Électrostatique - Étienne Thibierge

Colles semaine 16, sujet A
Langevin Wallon, PT 2015-2016
Électrostatique
Questions de cours
1 - Énoncer le théorème de Gauss.
2 - Rappeler le lien entre le potentiel électrostatique et le champ électrique en exprimant d’une part le potentiel en
fonction d’une grandeur liée au champ et d’autre part le champ en fonction d’une grandeur liée au potentiel. Quelle
conséquence cela a-t-il sur la définition du potentiel ?
Exercice 1 : Champ électrostatique créé par une couche chargée
[♦]
z
On considère une couche épaisse, comprise entre les deux plans d’équation z = −a/2
et z = +a/2 et infinie dans les directions x et y, chargée uniformément en volume
avec une densité volumique de charge ρ0 .
a/2
x
−a/2
1 - Par une analyse rigoureuse des invariances et symétries de la distribution, en
déduire que le champ électrique prend en tout point de l’espace la forme
#”
E(M ) = Ez (z) #”
ez .
2 - Montrer par des arguments de symétrie que le champ est nul sur le plan xOy.
3 - Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ en un point M de cote z, en pensant à distinguer les
cas z < −a/2, −a/2 < z < a/2 et z > a/2. Tracer le graphe représentant Ez (z).
4 - En déduire le potentiel électrostatique V (z).
5 - Considérons maintenant que la couche est d’épaisseur très fine, à la limite a → 0.
5.a - Déterminer la densité surfacique de charge σ0 en fonction de ρ0 et a.
5.b - Que devient le champ électrique dans chaque demi-espace ?
5.c - Que devient le graphe représentant Ez (z) ? Vérifier la conformité aux résultats que vous avez établi en cours.
Solution de l’exercice 1 :
Voir Tec&Doc PT pp. 346 à 348, disponible au CDI.
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Colles semaine 16, sujet A : Électrostatique
Langevin Wallon, PT 2015-2016
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Colles semaine 16, sujet B
Langevin Wallon, PT 2015-2016
Électrostatique
Questions de cours
1 - En définissant avec précision toutes les grandeurs utiles, définir une densité volumique, surfacique et linéique de
charge.
2 - Donner l’expression du champ électrostatique créé par un ensemble de sources ponctuelles.
Exercice 1 : Champ électrostatique créé par une coquille sphérique
Une coquille sphérique, comprise entre deux sphères
densité volumique de charge


0
ρ(r) = Ar


0
[♦]
de même centre O et de rayons respectifs a et b a pour
si r < a
si a ≤ r ≤ b
si r > b
1 - Déterminer l’unité de la constante A, que l’on suppose par ailleurs positive.
2 - Montrer par une analyse rigoureuse des symétries et invariances de la distribution que le champ prend en tout
point de l’espace la forme
#”
E(M ) = Er (r) #”
ur
3 - Calculer explicitement le champ et le potentiel électrostatique dans les trois régions de l’espace.
4 - Représenter graphiquement ces deux grandeurs.
5 - En faisant tendre a vers b, retrouver le cas de la sphère uniformément chargée en surface.
Solution de l’exercice 1 :
Voir le site de François-Xavier Coq.
. http://www.lycee-pothier.com/LYCEE/psi/file/physique/exercices/Electrom_electrostatique/1516_Electrom_
Electrostat.pdf
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Colles semaine 16, sujet B : Électrostatique
Langevin Wallon, PT 2015-2016
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Colles semaine 16, sujet C
Langevin Wallon, PT 2015-2016
Électrostatique
Question de cours
Quelles sont les conséquences sur le champ électrique de l’existence d’un plan de symétrie des sources ? d’un plan
d’anti-symétrie ? L’illustrer par un schéma.
Exercice 1 : Champ électrostatique créé par une boule
[♦]
Une boule de rayon R est chargée avec la densité volumique de charge
( 2
ρ0 1 − Rr 2
si r ≤ R
ρ(r) =
0
sinon
où r est la distance au centre O de la boule.
1 - Déterminer la charge contenue dans une boule de rayon r quelconque.
2 - Montrer par une analyse rigoureuse des symétries et invariances de la distribution que le champ prend en tout
point de l’espace la forme
#”
E(M ) = Er (r) #”
ur
3 - Calculer explicitement le champ et le potentiel électrostatique dans les trois régions de l’espace.
4 - Représenter graphiquement ces deux grandeurs.
5 - En faisant tendre R vers 0, retrouver le cas de la charge ponctuelle.
Solution de l’exercice 1 :
Voir le site de Matthieu Rigaut, exercice 4 du TD Électromagnétisme 1 et exercice 3 du TD Électromagnétisme
2 de la rubrique PCSI programme 2002.
. http://www.matthieurigaut.net/public/sup/elmg/cotdelmg01.pdf
. http://www.matthieurigaut.net/public/sup/elmg/cotdelmg02.pdf
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Colles semaine 16, sujet : Électrostatique
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Colles semaine 16, sujet A
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Électrostatique
Questions de cours
1 - Énoncer le théorème de Gauss.
2 - Rappeler le lien entre le potentiel électrostatique et le champ électrique en exprimant d’une part le potentiel en
fonction d’une grandeur liée au champ et d’autre part le champ en fonction d’une grandeur liée au potentiel. Quelle
conséquence cela a-t-il sur la définition du potentiel ?
Exercice 1 : Champ électrostatique créé par une couche chargée
[♦]
z
On considère une couche épaisse, comprise entre les deux plans d’équation z = −a/2
et z = +a/2 et infinie dans les directions x et y, chargée uniformément en volume
avec une densité volumique de charge ρ0 .
a/2
x
−a/2
1 - Par une analyse rigoureuse des invariances et symétries de la distribution, en
déduire que le champ électrique prend en tout point de l’espace la forme
#”
E(M ) = Ez (z) #”
ez .
2 - Montrer par des arguments de symétrie que le champ est nul sur le plan xOy.
3 - Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ en un point M de cote z, en pensant à distinguer les
cas z < −a/2, −a/2 < z < a/2 et z > a/2. Tracer le graphe représentant Ez (z).
4 - En déduire le potentiel électrostatique V (z).
5 - Considérons maintenant que la couche est d’épaisseur très fine, à la limite a → 0.
5.a - Déterminer la densité surfacique de charge σ0 en fonction de ρ0 et a.
5.b - Que devient le champ électrique dans chaque demi-espace ?
5.c - Que devient le graphe représentant Ez (z) ? Vérifier la conformité aux résultats que vous avez établi en cours.
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Colles semaine 16, sujet B
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Électrostatique
Questions de cours
1 - En définissant avec précision toutes les grandeurs utiles, définir une densité volumique, surfacique et linéique de
charge.
2 - Donner l’expression du champ électrostatique créé par un ensemble de sources ponctuelles.
Exercice 1 : Champ électrostatique créé par une coquille sphérique
Une coquille sphérique, comprise entre deux sphères
densité volumique de charge


0
ρ(r) = Ar


0
[♦]
de même centre O et de rayons respectifs a et b a pour
si r < a
si a ≤ r ≤ b
si r > b
1 - Déterminer l’unité de la constante A, que l’on suppose par ailleurs positive.
2 - Montrer par une analyse rigoureuse des symétries et invariances de la distribution que le champ prend en tout
point de l’espace la forme
#”
E(M ) = Er (r) #”
ur
3 - Calculer explicitement le champ et le potentiel électrostatique dans les trois régions de l’espace.
4 - Représenter graphiquement ces deux grandeurs.
5 - En faisant tendre a vers b, retrouver le cas de la sphère uniformément chargée en surface.
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Colles semaine 16, sujet C
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Électrostatique
Question de cours
Quelles sont les conséquences sur le champ électrique de l’existence d’un plan de symétrie des sources ? d’un plan
d’anti-symétrie ? L’illustrer par un schéma.
Exercice 1 : Champ électrostatique créé par une boule
[♦]
Une boule de rayon R est chargée avec la densité volumique de charge
( 2
ρ0 1 − Rr 2
si r ≤ R
ρ(r) =
0
sinon
où r est la distance au centre O de la boule.
1 - Déterminer la charge contenue dans une boule de rayon r quelconque.
2 - Montrer par une analyse rigoureuse des symétries et invariances de la distribution que le champ prend en tout
point de l’espace la forme
#”
E(M ) = Er (r) #”
ur
3 - Calculer explicitement le champ et le potentiel électrostatique dans les trois régions de l’espace.
4 - Représenter graphiquement ces deux grandeurs.
5 - En faisant tendre R vers 0, retrouver le cas de la charge ponctuelle.
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