CAPES Algèbre linéaire Formes quadratiques 2009-2010 Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel V et soit q sa forme quadratique associée. 1. Montrer l'identité de Cauchy : pour tous u ∈ V, v ∈ V , Exercice 1 q (q(u)v − B(u, v)u) = q(u) [q(u)q(v) − B(u, v)B(v, u)] . (1) 2. En déduire, si q est dénie positive, l'inégalité de Cauchy-Schwarz B(u, v)B(v, u) ≤ q(u)q(v). (2) Soit Rn [X] l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n (n ≥ 1). Pour tous P, Q ∈ Rn [X], on pose Exercice 2 Z B(P, Q) = 1 tP (t)Q0 (t)dt 0 et q(P ) = B(P, P ). 1. Montrer que B est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique ? antisymétrique ? 2. Montrer que q est une forme quadratique. La forme q est-elle dénie ? Si ce n'est pas le cas, exhiber un vecteur isotrope non nul. 3. Calculer la matrice de q dans la base Bn = (1, X, . . . , X n ). 4. Pour n = 2, déterminer la signature de q. La forme q est-elle positive ? négative ? 5. Déterminer une base de R2 [X] qui soit q-orthogonale. 1 Soit Exercice 3 ½µ V = a b c d ¶ ¾ ∈ M2 (R); a − d = 0 On dénit l'application µ et J = 1 1 1 −1 ¶ . B : V × V −→ R en posant, pour tous M, N ∈ M2 (R), B(M, N ) = Tr(M JN ). 1 1. Montrer que B est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique, antisymétrique ? µµ 1 0 0 1 ¶ µ ¶ µ ¶¶ 0 1 0 0 , , 0 0 1 0 2. Montrer que B = est une base de V. 3. Déterminer la matrice dans la base B de la forme quadratique q dénie en posant, pour tout M ∈ M2 (R), q(M ) = B(M, M ). 4. Déterminer la signature de q, son rang et son noyau. La forme q est-elle dénie ? positive ? négative ? 5. Déterminer F ⊥ (c'est-à-dire le q-orthogonal de F ) où ½µ F = a 0 0 d ¶ ¾ ∈ M2 (R); a − d = 0 . Eectuer une réduction de Gauss et déterminer le noyau, le rang et la signature des formes quadratiques suivantes : 1. q : R3 −→ R, q(x, y, z) = 2x2 + y2 − z 2 + 3xy − 4xz. 2. q : R3 −→ R, q(x, y, z) = x2 + y2 − az 2 + 3xy − bxz + yz. Exercice 4 On discutera suivant les valeurs de 3. q : R4 a, b ∈ R. −→ R, q(x, y, z, t) = x2 + (1 + 2λ − µ)y 2 + (1 + λ)z 2 + (1 + 2λ + µ)t2 +2xy + 2xz − 2xt + 2(1 − λ)yz − 2(1 + λ)yt + 2(λ − 1)zt. On discutera suivant les valeurs de 4. q : R5 λ, µ ∈ R. −→ R, q(x, y, z, t, s) = xy − xt + yz − yt + ys + zt − zs + 2st. Soit Rn [X] l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n (n ≥ 1) et soit d un entier tel que 1 ≤ d ≤ n. Pour tout P ∈ Rn [X], on pose Exercice 5 q(P ) = (P 2 )(d) (0), où P (d) est le polynôme dérivé à l'ordre d de P . 1. Tr désigne l'opérateur trace. 2 1. Montrer que q est une forme quadratique sur Rn [X] et déterminer sa matrice dans la base B = {1, X, . . . , X n }. 2. Déterminer la signature de q, son rang et son noyau. (a) Montrer que q est non dégénérée et déterminer une base q-orthonormale de Rn [X]. (b) Déterminer le q-orthogonal de P et montrer que P est un sousespace vectoriel totalement isotrope. 3