Exercices de colle MP* Algèbre bilinéaire

Exercices de colle MP*
Algèbre bilinéaire
Adrien Fontaine
05/02/2014
Exercice 1
Soit q une forme quadratique non nulle sur M2 (C) telle que
∀(A, B) ∈ M2 (C), q(AB) = q(A)q(B)
Montrer que q s’annule sur le complémentaire de GL2 (C) puis que q est le déterminant.
On pourra observer qu’une matrice non inversible de M2 (C) est semblable à
h
0
0
i
1
0
ou
h
0
0
0
λ
i
puis on pourra montrer que l’application q et l’application déterminant coïncident sur l’ensemble des matrices diagonalisables.
Exercice 2
Pour P appartenant à l’ensemble des polynômes de degré inférieur à 2, on pose
φ(P ) =
Z 1
P 2 (t) dt
−1
a) Montrer que φ1/2 est la norme associée à un produit scalaire que l’on précisera.
b) Calculer la matrice de la forme quadratique φ dans la base canonique.
c) En déduire la forme analytique donnant l’expression de φ relativement à la base canonique.
d) Ecrire
φ(P ) = αa2 + βb2 + γc2
avec α, β, γ ∈ R et a, b, c les coordonnées de P dans une base à préciser.
Exercice 3
Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie.
a) Soient f, g deux formes linéaires de E. Montrer que q(x) = f (x)g(x) est une forme quadratique.
b) Soient q une forme quadratique et H un hyperplan. On suppose que pour tout x ∈ H,
q(x) = 0. Montrer que q est le produit de deux formes linéaires.
Exercice 4
Montrer qu’une forme quadratique positive est une fonction convexe.
1
2
Exercice 5
Soient a1 , . . . an > 0 et deux à deux distincts.
Pour (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , on pose
q(x) =
n
X
xi xj
i,j=1 ai + aj
Montrer que q est une forme quadratique définie positive.
On pourra introduire E l’espace des fonctions continues de ]0, 1] dans R de carré intégrable, et
Φ
:
E
(f
×
,
E
g)
→
7
→
R1
0
R
f (t)g(t)dt
et s’intéresser aux fonctions fi = t 7→ tai −1/2 .
Exercice 6
Montrer que si q est une forme quadratique réelle est définie, celle-ci est positive ou négative.
On pourra montrer que ∀a, b ∈ R, q(ab) ≥ 0.
Exercice 7
Soit E un espace euclidien et u ∈ L(E) tel que u ◦ u = 0. Montrer
Imu = ker u ⇔ u + u? ∈ GL(E)
Exercice 8
Pour u ∈ L(E), comparer d’une part les espaces
ker u et ker(u? ◦ u)
et d’autre part les espaces
Imu et Im(u ◦ u? )