aléatoire réelle).
Ainsi pour donner la loi d'une variable aléatoire réelle, il sut de donner les
nombres P (X = x) pour x ∈ X(Ω).
Une variable aléatoire réelle est une application X : Ω → R.
Jusqu'à la n du chapitre, on xe une variable aléatoire réelle X sur Ω.
Notation : Si U
3.3.
⊂ R, on note l'évènement
(X ∈ U ) = X
−1
Dénition 12 (Fonction de répartition d'une variable aléatoire).
L'application FX : R → R donnée par FX (x) = P (X 6 x) est appelée la
fonction de répartition de la variable aléatoire X .
(U ) = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ U }
En particulier, si x ∈ R, on a
Proposition 6
(X = x) = {ω ∈ Ω | X(ω) = x},
La fonction FX
(i) est croissante,
(ii) est continue à droite en tout point de R,
(iii) admet des limite en ±∞ qui sont
(X 6 x) = {ω ∈ Ω | X(ω) 6 x}
Dénition 10 (Image d'une variable aléatoire par une fonction).
Soit f : R → R une application. On dénit la variable aléatoire f (X) comme
la composée f ◦ X . Autrement dit,
∀ω ∈ Ω,
3.2.
Fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle
lim FX (x) = 0,
f (X)(ω) = f (X(ω)).
x→−∞
lim FX (x) = 1.
x→+∞
Illustration 4
Loi d'une variable aléatoire réelle
Proposition 4
L'application PX : P(X(Ω)) → [0, 1], donnée par PX (U ) = P (X ∈ U ) est une
probabilité sur X(Ω).
Si X ,→ B(5, 1/2), alors la fonction de répartition de X est représenté par le
graphique suivant.
Remarque 7
L'ensemble X(Ω) représente l'ensemble des valeurs que peut prendre X . Par
exemple, si X suit la loi binomiale de paramètre (n, p), alors X(Ω) = J0, nK.
Dénition 11 (Loi d'une variable aléatoire).
y
1
•
4/8
•
4
5
•
•
•
0
L'application PX est appelée la loi de la variable aléatoire X .
•
1
x
2
3
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Proposition 7
Exemple 6
La loi PX est entièrement déterminée par la fonction FX .
Si X est une variable aléatoire dont la loi est donnée par
Remarque 9
X(Ω) = N
De manière générale, on a la relation pour tout x ∈ R
t→x−
Dans les cas où X prend ces valeurs dans N (i.e. X(Ω) = N), on a simplement
3.4.
E(X) =
P (X = k) =
1
,
2k+1
kP (X = k) =
+∞
X
k
= 1.
k+1
2
k=0
Proposition 8 (Linéarité de l'espérance).
Espérance d'une variable aléatoire réelle
Soient Y une variable aléatoire réelle sur Ω et a, b ∈ R. Si X et Y ont une
espérance nie, alors il en est de même de aX + bY , et on a
Dénition 13 (Espérance d'une variable aléatoire).
On dit que X est d'espérance nie si la série ci-dessous converge absolument.
Dans ce cas, l'espérance de X est
X
+∞
X
k=0
P (X = n) = P (X 6 n) − P (X 6 n − 1) = FX (n) − FX (n − 1).
E(X) =
∀k ∈ N,
alors X est d'espérance nie, car la série ci-dessous converge absolument. De
plus,
P (X = x) = P (X 6 x) − P (X < x) = FX (x) − lim FX (t).
∀n ∈ N,
et
E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ).
xP (X = x).
Théorème 4 (Théorème du transfert).
x∈X(Ω)
Soit f : R → R une application. La variable aléatoire f (X) est d'espérance
nie si et seulement si la série ci-dessous converge absolument. Dans ce cas,
on a
X
Remarque 10
L'espérance correspond à la moyenne théorique des valeurs prises par X .
E(f (X)) =
Exemple 5
f (x)P (X = x).
x∈X(Ω)
Si X est une variable aléatoire dont la loi est donnée par
X(Ω) = N∗
et
∀k ∈ N∗ ,
P (X = k) =
6
π2 k2
Exemple 7
,
alors X n'est pas d'espérance nie, car la série ci-dessous n'est pas absolument
convergente.
+∞
X
k=1
En reprenant l'exemple précédent, on trouve que X 2 est d'espérance nie, car
la série ci-dessous converge absolument. De plus,
+∞
X
6
kP (X = k) =
π2k
2
E(X ) =
+∞
X
k=0
k=1
5/8
+∞
X
k2
k P (X = k) =
= 3.
2k+1
2
k=0
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Dénition 14 (Variable aléatoire centrée).
Attention : En général si X et Y
3.5.
Théorème 6 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev).
sont des variables aléatoires, on n'a pas
la relation V(X + Y ) = V(X) + V(Y ).
On dit que X est centrée si X est d'espérance nie et E(X) = 0.
Variance et écart type d'une variable aléatoire réelle
Soit ε > 0 un réel. Si X 2 est d'espérance nie, alors
Dénition 15 (Variance d'une variable aléatoire).
Si X 2 est d'espérance nie, on appelle variance de X le réel
P (|X − E(X)| > ε) 6
V(X) = E (X − E(X))2 .
Dénition 16 (Écart type d'une variable aléatoire).
V(X)
ε2
Dénition 17 (Variable aléatoire réduite).
Si X 2 est d'espérance nie, on appelle écart type de X le réel σ(X) =
On dit que X est réduite si X 2 est d'espérance nie et V(X) = 1.
p
V(X).
Remarque 11
3.6.
Lois usuelles
L'écart type est aussi appelée l'écart quadratique moyen à la moyenne. Il permet 3.6.1. Loi géométrique
d'évaluer la dispersion de X autour de sa moyenne E(X).
Dénition 18 (Loi géométrique).
Soit p ∈]0, 1[. On dit que X suit la loi géométrique de paramètre p (notée
Proposition 9
2
X ,→ G (p)) si
Si X est d'espérance nie, alors X est d'espérance nie.
X(Ω) = N∗
Théorème 5 (Théorème de Koenig-Huyghens).
et
∀k ∈ N∗ ,
P (X = k) = p(1 − p)k−1 .
Si X 2 est d'espérance nie, on a V(X) = E(X 2 ) − E(X)2 .
Remarque 12
Exemple 8
Si X désigne le rang du premier succès dans une succession indépendante
d'épreuve de Bernoulli de paramètre p, alors X suit une loi géométrique de
paramètre p.
En reprenant l'exemple précédent, on trouve
V(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = 3 − 12 = 2.
Proposition 10
Soient a, b ∈ R. Si
et on a
Proposition 11
X2
est d'espérance nie, alors il en est de même de
(aX+b)2 ,
Si X ,→ G (p) avec p ∈]0, 1[, alors X 2 a une espérance nie et on a
E(X) =
V(aX + b) = a2 V(X).
6/8
1
p
et
V(X) =
1−p
.
p2
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3.6.2. Loi de Poisson
Dénition 19 (Loi de Poisson).
Soit λ ∈ R∗+ . On dit que X suit la loi de Poisson de paramètre λ (notée
X ,→ P(λ)) si
et
X(Ω) = N
∀k ∈ N,
P (X = k) =
λk −λ
e .
k!
Exemple 9
La loi de Poisson peut être utiliser pour modéliser de nombreuses situations :
a) compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné,
b) modéliser le risque de défaut d'un crédit,
c) etc...
Proposition 12
Si X ,→ P(Λ) avec λ ∈ R, alors X 2 a une espérance nie et on a
E(X) = λ
et
V(X) = λ.
Théorème 7 (Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson).
Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires. Si pour tout n ∈ N, Xn suit une
loi binomiale de paramètre (n, pn ) et si lim npn = λ, alors
n→+∞
∀k ∈ N,
lim P (Xn = k) =
n→+∞
λk −λ
e .
k!
7/8
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3.6.3. Résumé des lois usuelles
Nom
Paramètres
Notation Valeurs
Loi
Espérance
Variance
Bernoulli
p ∈ [0, 1]
B(p)
{0, 1}
p
p(1 − p)
J0, nK
P (X = 0) = 1 − p, P (X = 1) = p
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k
k
Binomiale
n ∈ N∗ , p ∈ [0, 1]
B(n, p)
np
np(1 − p)
Géométrique
p ∈]0, 1[
G (p)
N∗
P (X = k) = p(1 − p)k−1
1
p
1−p
p2
Poisson
λ ∈ R∗+
P(λ)
N
λ
λ
P (X = k) =
8/8
λk −λ
e
k!