Anneaux et corps

Anneaux et corps
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Généralités
Définition 1 On appelle Anneau un ensemble A muni de deux lois de composition internes notées + et ×, telles
que(A, +) est un groupe commutatif, d’élément neutre noté 0 et tel que
la multiplication est associative :
∀a, b, c ∈ A, (ab)c = a(bc)
la multiplication est distributive par rapport à la loi + :
∀a, b, c ∈ A,
(a + b)c = ac + bc et c(a + b) = ca + cb
la multiplication possède un élément neutre noté 1A ou 1 :
∀a ∈ A, a × 1 = 1 × a = a
Si de plus la multiplication est commutative, on dit que A est un anneau commutatif.
Exemple 2
• L’ensemble Z muni de l’addition et de la multiplication est un anneau commutatif.
• (R [X] , +, ×) est un anneau.
• L’ensemble F(R, R) des applications de R dans R muni de l’addition f +g : x 7→ f (x)+g(x) et de la multiplication
f × g : x 7→ f (x)g(x) est un anneau commutatif.
• L’ensemble Mn (R) des matrices carrées à n lignes et n colonnes est un anneau non-commutatif.
˙ est un anneau commutatif.
• Z/nZ, +̇, ×
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Règles de calcul
Proposition 3 Soit (A, +, ×) un anneau. Alors :
pour tout a ∈ A, a × 0 = 0 = 0 × a
pour tout a, b ∈ A, (−a) × b = a × (−b) = −(ab)
pour tous a, b ∈ A, (−a) × (−b) = ab
pour tout n ∈ N, pour tout a ∈ A, (−a)2n = a2n et (−a)2n+1 = −a2n+1
pour tout n ∈ Z et pour tous a, b ∈ A, (na) × b = a × (nb) = n × (ab).
Démonstration. Soit a ∈ A, alors a × 0 = a × (0 + 0) = a × 0 + a × 0 et donc a × 0 = 0. De même 0 × a = 0.
Soit a, b ∈ A, alors a×b+(−a)×b = (a−a)×b = 0×b = 0, donc (−a)×b = −(a×b). De même, a×(−b) = −(a×b).
Soit a, b ∈ A. Montrons par récurrence que, pour n ∈ N, (na) × b = n(ab). Il est clair que (0a) × b = 0 = 0(a × b).
Soit n ∈ N, supposons que (na) × b = n(a × b). Alors
((n + 1)a) × b = (na + a) × b = (na) × b + a × b = n(a × b) + a × b = (n + 1)(a × b)
Ainsi, d’après le théorème de récurrence, pour tout n ∈ N, (na) × b = n(a × b). De même, pour tout n ∈ N∗ ,
a × (nb) = n(a × b). cqfd.
Proposition 4 Formule du binôme :
Soit a et b deux éléments d’un anneau A qui commutent, c’est-à-dire qui vérifient a × b = b × a. Alors :
(a + b)n = Cn0 an + Cn1 an−1 b1 + · · · + Cnn−1 a1 bn−1 + Cnn bn
Rappel
Cnp =
n × (n − 1) × · · · × (n − (p − 1))
p!
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Éléments inversibles - diviseurs de zéros
Définition 5 Soit (A, +, ×) un anneau. On dit que a ∈ A est inversible si il existe b ∈ A tel que ab = 1. On note A∗
l’ensemble des éléments inversibles de A.
Exemple 6 Z∗ = {−1, 1}
Q∗ = Q \ {0} et R∗ = R \ {0}
∗
(R [X]) = polynômes constants.
Définition 7 Soit (A, +, ×) un anneau. On dit que a ∈ A est un diviseur de zéro si a 6= 0 et s’il existe b ∈ A, b 6= 0
tel que ab = 0.
On dit que A est un anneau intègre s’il n’admet pas de diviseurs de zéro.
Proposition 8 L’anneau A est intègre si et seulement si :
∀a, b ∈ A,
Exemple 9
ab = 0 =⇒ a = 0 ou b = 0
• L’anneau (Z, +, ×) est intègre.
• L’anneau (R (X) , +, ×) est intègre.
˙ n’est pas intègre car 2̇×
˙ 3̇ = 0̇.
• L’anneau Z/6Z, +̇, ×
Remarque 10 un élément de A ne peut pas être à la fois inversible et diviseurs de zéro. (même démonstration que
pour Z/nZ).
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Sous-anneaux et Idéaux
Définition 11 Soit (A, +, ×) un anneau. Soit B une partie de A. On dit que B est un sous-anneaux de A si et
seulement si:
(B, +) est un sous-groupe de (A, +)
1A appartient à B
pour tout a, b ∈ B, ab ∈ B.
Exemple 12
• Z est un sous-anneau de Q qui est lui-même un sous-anneau de R.
• Q [X] est un sous-anneau de R [X].
√
√ • L’ensemble Q 2 = {a + b 2 | a, b ∈ Q} est un sous-anneau de R.
Définition 13 Soit (A, +, ×) un anneau. Soit I une partie de A. On dit que I est un idéal de A si et seulement si :
(I, +) est un sous-groupe de (A, +)
pour tout i ∈ I, et pour tout a ∈ A on a ai ∈ A et ia ∈ A.
Exemple 14
1. nZ est un ideal de Z pour tout n.
2. P × R [X] est un idéal de R [X].
3. Plus généralement si A est un anneau commutatif et si a ∈ A alors aA : l’ensembles des multiples de a est un
idéal de A.
Démonstration. Il suffit de démontrer le troisième point.
a × 0 = 0 donc 0 ∈ aA
Soit x = au et y = av deux élément de aA alors x + y = au + av = a (u + v) ∈ aA et −x = a × (−u) ∈ aA
Donc aA est un sous-groupe de (A, +) .
Soit x = au un élément de aA et soit y ∈ A alors xy = auy = a × (uy) ∈ aA et yx = xy car A est commutatif donc
yx ∈ aA.
Donc aA est un idéal de A.
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Corps
Définition 15 On appelle corps tout anneau (K, +, ×) tel que tout élément non nul de K possède un symétrique pour
la multiplication.
Si de plus la multiplication est commutative, on dit que K est un corps commutatif.
Exemple 16
• Les ensembles Q, R, C sont des corps commutatifs.
• L’anneau (Z, +, ×) n’est pas un corps (par exemple, l’élément 2 n’est pas inversible dans Z).
√ Exercice 17 Montrer que Q 2 est un corps.
˙ est un corps si et seulement si n est un nombre premier.
Proposition 18 Z/nZ, +̇, ×
Démonstration. Notons E = {1, 2, · · · , n − 1}, on a vu que
n est premier
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⇐⇒
⇐⇒
n est premier avec tous les éléments de E
tous les éléments non nuls de Z/nZ sont inversibles
Anneaux principaux
Dorénavant on désignera par A un anneau commutatif, par K un corps et par K [X] l’anneau des polynômes à
coefficients dans K.
Définition 19 Un idéal I de A est dit principal si il est formé des multiples d’un éléments a de A, c’est à dire si
I = aA.
Définition 20 Un anneau A est dit principal si tous les idéaux de A sont principaux.
Exemple 21 Z est un idéal principal. En effet si I est un idéal de Z c’est un sous-groupe de (Z, +) donc on a I = nZ.
Définition 22 On dit qu’un polynôme est unitaire s’il est non nul et si son cœfficient de plus haut degré est égal à 1.
Lemme 23 Division euclidienne. Soit A, B ∈ K [X] avec B 6= 0. Il existe un unique couple (Q, R) (Q étant
unitaire) de polynômes de K [X] tel que :
A = BQ + R avec deg(R) < deg(B)
On dit que Q est le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B (Si R = 0 on a par convention
deg(R) = −∞ ).
Proposition 24 L’anneauK [X] est un anneau principal.
Démonstration. Soit I un idéal de K [X], Notons d le plus petit degré atteint par les polynômes non nuls de I,
c’est à dire
d = min {deg (P ) , P ∈ I, P 6= 0}
et soit D ∈ I tel que deg (D) = d. On va montrer que I = DK [X] donc que I est principal, ce qui conclura la preuve.
Tout d’abord comme D ∈ I on a DK [X] ⊂ I.
Soit P un polynôme de I, effectuons la division euclidienne de P par D il existe donc Q et R tel que
P = DQ + R avec deg(R) < deg(D)
comme P ∈ I et DQ ∈ I on a P − DQ ∈ I (c’est un groupe) et donc R ∈ I et deg(R) < d. Comme d est le degré
minimal des éléments non-nuls de I, on a forcément R = 0 et donc P = DQ et donc P ∈ DK [X]. Finalement
I ⊂ DK [X].
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Intersection et sommes d’idéaux
Proposition 25 Soit (A, +, ×) un anneau commutatif . Soient I et J deux idéaux de A.
I ∩ J est un idéal de A
I + J est un idéal de A
Démonstration. On sait que I ∩ J et I + J sont des sous-groupes de (A, +) donc il suffit de vérifier la deuxième
condition.
Soit a ∈ A et soit x ∈ I ∩ J alors ax ∈ I (car x ∈ I) et ax ∈ J (car x ∈ J) donc ax ∈ I ∩ J.
Soit y ∈ I + J, alors il existe i ∈ I et j ∈ J tel que y = i + j donc ay = a (i + j) = ai + aj ∈ I + J.