Résumé du cours

Interférences
Résumé
Notion d’interférences
Def : on appelle différence de marche, la différence de chemin optique introduite par un dispositif
interférentiel entre deux rayons lumineux se superposant au point M :
δ(M ) = (SM )1 − (SM )2
Conditions d’obtention: deux ondes interfèrent en un point M d’un récepteur sensible à l’éclairement
(comme l’oeil ou photorécepteur classique) si
- elles sont cohérentes : ç-à-d même pulsation, même phase à l’émission : en pratique issues du
même point source physique et du même train d’onde.
- la différence de marche δ est inférieure à la longueur de cohérence du train d’onde lc , celleci étant reliée à la largeur spectrale à mi-hauteur de la source. En effet chaque train d’onde se situe à
[ν − 1/2 ∆ν, ν + 1/2 ∆ν] dont la largeur ∆ν définit la durée de vie τ telle que τc ' 1/∆ν .
On a alors lc = cτc .
δ < lc est la condition de cohérence temporelle de la source.
Définition de l’éclairement
E =< 2s2 >= ss∗
où s est l’amplitude.
Formule de Fresnel
• l’éclairement obtenu par superposition en M d’ondes cohérentes s’obtient en ajoutant d’abord les
amplitudes: E = (s1 + s2 )(s1 + s2 )∗
√ √
2π
- pour deux ondes d’amplitudes différentes E(M ) = E1 + E2 + 2 E 1 E 2 cos λvide
δ(M )
- pour deux ondes d’amplitudes identiques (E0 est l’éclairement obtenu avec une seule source) :
E(M ) = 2E0 (1 + cos
2π
λvide
δ(M ) )
• l’éclairement obtenu par superposition en M de deux ondes incohérentes est la somme de leur
éclairement : E = E1 + E2 = s1 s∗1 + s2 s∗2
Figure d’interférence
Def : on définit l’ordre d’interférence p = δ/λvide .
Pté : si p est entier l’éclairement en M est maximal, on obtient une frange brillante ; la distance
entre deux franges brillantes est appelé interfrange.
si p est demi-entier l’éclairement en M est minimal, on obtient une frange sombre.
Def: on définit le contraste d’une figure d’interférence par :
C=
Emax − Emin
Emax + Emin
lorque C = 0, l’éclairement est uniforme, on parle de brouillage des franges.
Calcul de différences de marche
- il suffit d’évaluer géométriquement les chemins optiques sans oublier l’indice des milieux traversés
~
- on peut utiliser la relation ϕ = λ2πδ
(SM ) = ~k.SM
vide
- on pense aussi au théorème de Malus : entre la source et un plan d’onde deux rayons lumineux restent
en phase (ou ont le même trajet optique); idem entre un objet et son image conjuguée par un système
optique.
Physique PC*
Michelson
Résumé
Michelson en lame d’air
Pté : avec une source ponctuelle les franges sont délocalisées. Les franges brillantes sont alors des
hyperboloı̈des de révolution de foyer S1 et S2 , sources virtuelles symétriques de S par rapport aux deux
miroirs. Les franges observées sont dans les plans sectionnant ces hyperboloı̈des perpendiculairement à leur
axe de symétrie : l’intersection donne alors des anneaux concentriques.
Franges d’égale inclinaison
Pté : avec une source étendue les anneaux sont localisés à l’infini. On obtient alors des franges dites
d’égale inclinaison observée à l’œil sans accommoder ou dans le plan focal image d’une lentille. L’éclairage
possède ainsi tous les angles d’incidence possibles .
La différence de marche en un point M situé à l’infini dans la direction i, pour une épaisseur de lame e
vaut , avec i l’angle d’incidence (et de sortie de l’appareil) :
δ = 2e cos i
Caractéristiques des franges
- les franges sont des anneaux concentriques
- l’interfrange n’est pas constant et diminue avec i; (les anneaux se resserrent)
- la frange centrale (i = 0) est a priori quelconque (ordre d’interférence quelconque)
- l’ordre d’interférence est maximal au centre , il décroı̂t avec i.
- les anneaux sont d’autant plus nombreux que e est grand
- les anneaux ”rentrent” quand on diminue e
- e = 0 correspond à la teinte plate, l’éclairement à l’écran est uniforme, on ne voit plus de franges
Michelson en coin d’air
Pté : avec une source ponctuelle les franges sont délocalisées. Les franges brillantes sont alors des
hyperboloı̈des de révolution de foyer S1 et S2 , sources virtuelles symétriques de S par rapport aux deux
miroirs. Les franges observées en sortie sont des franges rectilignes.
Franges d’égale épaisseur
Pté : avec une source étendue éclairant les miroirs sous incidence quasi normale, les franges sont
localisées sur les miroirs. On obtient alors des franges dites d’égale épaisseur observée à l’œil en accommodant, ou par projection sur un écran à l’aide d’une lentille (en respectant D > 4f 0 ).
La différence de marche en un point M situé à l’abscisse x par rapport à l’arête du coin d’air, pour un
angle du coin d’air α vaut :
δ = 2α x
Caractéristiques des franges
- les franges sont parallèles à l’arête des miroirs
- les franges sont rectilignes et équidistantes d’interfrange i = λ0 /2α
- les franges sont d’autant plus nombreuses à l’écran et serrées que α est grand
Doublet du sodium
Chariotage du Michelson en lame d’air : ∆e = λ20 /2∆λ
Physique PC*
Diffraction
Résumé
Diffraction de Fraunhofer
Def : On parle de diffraction dans les conditions de Fraunhofer quand la source et le point d’observation
sont à l’infini.
Généralités
- La diffraction est visible si la longueur d’onde est inférieure aux dimensions de l’objet diffractant
- La figure de diffraction est centrée sur l’image géométrique de la source
- Elle a les mêmes symétries que l’élément diffractant : un cercle donne un cercle, un trait donne un trait
- plus les dimensions de l’obstacle diffractant sont réduites , plus l’image diffractée est grande
- les interférences entre motifs répétés de l’élément diffractant se traduisent par des franges qui modulent
l’intensité diffractée; l’écart entre ces franges est inversement proportionnel à la distance entre motifs
Ouverture rectangulaire infiniment fine
- image diffractée perpendiculaire à la fente : une fente horizontale diffracte dans une direction
verticale
- constituée d’une tache centrale lumineuse et de taches latérales moins lumineuses et deux fois moins
larges que la tache centrale;
- la tache centrale a la demi-largeur angulaire égale à
λvide
largeur totale de la f ente
=
λvide
l
- insensible au déplacement de translation de la fente diffractante dans son propre plan
Ouverture circulaire : pour une ouverture circulaire la figure de diffraction est appelée tache d’Airy
λvide
et l’ouverture angulaire centrale a la demi-largeur angulaire égale à 1, 22 diametre
Objet de phase : un objet de phase est caractérisé par sa transparence ou transmittance t(P ) qu’il
faut introduire comme facteur pour obtenir l’amplitude de l’onde de sortie : ssortie = t(P )sentree
La décomposition en série de Fourier conduit à une somme de termes en cos(2πσn x). On remplace le
cosinus par son expression complexe (cos x = 1/2(ejx + e−jx ) ; on déduit les directions angulaires et les
amplitudes associées. Ainsi :
sin θn = ±λ.σn
et les amplitudes An sont les coefficients devant chaque exponentielle ej2πσn x (ne pas oublier le coefficient
1/2 dû à la décomposition du cosinus en exponentielle).
Cas du réseau plan de pas a : sin θn = ±nλ/a (σn = n/a)
Cas du réseau sinusoı̈dal : sin θ = ±λ/a et sin θ = 0 (σ = 1/a et σ = 0)
Filtrage : on peut filtrer un objet de transparence par un passe-bas ou un passe-haut. Pour cela :
- on forme l’image de l’objet à filtrer dans le plan conjugué d’une lentille.
- on place dans le plan de Fourier (plan focal) le filtre (une fente ou un trou ou son complémentaire)
- une fente ou un trou placé au centre du plan de Fourier cache toutes les fréquences spatiales
hautes : c’est un filtre passe-bas. Il permet de garder les éclairements uniformes dans l’image filtrée ou
de donner du flou en supprimant les fins détails.
- le complément de fente ou de trou (ç-à-d un cheveu ou un cercle opaque) cache les fréquences spatiales
zéro ou basses : c’est un filtre passe-haut. Il permet de faire sortir les détails dans l’image filtrée.
Physique PC*