Groupes abéliens de type ni

Université Lille I
Année 2009-2010
feuille n◦ 5
M 402
Groupes abéliens de type ni
Exercice 1 (Invariants à partir des diviseurs élémentaires)
Soit G un groupe ni. On appelle diviseur élémentaire toute puissance pα d'un nombre premier
intervenant dans la décomposition d'un invariant d de G en produit de facteurs premiers.
Trouver les invariants et la décomposition canonique du groupe abélien ni dont les diviseurs
élémentaires sont : 2, 2, 33 , 3, 3, 52 , 5, 11.
Exercice 2 (Décomposition canonique)
Trouver les diviseurs élémentaires, les invariants et la décomposition canonique du groupe :
G=
Z
Z
Z
⊕
⊕
20Z 6Z 15Z
Exercice 3 (Théorème des restes chinois) Soient a et b deux entiers, d leur plus grand
diviseur commun, m leur plus petit multiple commun. Montrer que
Z
Z
Z
Z
⊕
'
⊕
aZ bZ
dZ mZ
(voir aussi exercice 13).
Exercice 4 (Réciproque du théorème de Lagrange pour les groupes abéliens nis)
Soit G un groupe abélien ni d'ordre n. Pour tout p, on note G(p) l'ensemble des éléments de
G d'ordre une puissance de p.
1. Soit n = pα1 1 · · · pαk k la décomposition de p en produit de facteurs premiers. Montrer que
G = ⊕16i6k G(pi ).
2. En déduire que, pour tout diviseur d de n, il existe au moins un sous-groupe H de G qui
est d'ordre d.
Exercice 5 (Groupes abéliens donnés par générateurs et relations) Trouver les divi-
seurs élémentaires, les invariants et la décomposition canonique des groupes abéliens suivants :
1. G1 , engendré par x et y tels que 10x = 9y = 0,
2. G2 , engendré par x,y et z tels que 15x = 6y = 4z = 0,
3. G3 , engendré par x,y et z tels que :
2x − y − 3z = 0
3x − 2y − 3z = 0
4. G4 , engendré par x,y et z tels que :

= 0
 2x − y − 3z
3x − 2y − 3z = 0

7x + 4y + 10z = 0
1
Exercice 6 (Base adaptée) Soit F le groupe abélien libre de base (x1 , x2 , x3 ). Soit H le sousgroupe de F engendré par y1 = 3x1 + x2 + x3 , y2 = x1 + 3x2 + x3 , y3 = x1 + x2 + 3x3 . Déterminer
une base (x01 , x02 , x03 ) de F telle qu'il existe une base de H de la forme (d1 x01 , d2 x02 , d3 x03 ), où d1 ,
d2 , d3 sont des entiers positifs vériant di |di+1 (1 6 i 6 2).
Exercice 7 (Groupe des automorphismes d'un groupe abélien de type ni)
Soit G un groupe abélien ni. Démontrer que le groupe Aut G est ni si et seulement si il existe
au plus un facteur isomorphe à Z dans la décomposition canonique de G.
Exercice 8 (Nombres de sous-groupes d'ordre p2 ) Soit p un nombre premier. Un groupe
abélien G a pour invariants p3 , p2 . Combien contient-il de sous-groupes d'ordre p2 ?
Exercice 9 (Endomorphisme surjectif d'un groupe abélien de type ni) Soit G un groupe
abélien de type ni. Montrer que tout endomorphisme surjectif de G est un automorphisme.
Exercice 10 (Générateurs d'un p-groupe ni abélien) Montrer qu'un p-groupe ni abélien est engendré par ses éléments d'ordre maximal.
Exercice 11 (Calcul des facteurs invariants) Soit G un groupe abélien libre de rang n et
H un sous-groupe de G de rang q . On note a1 , a2 , · · · , aq les facteurs invariants de H dans G,
ordonnés tels que ai |ai+1 . On xe k un entier 1 6 k 6 q .
1. Montrer que pour toute application k -linéaire alternée f dénie sur G à valeurs dans Z
et quels que soient x1 , · · · , xk éléments de H , le produit a1 · · · ak divise f (x1 , · · · , xk ).
2. Montrer que l'on peut de plus choisir f et x1 , · · · , xk tels que a1 · · · ak = f (x1 , · · · , xk ).
3. En déduire que a1 · · · ak est le pgcd des éléments de la forme f (x1 , · · · , xk ), où f varie
parmi les formes k -linéaires alternées sur G à valeurs dans Z, et (x1 , · · · , xk ) varie dans
H k.
4. Soit (y1 , · · · , yn ) une base quelconque de G et (x1 , · · · , xq ) un système de générateurs de
H . On note A la matrice dont les colonnes sont les xi exprimés dans la base (y1 , · · · , yn ).
Montrer que a1 · · · ak est le pgcd des mineurs d'ordre k de la matrice A.
5. Comparer à l'exercice 6.
Exercice 12 (Calcul des facteurs invariants, forme normale de Smith) Soit A ∈ Mn,p (Z).
1. Montrer qu'il existe une matrice B ∈ Mn,p (Z) diagonale, dont les coecients diagonaux
sont positifs ou nuls et vérient di |di+1 , et des matrices L ∈ GLn (Z) et R ∈ GLp (Z) telles
que B = LAR. Montrer que B est unique.
2. Montrer que le pgcd des mineurs d'ordre k de la matrice A ne varie pas si on multiplie A
à gauche ou à droite par une matrice inversible sur Z. Conclure.
Exercice 13 (Théorème des restes chinois explicite) Soient a et b deux entiers non tous
les deux nuls, d leur plus grand diviseur commun, d = ua + vb, avec u et v entiers. On dénit
les entiers a1 et b1 par a = a1 d et b = b1 d, et on pose m = a1 b = ab1 , m est un ppcm de a et b.
1. Vérier que
a 0
1 −vb1
d 0
=
0 b
1 ua1
0 m
u
v
1 −vb1
et que les matrices
et
sont inversibles sur Z.
−b1 a1
1 ua1
Z
Z
Z
Z
2. En déduire un isomorphisme explicite entre aZ
⊕ bZ
et dZ
⊕ mZ
(voir exercice 3).
u
v
−b1 a1
2
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