Groupes abéliens de type fini

2016-2017
Université Lille 1
M401
Algèbre
Groupes abéliens de type fini
Exercice 1 (Invariants à partir des diviseurs élémentaires).
Soit G un groupe fini. On appelle diviseur élémentaire toute puissance pα
d’un nombre premier intervenant dans la décomposition d’un invariant d de
G en produit de facteurs premiers. Trouver les invariants et la décomposition
canonique du groupe abélien fini dont les diviseurs élémentaires sont : 2, 2,
33 , 3, 3, 52 , 5, 11.
Exercice 2 (Décomposition canonique).
Trouver les diviseurs élémentaires, les invariants et la décomposition canonique du groupe :
G=
Z
Z
Z
⊕
⊕
20Z 6Z 15Z
Exercice 3 (Endomorphismes de Zn de déterminant non nul).
Soit φ : Zn → Zn un endomorphisme et d = | det φ|. On suppose d 6= 0.
1. Montrer que φ est un monomorphisme.
2. Montrer que Zn / im φ est un groupe fini de cardinal d.
3. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que φ soit un
isomorphisme.
Exercice 4 (Endomorphismes surjectifs des groupes abéliens de type fini).
Soit φ : G → G un endomorphisme surjectif d’un groupe abélien de type fini
G. Montrer que φ est un isomorphisme. (On pourra commencer par examiner
l’image du sous-groupe de torsion T (G)).
Exercice 5 (Exposant et ordre).
Soit G un groupe abélien fini. On rappelle que son exposant est le ppcm des
ordres des éléments de G. Montrer que si l’exposant de G est égal à l’ordre
de G, alors G est cyclique.
Exercice 6 (Groupes abéliens de type fini et facteurs directs).
On dit qu’un sous-groupe H < G d’un groupe abélien est facteur direct s’il
existe un supplémentaire K de H dans G, c’est-à-dire un sous-groupe K < G
tel que H ⊕ K = G. Soit G un groupe abélien de type fini.
1. Montrer que le sous-groupe de torsion T (G) est facteur direct de G.
2. Montrer que G est libre si et seulement s’il vérifie la propriété suivante : pour tout épimorphisme φ : H G, le noyau K de φ est
facteur direct de H.
1
Exercice 7 (Théorème des restes chinois). Soient a et b deux entiers, d leur
plus grand diviseur commun, m leur plus petit multiple commun. Montrer
que
Z
Z
Z
Z
⊕
'
⊕
aZ bZ
dZ mZ
(voir aussi exercice 18).
Exercice 8 (Réciproque du théorème de Lagrange pour les groupes abéliens
finis). Soit G un groupe abélien fini d’ordre n. Pour tout p, on note G(p)
l’ensemble des éléments de G d’ordre une puissance de p.
1. Soit n = pα1 1 · · · pαk k la décomposition de p en produit de facteurs
premiers. Montrer que G = ⊕16i6k G(pi ).
2. En déduire que, pour tout diviseur d de n, il existe au moins un sousgroupe H de G qui est d’ordre d.
Exercice 9 (Groupes abéliens donnés par générateurs et relations). Trouver
les diviseurs élémentaires, les invariants et la décomposition canonique des
groupes abéliens suivants :
1. G1 , engendré par x et y tels que 10x = 9y = 0,
2. G2 , engendré par x,y et z tels que 15x = 6y = 4z = 0,
3. G3 , engendré par x,y et z tels que :
2x − y − 3z = 0
3x − 2y − 3z = 0
4. G4 , engendré par x,y et z tels que :

= 0
 2x − y − 3z
3x − 2y − 3z = 0

7x + 4y + 10z = 0
Exercice 10 (Base adaptée). Soit F le groupe abélien libre de base (x1 , x2 , x3 ).
Soit H le sous-groupe de F engendré par y1 = 3x1 +x2 +x3 , y2 = x1 +3x2 +x3 ,
y3 = x1 + x2 + 3x3 . Déterminer une base (x01 , x02 , x03 ) de F telle qu’il existe
une base de H de la forme (d1 x01 , d2 x02 , d3 x03 ), où d1 , d2 , d3 sont des entiers
positifs vérifiant di |di+1 (1 6 i 6 2).
Exercice 11 (Groupe des automorphismes d’un groupe abélien de type fini).
Soit G un groupe abélien fini. Démontrer que le groupe Aut G est fini si et
seulement si il existe au plus un facteur isomorphe à Z dans la décomposition
canonique de G.
2
Exercice 12 (Cardinal de la m-torsion).
Pour un groupe abélien G, et un entier m ∈ N∗ , on note G[m] la m-torsion de
G, c’est à dire l’ensemble des éléments x de G vérifiant, en notation additive,
mx = 0. Montrer que si deux groupes abéliens finis G et G0 vérifient que pour
tout m ∈ N∗ , les groupes G[m] et G0 [m] ont même nombre d’éléments, alors
G et G0 sont isomorphes.
Exercice 13 (Nombres de sous-groupes d’ordre p2 ). Soit p un nombre premier. Un groupe abélien G a pour invariants p3 , p2 . Combien contient-il de
sous-groupes d’ordre p2 ?
Exercice 14. Soit p un nombre premier. Combien il y a-t-il de types d’isomorphismes de groupes abéliens d’ordre pn ?
Exercice 15 (Générateurs d’un p-groupe fini abélien). Montrer qu’un pgroupe fini abélien est engendré par ses éléments d’ordre maximal.
Exercice 16 (Calcul des facteurs invariants). Soit G un groupe abélien libre
de rang n et H un sous-groupe de G de rang q. On note a1 , a2 , · · · , aq les
facteurs invariants de H dans G, ordonnés tels que ai |ai+1 . On fixe k un
entier 1 6 k 6 q.
1. Montrer que pour toute application k-linéaire alternée f définie sur
G à valeurs dans Z et quels que soient x1 , · · · , xk éléments de H, le
produit a1 · · · ak divise f (x1 , · · · , xk ).
2. Montrer que l’on peut de plus choisir f et x1 , · · · , xk tels que a1 · · · ak =
f (x1 , · · · , xk ).
3. En déduire que a1 · · · ak est le pgcd des éléments de la forme f (x1 , · · · , xk ),
où f varie parmi les formes k-linéaires alternées sur G à valeurs dans
Z, et (x1 , · · · , xk ) varie dans H k .
4. Soit (y1 , · · · , yn ) une base quelconque de G et (x1 , · · · , xq ) un système
de générateurs de H. On note A la matrice dont les colonnes sont les
xi exprimés dans la base (y1 , · · · , yn ). Montrer que a1 · · · ak est le
pgcd des mineurs d’ordre k de la matrice A.
5. Comparer à l’exercice 10.
Exercice 17 (Calcul des facteurs invariants, forme normale de Smith). Soit
A ∈ Mn,p (Z).
1. Montrer qu’il existe une matrice B ∈ Mn,p (Z) diagonale, dont les
coefficients diagonaux sont positifs ou nuls et vérifient di |di+1 , et des
matrices L ∈ GLn (Z) et R ∈ GLp (Z) telles que B = LAR. Montrer
que B est unique.
2. Montrer que le pgcd des mineurs d’ordre k de la matrice A ne varie
pas si on multiplie A à gauche ou à droite par une matrice inversible
sur Z. Conclure.
3
Exercice 18 (Théorème des restes chinois explicite). Soient a et b deux
entiers non tous les deux nuls, d leur plus grand diviseur commun, d =
ua + vb, avec u et v entiers. On définit les entiers a1 et b1 par a = a1 d et
b = b1 d, et on pose m = a1 b = ab1 , m est un ppcm de a et b.
1. Vérifier que
u
v
−b1 a1
et que les matrices
a 0
0 b
u
v
−b1 a1
1 −vb1
1 ua1
et
=
1 −vb1
1 ua1
d 0
0 m
sont inversibles sur
Z.
2. En déduire un isomorphisme explicite entre
exercice 7).
4
Z
aZ
Z
⊕ bZ
et
Z
dZ
Z
⊕ mZ
(voir