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Eléments de correction du Bac Blanc n°2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013
Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.
Durée : 3 h
Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la rédaction de votre copie.
Vous n’oublierez pas de rendre le sujet avec votre copie. Bon courage.
Le barème est noté sur 20 points.
Exercice 1 : Probabilités (5 points)
Lorsque le taux de calcium dans une bouteille d’eau minérale dépasse 65 mg par litre, on dit que l’eau de cette
bouteille est calcaire.
On estime que, dans un stock important de bouteilles, 7,5% des bouteilles contiennent de l’eau calcaire.
Sauf indication contraire dans une question, on donnera les résultats arrondis à 10‒3près.
Partie A :
On prélève au hasard 40 bouteilles dans le stock pour vérifier le taux de calcium.
Le stock est assez important pour qu’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent de l’eau calcaire.
1. Donner la loi suivie par X. (sans explication)
Partie non
demandée
Il s’agit ici de la répétition de 40 épreuves de Bernoulli dont le succès est « la bouteille contient
de l’eau calcaire » de probabilité 0,075. (voir dans l’énoncé « dans un stock important de
bouteilles, 7,5% des bouteilles contiennent de l’eau calcaire »)
X étant le nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent de l’eau calcaire, X est donc le
nombre de succès.
X suit donc la loi binomiale de paramètres 40 (n=40) et 0,075 (p = 0,075)
2. a) Calculer la probabilité de prélever que des bouteilles contenant de l’eau non calcaire.
Si on prélève que des bouteilles ayant de l’eau non calcaire, cela signifie qu’il y a « zéro »
bouteille contenant de l’eau calcaire
On cherche donc p(X = 0) = 0,92540 ≈ 0,044
La probabilité de prélever que des bouteilles contenant de l’eau non calcaire est d’environ
0,044
b) En déduire la probabilité de prélever au moins une bouteille contenant de l’eau calcaire.
On cherche donc p( X ≥ 1) = 1 ‒ p( X = 0) = 1 ‒ 0,92540 ≈ 0,956
La probabilité de prélever au moins une bouteille contenant de l’eau calcaire est d’environ
0,956
Partie B :
On note Y la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard associe le taux de calcium (en mg) de
l’eau qu’elle contient. On suppose que Y suit la loi normale d’espérance 50,6 et d’écart type 10.
1. Quelle est la probabilité d’avoir un taux de calcium égal à 50,6 mg ?
p (Y = 50,6) = 0 car X suit une loi à densité.
2. Calculer p (Y > 65). Interpréter ce résultat. Celui-ci est-il cohérent avec les données du
problème ? Expliquer.
Y suit la loi normale N (50,6 ; 102) donc
p (Y> 65) = 0,5 ‒ p (50,6< Y <65) ≈ 0,075
Ceci signifie que la probabilité d’avoir un taux de calcium supérieur à 65 mg est d’environ 0,075,
c’est-à-dire que la probabilité d’avoir une bouteille qui contient une eau calcaire est
d’environ 0,075. Ceci est cohérent avec l’hypothèse donnée : « dans un stock important de
bouteilles, 7,5% des bouteilles contiennent de l’eau calcaire ».
Partie C :
L’eau minérale provient de deux sources S1 et S2.
La probabilité que l’eau soit calcaire est 0,064 pour les bouteilles provenant de la source S1 et 0,10 pour les
bouteilles provenant de la source S2 .
La source S1fournit 70% de la production totale des bouteilles d’eau et la source S2 le reste de la production.
On prélève au hasard une bouteille d’eau parmi la production totale d’une journée.
Toutes les bouteilles d’eau ont la même probabilité d’être tirées.
1. Calculer la probabilité que l’eau contenue dans la bouteille soit calcaire. On détaillera le
raisonnement et on donnera la valeur exacte de cette probabilité.
0,7
0,064
C
0,936
C
0,10
C
0,90
C
S1
0,3
S2
S1 et S2 forment une partition de l’univers donc d’après la formule des probabilités totales , on a
p ( C) = p ( S1  C) + p ( S2  C)
= p ( S1) × p S1 (C) + p ( S2)× p S2 (C) = 0,7 × 0,064 + 0,3 × 0,10 = 0,0448 + 0,03 = 0,0748
La probabilité que l’eau contenue dans la bouteille soit calcaire est de 0,0748
2. On a analysé une bouteille d’eau et il s’avère qu’elle contient de l’eau calcaire. Quelle est la
probabilité que’elle provienne de la source S2 ?
On cherche donc ici : pC (S2)
pC (S2) =
p(C  S2) p ( S2)× p S2 (C) 0,3 × 0,10
0,03
300 75
=
=
=
=
=
≈ 0, 401
p(C)
p( C)
0,0748
0,0748 748 187
On a analysé une bouteille d’eau et il s’avère qu’elle contient de l’eau calcaire. La
probabilité qu’elle provienne de la source S2 est égale à environ 0, 401
Exercice 2 : ( 6,5 points)
Partie A : QCM sans justification (3 points) : les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidatportera dans la dernière colonne, sans
justification, la lettre correspondant à la réponsechoisie.
Il est attribué 0,75 point si la réponse est exacte, 0,25 point est enlevé pour une réponse inexacte et aucun point n’est enlevé pour
une absence de réponse.
Soit une fonction f définie sur IR et dont
voici la représentation graphique
dans un repère orthogonal.
B
Réponse A
Réponse B
Réponse C
Parmi les représentations graphiques
données ci-contre, quelle est celle d’une
primitive de f sur IR ?
Soit la suite (un) définie pour tout entier
n par :
un = 5×0,25n
Soit Sn = u0 + u1 + …… + unalors
20
(1 ‒ 0,25n+1)
3
Réponse A
Sn =
Voici des courbes représentant les
fonctions de densité de variables
aléatoires qui suivent une loi normale
N (μ, σ2)
20
(1 ‒ 0,25n)
3
Réponse C
Sn =
A
B
μ > 1 et σ>1
μ > 1 et σ = 1
Réponse B
Réponse C
ex (ex + 3 ‒ 4)
e2x+ 3x ‒ 4
( ex + 4) (ex ‒ 1)
Réponse A
Réponse B
Réponse C
μ > 1 et σ > 1
Réponse A
Pour tout réel x,
e2x+ 3ex ‒ 4 s’écrit aussi :
4
Sn = (5 ‒ 1,25n+1)
3
Réponse B
C
Explications : Pour la question 1 :
Soit une fonction f définie sur IR et dont
voici la représentation graphique
dans un repère orthogonal.
B
Réponse A
Réponse B
Réponse C
Parmi les représentations graphiques
données ci-contre, quelle est celle d’une
primitive de f sur IR ?
x
‒∞
Signe de f(x)
+
donc de F’(x)
……
……
‒
0
0
…..
+
+∞
‒
0
Variation de F
Pour la question 2 :
Soit la suite (un) définie pour tout
entier n par :
un = 5×0,25n
Soit Sn = u0 + u1 + …… + unalors
20
(1 ‒ 0,25n+1)
3
Réponse A
Sn =
4
Sn = (5 ‒ 1,25n+1)
3
Réponse B
20
(1 ‒ 0,25n)
3
Réponse C
Sn =
Sn = u0 + u1 + …… + un = 5+ 5×0,251+ 5×0,252+………………. + 5×0,25n
= 5 (1 + 0,25+ 0,252+………………. + 0,25n)
Or si b est différent de1, ce qui est le cas ici avec b = 0,25, on a
1+b+ b2+………………. + bn =
On a donc : Sn = 5 ×
Sn=
20
(1 ‒ 0,25n+1)
3
1‒ bn+ 1
1‒b
1‒ 0,25n+ 1
1‒ 0,25n+ 1
1‒ 0,25n+ 1
4
=5×
=5×
= 5 × × ( 1 ‒ 0,25n+1)
1 ‒ 0,25
0,75
3
3
4
A
Partie : Donner du sens à des informations et savoir les utiliser (3,5 points)
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞ [ par f(x) =
10x ‒ 20
.
(x+2)3
Soit Cf sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
Un élève a tracéCfsur sa calculatrice et émet des conjectures :
a) la fonction f semble croissante sur [0 ; +∞ [
b) la fonction f semble concave sur [0 ; +∞ [
Il cherche à les valider ou non et se souvient alors que l’on a parlé des fonctions suivantes :

f′ (dérivée de f)


f ′′ (dérivée seconde de f)
F ( uneprimitive de f sur [0 ; +∞ [ )
Il utilise alors un logiciel de calcul formel pour trouver ces diverses fonctions. Voici ce qu’il a obtenu :
Rappels:
« factor » signifie que le
logiciel a donné la forme
factorisée
et
« integrer » signifie
« donner une primitive »
En utilisant des données précédentes, répondre aux questions ci-dessous :
Compléter alors le tableau ci-dessous (sans justification) et
terminer le raisonnement.
on utilise le
signe de
Pour étudier
□
f(x)
la convexité de f
□
f′(x)
x
f ′′ ( x )
□
F(x)
on utilise le
signe de
Pour étudier les
variations de f
□
f(x)
x
f′(x)
□
f ′′ ( x )
□
F(x)
Il s’agit d’étudier le signe de f′′(x) avec f′′(x) =
x
Signe de
f′′(x)
Variation
de f′
Convexité
de f
0
+∞
6
‒
0
f est
concave
sur [0 ; 6]
60(x‒6)
(x+2)5
+
f est convexe
sur [6 ; + ∞ [
Compléter alors le tableau ci-dessous (sans justification) et
terminer le raisonnement.
Il s’agit d’étudier le signe de f′(x) avec f′(x) =
x
Signe de
f′(x)
Variation
de f
0
+∞
4
+
0
5
54
‒ 2,5
‒ 20(x‒4)
(x+2)5
‒
Retrouver alors ce résultat
‒ 10×5
5
‒ 10×2
2 f (x )dx = F(5) ‒ F(2)= ( ( 5+2)2) ‒ ( ( 2+2)2)
D’autre part, avec le
solveur de la
calculatrice, il a obtenu :
Pour retrouver ce
résultat :
Signe de f(x) avec f(x) =
=‒
on utilise :
□
f(x)
□
f′(x)
□
f ′′ ( x )
x
F(x)
50 20
50 5
50×4 5×49
45
+
=‒
+ =‒
+
=
49 16
49 4
49×4 4×49 196
Interpréter graphiquement ce calcul, en justifiant
La fonction f est continue et positive sur [2 ; 5]
( voir signe de f(x) ci-dessous)
donc l’aire du domaine limitée par Cf., l’axe des abscisses,
les droites d’équations respectives x=2 et x=5 est égale à
45
unités d’aire.
196
10x ‒ 20
sur [ 0 ; +∞ [
(x+2)3
x
0
+∞
2
Signe de 10x‒ 20
‒
Signe de (x+2)3
+
signe de f(x)
‒
0
+
+
0
+
Exercice 3:
Suites (5 points)
Pour effectuer un achat, Corinne a emprunté une somme de 1000 € à la banque au taux d’intérêts composés de
1% par mois. Chaque mois, elle rembourse ce crédit par un virement mensuel de 30 € à la fin du mois.
On note un le montant restant dû après son n-ième remboursement. On a donc u0 = 1000.
1. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n, un+1 = 1,01un ‒ 30
unest le montant restant dû après son n-ième remboursement.
Pour calculer le montant restant le mois suivant, il faut tenir compte du taux d’intérêts composés
de 1% par mois ce qui se traduit par : 1,01un
De plus, comme chaque mois, elle rembourse ce crédit par un virement mensuel de 30 € à la fin
du mois : on peut enlever 30 à 1,01un.
On en déduit donc que : pour tout entier naturel n, un+1 = 1,01un ‒ 30
2. Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :
vn= un ‒ 3000
a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier
terme.
Pour tout n
vn= un ‒ 3000 donc vn+1 = un+1 ‒ 3000
Or un+1 = 1,01un ‒ 30 donc vn+1 = (1,01un ‒ 30)‒ 3000 = 1,01un ‒ 3030
Première méthode :
Seconde méthode :
vn+1 = 1,01un ‒ 3030 = 1,01 ( un ‒ 3000)
vn+1 = 1,01un ‒ 3030
Comme vn= un ‒ 3000, on en déduit que :
Or vn= un ‒ 3000 donc un= vn + 3000
vn+1 = 1,01vn
On en déduit : vn+1 = 1,01(vn +3000) ‒ 3030
= 1,01vn + 3030 ‒ 3030
= 1,01vn
On a donc prouvé que pour tout entier naturel n,vn+1 = 1,01vn
Donc ( vn ) est une suite géométrique de raison 1,01
De plus son premier terme est : v0 = u0 ‒ 3000 = 1000 ‒ 3000 = ‒ 2000
b) Déterminer alors l’expression de vnen fonction de n
( vn ) est une suite géométrique de raison 1,01 (b =1,01) et de premier terme v0 = ‒ 2000
donc pour tout n, on a :
vn = v0 × bn = ‒ 2000 × 1,01n
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 3000 ‒ 2000× 1,01n
On sait que pour tout entier n,vn= un ‒ 3000 donc un= vn + 3000
Or d’après la question précédente, on a vn = v0 × bn = ‒ 2000 × 1,01n
Donc, pour tout n, un = 3000 ‒ 2000× 1,01n
3. Etudier la limite de la suite(un).
Cette limite a-t-elle un sens pour la situation concrète étudiée ? Expliquer.
1,01 > 1 donc lim1,01n = + ∞
n→+∞
d’où lim( ‒ 2000 × 1,01n ) = ‒ ∞
n→+∞
donc lim( 3000 ‒ 2000 × 1,01n ) = ‒ ∞
n→+∞
On en déduit que la suite (un) tend donc vers ‒ ∞
Ceci signifierait qu’à long terme, le montant à rembourser est négatif, ce qui n’a pas de sens.
Le remboursement se terminera bien un jour!
4. On souhaite trouver, grâce à un algorithme, le plus petit entier n tel que un soit strictement
négatif.
On peut construire cet algorithme en utilisant soit la définition par récurrence de la suite(un) (celle
donnée dans l’énoncé de départ) soit en utilisant l’expression de un trouvée dans la question 2c),
d’où deux algorithmes dont la structure est donnée ci-dessous.
A vous de choisir l’un des deux et de le compléter.
Algorithme 1
Variables :
Initialisation:
n est un entier naturel
U est un réel
n prend la valeur 0
U prend la valeur 1000
Traitement :Tant que U ≥ 0
n prend la valeur n+1
U prend la valeur 1,01U ‒ 30
Fin de Tant que
Sortie :
Afficher n
Algorithme 2
Variables :
Initialisation:
n est un entier naturel
n prend la valeur 0
Traitement : Tant que 3000 ‒ 2000× 1,01n≥ 0
n prend la valeur n+1
Fin de Tant que
Sortie :
Afficher n
Algorithme 1 avec une calculatrice Casio
Algorithme 1 avec une calculatrice TI
:0→N
: 1000 → U
: While U≥ 0
:N+1→N
: 1.01U ‒ 30 → U
: End
: DISP N
Algorithme 2 avec une calculatrice Casio
Algorithme 2 avec une calculatrice TI
:0→N
: While 3000 ‒ 20001,01^N ≥ 0
:N+1→N
: End
: DISP N
5. On admet que l’algorithme donne comme valeur finale : n = 41.
Calculer alors u40, le montant qu’il reste à rembourser après le 40ème remboursement.
un= 3000 ‒ 2000× 1,01n donc u40= 3000 ‒ 2000× 1,0140 ≈ 22,273
Le montant qu’il reste à rembourser après le 40ème remboursement est égal à environ 22,27 €
Calculer alors le montant total des remboursements et en déduire le total des intérêts versés.
Corinne aura donc remboursé au total :40×30 + 22,27 soit 1222,27 €
ce qui faitun total d’intérêts versés de 222,27€
Exercice 4 :
Fonctions et économie (3,5 points)
Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d’un produit fabriqué
par une entreprise. Le coût marginal de fabrication de ce produit est modélisé par la fonction Cm définie
sur [1 ; 20] par :
Cm(q) = 4 + (0,2q2 ‒ 2q) e‒ 0,2q , où q est exprimé en tonnes et Cm(q) en milliers d’euros.
1. Soit la fonction CTdéfinie [1 ; 20] par CT (q) = 4q ‒ q2 e‒ 0,2q
Montrer que CTest une primitive de Cm sur [1 ; 20].
Montrer que CT est une primitive de Cm sur [1 ; 20] revient à montrer que :
la dérivée de CT est égale à Cm .
On calcule donc C′T( q ) avec CT (q) = 4q ‒ q2 e‒ 0,2q
CT = w ‒ uv donc C′T = w′ ‒ (u′v + uv′)
w(q)= 4q
2
u(q) = q
‒ 0,2q
v(q) =e
w′(q)= 4
u′(q) = 2 q
v′(q) = ‒ 0,2e‒ 0,2q
On a donc pour tout q de [1 ; 20]: C′T(q) = 4 ‒ (2q×e‒ 0,2q+ q2× (‒ 0,2e‒ 0,2q))
C′T(q) = 4 ‒ 2qe‒ 0,2q+ 0,2 q2e‒ 0,2q
C′T(q) = 4 + (‒ 2q+ 0,2q2 ) e‒ 0,2q
C′T(q) = 4 + ( 0,2q2 ‒ 2q) e‒ 0,2q
C′T (q) = Cm (q)
doncCT est une primitive de Cm sur [1 ; 20]
2. La fonction coût moyen, notée CM est la fonction définie sur [1 ;20] par CM (q)=
CT (q)
.
q
On admet que CM (q)= 4 ‒ qe‒ 0,2q
En utilisant votre calculatrice, conjecturer pour quelle production mensuelle q0 l’entreprise admet
un coût moyen minimal. Quel est ce coût ? Pour cette production q0, quelle est la valeur du coût
marginal ? Quelle remarque pouvez-vous faire ?
puis avec ZOOM AUTO
Il semble donc que l’entreprise admet un coût moyen
minimal lorsqu’elle produit 5 tonnes de ce produit et ce
coût moyen minimal est d’environ 2,1606.
De plus Cm(5) = 4 + (0,2× 52 ‒ 2× 5) e‒ 0,2×5 = 4 + ( 0,2×
25 ‒ 10) e‒ 1 = 4 ‒ 5e‒ 1 ≈ 2,1606.
Les valeurs approchées trouvées ci-dessus pour le coût moyen et le coût marginal sont les mêmes.
On peut conjecturer que lorsque le coût moyen est minimal, le coût moyen et le coût marginal
sont égaux mais cela reste à prouver !
(Hors bac blanc : si vous avez fini et qu’il vous reste du temps : Résoudre l’équation CM (q)= Cm(q) )
CM (q) = Cm(q)
⟺
4 ‒ qe‒ 0,2q = 4 + ( 0,2q2 ‒ 2q) e‒ 0,2q
et q ∈ [1 ;20]
Or 4 ‒ qe‒ 0,2q= 4 + ( 0,2q2 ‒ 2q) e‒ 0,2q ⟺‒ qe‒ 0,2q= ( 0,2q2 ‒ 2q) e‒ 0,2q
‒ qe‒ 0,2q‒ ( 0,2q2 ‒ 2q) e‒ 0,2q = 0
e‒ 0,2q ( ‒ q ‒ ( 0,2q2 ‒ 2q) ) = 0
‒ 0,2q
2
e
( ‒ q ‒ 0,2q + 2q) = 0
e‒ 0,2q ( q ‒ 0,2q2) = 0
or e‒ 0,2q ≠ 0 donc
4 ‒ qe‒ 0,2q= 4 + ( 0,2q2 ‒ 2q) e‒ 0,2q = Cm(q)⟺ q ‒ 0,2q2 = 0
⟺q ( 1 ‒ 0,2q) = 0
⟺q = 0 ou 1 ‒ 0,2q = 0
⟺q = 0 ou q = 5
Comme q appartient à [1 ;20], on a : CM (q)= Cm(q)⟺q = 5
On peut le vérifier à la calculatrice :
3. Toute trace de recherche, même incomplète, d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte
dans l’évaluation.
On suppose que l’entreprise vend toute sa production mensuelle. Chaque tonne du produit est vendu
4000€. On désigne par R(q) la recette mensuelle obtenue pour la vente de q tonnes de produit et par
B(q) le bénéfice mensuel en millier d’euros
Les représentations graphiques des fonctions recette et coût total sont données ci-dessous.
a) Exprimer en fonction de q le bénéfice B(q), puis justifier que l’entreprise est rentable.
B(q) = R(q) ‒ CT (q) = = 4q ‒ (4q ‒ q2 e‒ 0,2q) = q2 e‒ 0,2q
Orq2 est strictement positif sur [1 ;20] et e‒ 0,2q est aussi strictement positif
Donc pour tout q de [1 ;20] B(q) > 0 ce qui signifie que l’entreprise est rentable
Remarque :graphiquement, on peut le conjecturer car la courbe de la recette est au dessus de
celle du coût total.
b) Estimer,graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l’on peut espérer
sur le mois étudié.
Soient M le point d’abscisse q du segment représentant la recette et N le point de même abscisse
q de la courbe représentant le coût total.
On cherche pour quelle valeur de q l’écart entre ces deux points M et N est le plus grand,
c’est-à-dire tel que yM ‒ yN est le plus grand
Il semble que cela se produise lorsque q est voisin de 10 et le bénéfice maximal serait voisin de
Remarque : on pouvait aussi conjecturer cette réponse en utilisant la calculatrice et en trouvant le
maximum de B sur [1 ; 20]