Feuille 1 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Année universitaire 2016-2017
Licence 2 de mathématiques
Structures algébriques 1 - Feuille 1
Exercice 1
a. Soient a et b deux entiers. Montrer que : a et b sont premiers entre eux si
et seulement si a + b et ab sont premiers entre eux.
b. Trouver un couple (a, b) ∈ Z2 tel que pgcd(a, b) 6= pgcd(a + b, ab).
Exercice 2
Trouver un couple (u, v) ∈ Z2 tel que 57u + 13v = 1.
Exercice 3
a. Montrer que si m est un entier impair, alors m2 ≡ 1 mod 8.
b. Soient a, b, c trois entiers. Prouver que a2 + b2 + c2 n’est pas congru à 7
modulo 8.
Exercice 4
Soit (An )n≥1 une suite d’entiers ≥ 1. On suppose que pour tout (m, n) ∈ N2
vérifiant 1 ≤ m < n, on a pgcd(Am , An ) = pgcd(Am , An−m ). Démontrer que
pgcd(Am , An ) = Apgcd(m,n) pour tout (m, n) ∈ N∗2 .
Exercice 5
Soient a et n deux entiers ≥ 2.
a. En utilisant le résultat de l’exercice 4, montrer que pgcd(ad − 1, an − 1) =
apgcd(d,n) − 1 pour tout entier d ≥ 1.
b. En déduire que si an − 1 est premier, alors a = 2 et n est premier.
Exercice 6
On note (Fn )n≥0 la suite de Fibonacci définie par F0 = 0, F1 = 1, et Fn+2 =
Fn+1 + Fn pour tout n ≥ 0.
a. Prouver que Fn et Fn+1 sont premiers entre eux pour tout n ≥ 0.
b. Soient m et n deux entiers tels que 1 ≤ m < n. Établir la relation
Fn = Fm Fn−m+1 + Fm−1 Fn−m .
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c. En utilisant le résultat de l’exercice 4, conclure que pgcd(Fm , Fn ) = Fpgcd(m,n)
pour tout (m, n) ∈ N∗2 .
Exercice 7
Soit G un groupe tel que g 2 = 1 pour tout g ∈ G. Démontrer que G est abélien.
Exercice 8
On considère l’intervalle I =] − 1, +∞[. Pour tout (x, y) ∈ I 2 , on pose x ⊗ y =
xy + x + y. Montrer que ⊗ est une loi interne sur I, puis que (I, ⊗) est un groupe.
Exercice 9
Soit G un groupe. Soient H et K deux sous-groupes de G. Prouver que : H ∪ K
est un sous-groupe de G si et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H.
Exercice 10
Soit G un groupe. Soit H une partie finie non vide de G stable par la loi de
groupe. Démontrer que H est un sous-groupe de G.
Qu’en est-il si H est infini ?
Exercice 11 : centre d’un groupe
a. Soit G un groupe. On pose Z(G) = {x ∈ G | ∀y ∈ G xy = yx}. Vérifier
que Z(G) est un sous-groupe de G.
b. Montrer que Z(S3 ) est trivial.
c. Soit n un entier ≥ 3. Prouver que Z(Sn ) est trivial.
Exercice 12
Soient n un entier ≥ 1 et a un entier. Quel est l’ordre de ā dans le groupe Z/nZ ?
Exercice 13
Soit G un groupe. On suppose que l’ensemble des sous-groupes de G est fini.
Démontrer que G est fini.
Exercice 14
Soit G un groupe fini d’ordre pair. Montrer qu’il existe un élément de G d’ordre
2 ; indication : on pourra regrouper chaque élément avec son inverse.
Exercice 15 : nombres de Mersenne
Soit n un nombre premier impair. Soit p un diviseur premier de 2n − 1. Déterminer l’ordre de 2̄ dans le groupe (Z/pZ)∗ . En déduire que 2n divise p − 1.
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