exercice 10-11

PSI
MATHEMATIQUES
Janvier 2017
Feuille d’Exercices
Variables Aléatoires Discrètes
Exercice 1. On effectue des tirages successifs dans une urne qui contient initialement une boule
noire et une boule blanche. A chaque tirage, on note la couleur de la boule tirée et on la remet dans
l’urne en ajoutant en plus une boule noire.
On définit la variable aléatoire Y égale au rang d’apparition de la première boule noire et la
variable aléatoire Z égale au rang d’apparition de la première boule blanche.
1. Déterminer la loi de Y et celle de Z.
2. Admettent-elles une espérance ? Si oui, la calculer
2
Exercice 2. On dispose d’une pièce déséquilibrée, amenant pile avec la probabilité . On note X le
3
nombre de lancers nécessaires pour obtenir pour la première fois deux piles consécutifs, et pour tout
n ∈ N∗ , on note an = P (X = n).
1. Calculer a1 , a2 , a3 .
1
2
2. Montrer : ∀n ≥ 3, an = an−1 + an−2 .
3
9
3. En déduire la loi de X et vérifier par la calcul que
+∞
X
P (X = n) = 1
n=1
4. X admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
Exercice 3. On dispose de n boules numérotées de 1 à n et d’une boîte formée de trois compartiments
identiques également numérotés de 1 à 3.
On lance simultanément les n boules .
Elles viennent se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments.
Chaque compartiment peut éventuellement contenir les n boules.
On note X la variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de
compartiments restés vides.
1. Préciser les valeurs prises par X.
2. (a) Déterminer la probabilité P (X = 2).
(b) Finir de déterminer la loi de probabilité de X.
3. (a) Calculer E(X).
(b) Déterminer lim E(X). Interpréter ce résultat.
n→+∞
Exercice 4. Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Calculer E
1
1+X
.
Exercice 5. X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans N.
Elles suivent la même loi définie par : ∀k ∈ N, P (X = k) = P (Y = k) = pq k où p ∈ ]0, 1[ et q = 1−p.
On considère alors les variables U et V définies par U = sup(X, Y ) et V = inf(X, Y ).
1. Déterminer la loi du couple (U, V ).
2. Expliciter les lois marginales de U et de V .
3. U et V sont-elles indépendantes ?
1
Exercice 6. Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Ω, A, P )
et à valeurs dans N dont la loi est donnée par :
1
∀ (i, j) ∈ N2 , P ((X = i) ∩ (Y = j)) =
i+1
e 2 j!
1. Déterminer les lois de X et de Y .
2. (a) Prouver que 1 + X suit une loi géométrique et en déduire l’espérance et la variance de X.
(b) Déterminer l’espérance et la variance de Y.
3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
4. Calculer P (X = Y ).
Exercice 7. Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé.
Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur (Ω, A, P ).
On suppose que Y suit une loi de Poisson de paramètre λ.
On suppose que X(Ω) = N et que ∀ m ∈ N, la loi conditionnelle de X sachant (Y = m) est une loi
binomiale de paramètre (m, p).
Déterminer la loi de X.
Exercice 8. On considère une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur {1, 2} et une variable
aléatoire Y , indépendante de X, suivant la loi de Poisson de paramètre λ > 0. On définit la variable
aléatoire Z = XY .
1. Déterminer la loi de Z. Calculer son espérance et sa variance.
2. Calculer la probabilité que Z soit pair.
Exercice 9. Soit p ∈]0, 1[, q = 1−p et X, Y deux variables aléatoires dont la loi conjointe est donnée
par X(Ω) = Y (Ω) = N et ∀(i, j) ∈ N2 , P (X = i ∩ Y = j) = p2 q i+j .
1. (a) Déterminer les lois marginales du couple (X, Y ).
(b) X et Y sont-elles indépendantes ?
(c) Déterminer la loi de X +Y , ainsi que son espérance et sa variance sous réserve d’existence.
2. On pose U = max(X, Y ) et V = min(X, Y )
(a) Déterminer la loi de U ainsi que son espérance sous réserve d’existence.(on utilisera la
fonction de répartition)
(b) Calculer l’espérance de |X − Y |.
(c) Déterminer la loi de V
2
Exercice 10. (Loi de Pascal) Soit x ∈]0, 1[.Dans une succession d’épreuves de Bernoulli indépendantes, de même probabilité d’échec x, on définit deux suites de variables aléatoires (Sn )n≥1 et (Tn )n≥1
de la façon suivante :
– pour tout n ∈ N∗ , Sn est la variable aléatoire égale au nombre d’épreuves nécessaires pour
obtenir le n-ième succès
– T1 = S1 et pour tout n ≥ 2, Tn est la variable égale au nombre d’épreuves supplémentaires
pour obtenir le n-ième succès après le n − 1-ième succès
1. Exprimer, pour tout n ∈ N∗ , Sn en fonction des variables Ti , i ∈ N∗ .
2. Donner pour tout n ∈ N∗ , la loi de Tn ainsi que son espérance et variance.
3. Déterminer la loi de S1 et celle de S2 .
4. Donner pour tout n ∈ N∗ , la loi de Sn .
+∞ X
xn
k−1
5. En déduire que, pour tout x ∈]0, 1[, et pour tout n ∈ N :
xk =
n−1
(1 − x)n
k=n
∗
Exercice 11. On considère une suite (Xn )n∈N∗ de v.a indépendantes suivant toutes la même loi de
Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[. Pour tout n ∈ N∗ ,on pose :
n
P
Sn =
Xi
i=1
n
n
P
Xn + Xn+1
, Yn =
, Tn =
2
Yi
i=1
n
1. Justifier :
∀ε > 0, lim P (|Sn − p| ≥ ε) = 0
n→+∞
∗
2. Soit n ∈ N . Donner la loi et espérance de Yn .
3. Soient (n, m) ∈ N∗ × N∗ tels que n < m. Les v.a Yn et Ym sont-elles indépendantes ?
4. Montrer
∀ε > 0, lim P (|Tn − p| ≥ ε) = 0
n→+∞
3