Corrections - XMaths

Exercice 01
1°) Les triangles AA1D1, BB1A1, CC1B1 et DD1C1 sont des triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit
ont pour longueurs respectives 1 et 3. On en déduit que leurs hypothénuses ont la même longueur, donc
A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1A1
A1B1C 1D1 est donc un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur, c'est un losange.
La somme
AA1D1 + D1A1B 1 + B1A1B correspond à
D'autre part
AA1D1 + D1AA1 + A1D1A
AA1B
c'est-à-dire 180°.
est la somme des angles du triangle AA1D1, donc 180°.
Sachant que B1A1B et A1D1A sont égaux (car les triangles rectangles AA1D1 et A1B 1B ayant les
mêmes longueurs de côtés, ils sont superposables et ont les mêmes angles).
On en déduit alors que D1A1B 1 = D1AA1 donc D1A1B 1 est un angle droit.
A1B1C 1D1 est un losange ayant un angle droit, donc A1B1C1D1 est un carré .
C1
D
2°) On construit les points A2, B2, C2 et D2.
NB : De même que dans la question précédente, les
triangles A1A2D2, B1B2A2, C1C2B 2 et D1D 2C2 sont des
D
triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit ont les 1
mêmes longueurs. Donc il ont les des hypothénuses de
même longueur.
On en déduit que A2B2 = B2C2 = C2D2 = D2A2
A2B2C 2D2 est donc un quadrilatère ayant quatre côtés de
même longueur, c'est un losange.
En utilisant le même raisonnement que dans la question
précédente on peut démontrer que D2A2B 2 est un angle
A
droit.
Donc A2B2C2D2 est un carré .
C
C2
B2
D2
B1
A2
A1
B
3°) On construit de la même façon les carrés A3B3C3D3 , A4B4C 4D4 et A5B5C 5D5 .
4°) Le carré A5B5C5D5 est contenu dans le carré A4B4C4D4 , lui même contenu dans le carré A3B3C3D3 , luimême contenu dans le carré A2B2C2D2 , lui-même contenu dans le carré A1B1C1D1 , lui-même contenu
dans le carré ABCD.
On a donc a5 £ a4 £ a3 £ a2 £ a1 £ a0 .
On sait de plus que le côté d'un carré est égal à la racine carrée de son aire.
La fonction racine carrée étant croissante sur [0 ; +∞[, on en déduit que c5 £ c4 £ c3 £ c2 £ c1 £ c0 .
Donc : les suites de nombres a0, a1, a2, a3, a4, a5 et c0, c1, c2, c3, c4, c5 sont décroissantes.
http://xmaths.free.fr
1ère S − Suites − Corrections
5°) On sait que c0 = 4 , donc a0 = 16
L'utilisation du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle A1BB1 permet d'obtenir :
(A1B1)2 = A1B2 + BB12 = 32 + 12 = 10 donc a1 = 10 et c1 = 10 ≈ 3,162
L'utilisation du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle A2B1B2 permet d'obtenir :
(A2B2)2 = A2B12 + B1B22 = ( 10 - 1)2 + 12 = 12 - 2 10
donc a2 = 12 - 2 10 ≈ 5,675 et c2 = 12 - 2 10 ≈ 2,382
En réitérant les calculs on obtient finalement
a0 = 16 ; a1 = 10 ; a2 = 12 - 2 10 ≈ 5,675 ; a3 ≈ 2,911 ;
et
c0 = 4 ; c1 = 10 ≈ 3,162 ; c2 =
a4 ≈ 1,499 ;
a5 ≈ 1,050
12 - 2 10 ≈ 2,382 ; c3 ≈ 1,706 ; c4 ≈ 1,224 ; c5 ≈ 1,025
L'aire A d'un carré peut s'obtenir à partir de l'aire a du carré précédent par le calcul
A = ( a - 1)2 + 1
On peut ainsi obtenir avec une calculatrice les aires successives des carrés.
Exemple : avec une calculatrice TI82, on pourra faire
16 STO► A ENTER
(on stocke la valeur initiale de l'aire dans la mémoire A)
( A - 1)2 + 1 STO► A ENTER
(on fait le calcul de l'aire suivante et on le stocke dans A)
Il suffit ensuite de rappuyer sur la touche ENTER pour
obtenir les valeurs approchées successives de l'aire :
Le côté C d'un carré peut s'obtenir à partir de l'aire c du carré précédent par le calcul
C = (c - 1)2 + 12
On peut ainsi obtenir avec une calculatrice les côtés successifs des carrés.
Exemple : avec une calculatrice Casio Graph 35, on pourra faire
4 ֏ C EXE
(on stocke la valeur initiale du côté dans la mémoire C)
((C - 1)2 + 1) ֏ C
EXE
(on fait le calcul du côté suivant et on le stocke dans C)
Il suffit ensuite de rappuyer sur la touche EXE pour obtenir
les valeurs approchées successives du côté :
6°)
Algorithme réalisé avec le logiciel AlgoBox
Programmes sur calculatrice
Code Casio
Code TI
?֏N↵
Input N
4֏C↵
4֏C
While N > 0↵
((C-1)2+1)֏C↵
While N > 0
N - 1 ֏ N↵
N - 1 ֏ N↵
WhileEnd↵
End
"COTE " : C
Disp "COTE ",C
((C-1)2+1)֏C↵
Si on réitère le procédé, il semble que l'on se rapproche de plus en plus d'un carré "fixe" de côté 1.
http://xmaths.free.fr
1ère S − Suites − Corrections