Lycée Benjamin Franklin D. Blottière PTSI − 2014-2015 Mathématiques Programme de colle de la semaine n°2 Questions de cours Question n°1 Définition d’un nombre complexe inversible et de l’inverse d’un tel (preuve de l’unicité de l’inverse d’un nombre complexe inversible) ; inversibilité et inverse d’un nombre complexe non nul (énoncé et preuve) ; calcul de l’inverse de z := −2 + 5i . Question n°2 Définition et interprétation géométrique du conjugué d’un nombre complexe ; propriétés de la conjugaison complexe (énoncé, preuve des propriétés liées à la multiplication, à l’inverse, au quotient) ; calculer la forme algébrique de z := 3+7i 1−2i . Question n°3 Pour tout z ∈ C, Re(z) ≤ |z| (preuve) ; inégalité triangulaire (énoncé et preuve de l’inégalité de droite) ; cas d’égalité dans l’inégalité de droite (énoncé) ; si M est un point du plan situé p centre Ω(−3 + 3i ) et de rayon 2, p sur le cercle de alors 3 2 − 2 ≤ OM ≤ 3 2 + 2 (preuve). Question n°4 Relation fonctionnelle pour les nombres e iθ , où θ ∈ R (énoncé) ; formules d’addition pour cos et sin (énoncé et preuve) ; transformation d’un produit en somme pour cos (énoncé et preuve) ; calcul d’une primitive de la fonction f : R → R ; x 7→ cos2 (x) cos(5x). Question n°5 Formules d’Euler (énoncé et preuve) ; angle moitié : factorisation de e i a ± e ib ¡ 1où¢ a et b sont réels (énoncé et preuve) ; calcul de Re 1−z pour z ∈ U \ {1}. Nombres complexes et trigonométrie • Existence et unicité de la forme algébrique d’un nombre complexe. • Définitions de la partie réelle et de la partie imaginaire d’un nombre complexe. • Définition d’un nombre complexe imaginaire pur. • Caractérisation des nombres réels (resp. imaginaires purs) parmi les nombres complexes via la partie imaginaire (resp. la partie réelle). • Point du plan associé à un nombre complexe, affixe d’un point du plan, identification de C avec le plan usuel. • Définitions et propriétés de l’addition et de la multiplication dans C. • Définition d’un nombre complexe inversible et de l’inverse d’un tel/ • Un nombre complexe non nul est inversible et expression de la forme algébrique d’un tel. • C est intègre. • Définition et interprétation géométrique du conjugué d’un nombre complexe. • Caractérisation des nombres réels (resp. des nombres imaginaires purs) parmi les nombres complexes via la conjugaison. • Propriétés de la conjugaison complexe. • Affixe d’un vecteur, affixe d’un bipoint, vecteur associé à un nombre complexe. • Définition et interprétation géométrique du module d’un nombre complexe. • Équation complexe d’un cercle (resp. d’un disque fermé). • Lien entre module et conjugué. • Multiplicativité du module, module de l’inverse d’un inversible, module d’un quotient. • Inégalité(s) triangulaire(s) et cas d’égalité. • Définition géométrique du revêtement ρ du cercle unité C par la droite réelle R. • Propriétés de l’application ρ (e.g. condition nécessaire et suffisante pour que deux réels aient la même image par ρ). • Définitions du cosinus et du sinus d’un nombre réel. • Relation de Pythagore liant cosinus et sinus. • Valeurs remarquables de cosinus et sinus. • Définitions des fonctions cosinus et sinus, propriétés de parité, 2π-périodicité. • Effet de quelques transformations affines sur cos et sin. • Cas d’égalité de deux cosinus (resp. de deux sinus). • Équations et inéquations trigonométriques. • Définition de l’ensemble U des nombres complexes de module 1 et image de U dans la plan. • Propriétés de l’ensemble U (e.g. stabilité par multiplication). • Tout z ∈ U s’écrit d’une unique manière sous la forme e iθ := cos(θ) + i sin(θ) où θ ∈] − π, π]. • Cas d’égalité de deux nombres de la forme e iθ , où θ ∈ R. • Propriétés des nombres e iθ , où θ ∈ R : module, conjugué, inversibilité et inverse, relation fonctionnelle (admise). • Formules d’Euler. • Formules d’addition (resp. de duplication) pour cos et sin. • Transformation d’un produit en somme pour cos et sin et application au calcul de primitives. • Angle moitié : factorisation de e i a ± e ib , où a et b sont réels. • Transformation d’une somme en produit pour cosinus et sinus. • Définition de la fonction tangente et notation Dtan pour son ensemble de définition. • Visualisation de tan(x) grâce au cercle trigonométrique, pour x ∈ Dtan . • Valeurs remarquables de tangente. • La fonction tangente est impaire et π-périodique. • Formules d’addition pour tangente.