L2 EEA MECA GC : Energie Electrique

Université paul Sabatier
L2 EEA MECA GC : Energie Electrique
1
Aide mémoire régime sinusoïdal
1
Représentation des grandeurs sinusoïdales
Une grandeur sinusoïdale est caractérisée par sa valeur efficace, sa phase à l’origine
θ et sa pulsation ω. En régime sinusoïdal forcé la pulsation est identique pour toutes
les grandeurs sinusoïdales. Une tension sinusoïdale ou une intensité sinusoïdale est donc
caractérisée par deux nombres : sa valeur efficace et sa phase.
Une tension sinusoïdale u(t) s’écrira :
√
u(t) = U 2 cos (ωt + θu )
√
— L’amplitude Um = U 2 est la valeur maximale de la tension. Elle est toujours
positive et s’exprime en V.
— La valeur U est la valeur efficace de la tension. Elle est toujours positive et s’exprime
en V.
— La pulsation ω est équivalente à une vitesse angulaire. Elle s’exprime en rad/s. La
ω
période est T = 2π
et la fréquence est f = T1 = 2π
.
ω
— La phase est un angle qui s’exprime en rad. A l’origine des temps, la phase est θu .
1.1
Valeur efficace
La valeur efficace U d’une tension sinusoïdale est la valeur de la tension continue qui
provoquerait une même dissipation de puissance moyenne dans une résistance pure
que la tension sinusoïdale appliquée aux bornes de la résistance.
Um
U=√
2
La valeur efficace I de l’intensité d’un courant sinusoïdal est la valeur de l’intensité du
courant continu qui provoquerait une même dissipation de puissance moyenne dans
une résistance pure que l’intensité du courant sinusoïdal qui traverse la résistance.
Im
I=√
2
2
1.2
Représentation des grandeurs sinusoïdales en fonction du temps
Exemple : deux tensions sinusoïdales de même pulsation ω = 100π caractérisées par
leurs valeurs efficaces et leurs phases à l’origine :
U1 = 220 V et θu1 = π3 rad et U2 = 110 V et θu2 = − π3 rad.
√
Amplitude : valeur maximale positive de la tension sinusoïdale Um = U 2
Exemple : Um1 = 311 V, Um2 = 155 V
u1 (t) = 311 cos 100πt +
u2 (t) = 155 cos 100πt −
π
V
3
π
V
3
Dans ces formules nulériques, il est indispensable de préciser les unités.
Période : T = 2π
ω
Exemple : T = 20 ms
Fréquence : f = T1 =
Exemple : f = 50 Hz
1.3
ω
2π
Représentation de Fresnel
→
−
→
→
Vecteur de Fresnel : U = U cos θu −
ex + U sin θu −
ey
3
1.4
Représentation par les complexes
√
Valeur complexe de la grandeur sinusoïdale x(t) = X 2 cos (ωt + θ) :
√
x(t) = X 2 exp (jωt)
X = X exp (jθ)
p
Xm = X (2) exp (jθ)
Il suffit de représenter la valeur efficace complexe X ou l’amplitude complexe Xm pour
décrire la grandeur sinusoïdale car la partie temporelle exp (jωt) est commune à toutes
les grandeurs sinusoïdales en régime sinusoïdal forcé.
Valeur complexe de la tension efficace :
U = U cos θu + jU sin θu = U exp (jθu )
Module : |U | = U
Argument : arg U = θu
Exemple :
π
U1 = 220ej 3
π
U2 = 110e−j 3
π
π
+ j220 sin = 110 + 191j (V)
3
3
π
π
= 110 cos − + j110 sin − = 55 − 95, 3j (V)
3
3
= 220 cos
4
1.5
Opérations sur les grandeurs sinusoïdales
Addition des vecteurs de Fresnel :
−
→
−
→ −
→
U = U1 + U2
U=
q
(U1 cos θu1 + U2 cos θu2 )2 + (Um1 sin θu1 + U2 sin θu2 )2
θu = arctan
U1 sin θu1 + U2 sin θu2
U1 cos θu1 + U2 cos θu2
Addition des valeurs complexes efficaces :
U = U1 + U2 = U1 cos θu1 + U2 cos θu2 + j (U1 sin θu1 + U2 sin θu2 )
5
U = |U|
θu = arg U = arctan
Im(U )
Re(U )
Exemple :
U = 165 + 95, 3j V
U = 190, 5 V
π
θu =
rad
6
2
2.1
Impédance et admittance d’un dipôle en régime sinusoïdal
Conventions de signe
— En convention de signe récepteur la puissance électrique moyenne consommée est
positive, celle fournie est négative.
— En convention de signe générateur la puissance électrique moyenne fournie est
positive, celle consommée est négative.
Pour les dipôles passifs qui fonctionne en récepteur, on utilise la convention de signe
récepteur (courant et tension sont opposés) :
Pour les dipôles actifs qui fonctionne en générateur, on utilise la convention de signe
générateur (courant et tension sont dans le même sens) :
6
2.2
Définition
Loi d’Ohm :
U =Z ·I
Z = R + jX est l’impédance complexe du dipôle. Sa partie réelle est équivalente à une
résistance R, et sa partie imaginaire X est appelée réactance. Y = Z1 est l’admittance
complexe du dipôle.
U
I
I
=
U
Z =
Y
En posant :
I = I exp (jθi )
U = U exp (jθu )
ϕ = θu − θi
ϕ représente le déphasage de la tension u(t) par rapport à l’intensité i(t).
U
exp (jϕ) = Z exp (jϕ) = Z (cos ϕ + j cos ϕ)
I
I
Y =
exp (−jϕ) = Y exp (−jϕ)
U
→
−
→
→
→
→
Vecteur de Fresnel : Z = Z cos ϕ−
ex + Z sin ϕ−
ey = R−
ex + X −
ey
Z =
Représentation complexe :
Z
R
X
Z
=
=
=
=
R + jX
Z cos ϕ
Z sin ϕ
√
R2 + X 2
ϕ = arg(Z) = arctan
7
X
R
2.3
Unités
L’impédance Z, la résistance R = Z cos ϕ et la réactance X = Z sin ϕ s’expriment en
Ohms (Ω). L’admittance Y , la conductance G = R1 s’expriment en Siemens (S)
2.4
Impédances de R, L et C
Tout dipôle peu être modélisé par une association de plusieurs dipôles idéaux : résistance pure, inductance pure et capacité pure.
Dipôle
Résistance R
Inductance L
Capacité C
2.5
Z
R
jLω
1
jCω
Z = |Z| ϕ = arg(Z)
R
0
π
Lω
2
1
π
−
Cω
2
Y
G=
1
jLω
1
R
Y = |Y |
G = R1
jCω
1
Lω
Cω
Déphasage
ϕ = θu − θi = arg(Z)
— ϕ = 0 : dipôle résistif, i(t) et u(t) sont en phase.
— 0 < ϕ < π2 : dipôle inductif, u(t) en avance par rapport à i(t). La réactance X > 0.
— − π2 < ϕ < 0 : dipôle capacitif , u(t) en retard par rapport à i(t). La réactance
X < 0.
2.6
2.6.1
Association d’impédances
Série
Z = Z1 + Z2 + . . . + Zn
2.6.2
Parallèle
Y = Y 1 + Y2 + ...+ Yn
2.6.3
Exemple : R + L + C (RLC série)
1
1
Z = R + jLω +
= R + j Lω −
jCω
Cω
s
2
1
2
Z =
R + j Lω −
Cω
Lω −
tan ϕ =
R
ϕ = arctan
1
Cω
Lω −
R
1
Cω
8
car R > 0
3
Puissance en régime sinusoïdal permanent
3.1
Puissance active
C’est la puissance moyenne consommée dans un dipôle. Elle s’exprime en W.
P = UI cos ϕ
cos ϕ est le facteur de puissance du dipôle.
3.2
Energie électrique
Elle s’exprime en wattheure (W.h) ou kilowattheure (k.W.h) : 1 W.h = 3600 J.
Au cours d’une durée de fonctionnement d’un récepteur très grande devant la période
de la tension et de l’intensité du courant, l’énergie consommée est égale au produit de la
puissance moyenne consommée par la durée de fonctionnement :
E = P ∆t
si P est constant.
3.3
Puissance apparente
C’est le produit des valeurs efficaces du courant et de la tension . Elle s’exprime en
Volt Ampère (V.A.).
S = UI
3.4
Puissance réactive
Elle s’exprime en Volt Ampère Réactif (V.A.R.).
Q = UI sin ϕ
9
3.5
Puissance apparente complexe
S = S exp(jϕ) = P + jQ
3.6
Relations entre les puissances
S 2 = P 2 + Q2
Dans le cas de plusieurs dipôles récepteurs, les puissances actives et réactives sont
conservatives :
Ptot =
X
Pi
i
Qtot =
X
Qi
i
3.7
Facteur de puissance
P
P
=
= cos ϕ
UI
S
facteur de puissance est toujours compris entre 0 et 1.
ϕ = 0 alors Q = 0 et P = S = UI . Le dipôle est purement résistif.
ϕ = ± π2 alors P = 0. Le dipôle est purement réactif.
ϕ > 0 alors Q > 0. Le dipôle est inductif, le facteur de puissance est arrière.
ϕ < 0 alors Q < 0. Le dipôle est capacitif, le facteur de puissance est avant.
F.P. =
Le
—
—
—
—
P
S
Q
sin ϕ =
S
Q
tan ϕ =
P
cos ϕ =
Pour un dipôle d’impédance Z = R + jX traversé par un courant d’intensité efficace
I sous une tension efficace U :
UR2
R
2
U
2
Q = XIX
= X
X
U2
S = ZI 2 =
Z
P = RIR2 =
10
durée 2h00
TD N◦ 1
durée 2h00
Puissance et énergie électriques en régime sinusoïdal
Exercice I : Puissance et énergie électrique
Le graphique ci-dessous donne la consommation électrique en France le 8 février 2016.
Les données correspondent au minimum de consommation à 4 h 30 du matin.
I.1. Evaluer l’énergie électrique consommée en France entre 9 h 00 et 12 h 00.
I.2. Evaluer approximativement l’énergie électrique consommée en France dans la journée
du 8 février 2016. Expliquez les variations horaires de la puissance électrique consommée.
I.3. Le graphique ci-dessous donne la puissance électrique produite en France le même
jour. Les données correspondent au minimum de consommation à 4 h 30 du matin.
11
Expliquez pourquoi certaines puissances sont négatives.
Comparer la puissance produite à celle consommée à 4 h 30 du matin. Expliquez la
différence observée.
Expliquez les fluctuations horaires observées pour certains mode de production d’énergie électrique.
Exercice II : Energie électrique exportée
Le graphique ci-dessous donne les puissances électriques importées et exportées en
France le 8 février 2016. Les données correspondent au minimum de consommation à 4 h
30 du matin.
12
II.1. Quelle convention de signe (récepteur ou générateur) a été choisie pour représenter
ces données ?
II.2. La liaison entre la France et l’Angleterre permet à la France d’exporter de l’énergie
électrique vers l’Angleterre. Cette liaison HVDC est longue de 73 km. La partie sousmarine, longue de 46 km, comporte quatre paires de câbles à ±270 kV posées entre Folkestone (Royaume-Uni) et Sangatte (France), chaque paire étant séparée de ses voisines
par un kilomètre environ.
Evaluer l’intensité du courant dans chaque cable le 8 février à 4 h 30 du matin.
II.3. Les cables sous en cuivre de section S = 900 mm2 . La résistance d’un fil est proportionnelle à sa longueur ℓ et inversement proportionnelle à sa section :
ℓ
σS
La conductivité du cuivre est égale à σ = 59, 6 × 106 S · m−1 . Calculer la résistance
d’un câble et la puissance perdue par effet Joule dans chaque câble.
II.4. En ne tenant compte que des pertes par effet Joule, calculer la puissance électrique
importée par l’Angleterre le 8 février à 4 h 30 du matin. Quelles sont les autres pertes à
prendre en compte ?
II.5 La première liaison HVDC a été construite en 1961 et fonctionnait sous une tension
de ±100 kV. Les pertes par effet Joule dans un câble sont elles identiques sous une tension
de ±100 kV et sous une tension de ±270 kV si la puissance exportée est la même ?
R=
Exercice III : Dipôle électriques
III.1. Les documents ci-dessous sont extraits de la documentation d’un fabriquant de
moteurs électriques.
13
La puissance nominale donnée par le constructeur correspond-elle à la puissance électrique consommée ou à la puissance utile c’est à dire à la puissance mécanique fournie
par le moteur ?
Le choix du type de moteur est-il limité si la puissance nominale de la ligne d’alimentation du moteur est de 1 kW ?
III.2. Le document ci-dessous est extrait de la documentation d’un fabriquant de lampes.
Il donne la correspondance entre les lampes à incandescence et les lampes à base de LED.
Ces lampes fonctionnent sur le secteur.
Déterminer pour chaque lampe l’intensité du courant qui la traverse sous la tension
nominale de 230 V. Calculer le coût de fonctionnement annuel d’une lampe à incandescence de 60 W sachant qu’elle est allumée 3 h par jour. Comparer à celle d’une LED de
même puissance lumineuse. Le prix du kWh est de 0,15 epour le tarif de base.
Exercice IV : Distribution de l’énergie électrique
Une petite entreprise est alimenté par son fournisseur d’énergie électrique sous une
tension de valeur efficace U = 400 V. Dans les périodes de plus forte consommation, elle
consomme une puissance active P = 15 kW avec un facteur de puissance cos ϕ = 0, 8 AR.
14
IV.1. Calculer le courant qui circule dans la ligne d’alimentation monophasé de l’installation.
IV.2. Calculer sa puissance apparente S.
IV.3. Calculer sa puissance réactive Q.
IV.4. A l’aide du tableau ci-dessous donnant l’intensité nominale pouvant circuler dans
une section de cable, calculer le diamètre du cable de la ligne d’alimentation.
IV.4. Le poste de distribution de EDF se trouve à une distance de 5 km. Calculer la
résistance du câble et la perte de puissance électrique par effet Joule dans le câble.
IV.5. Reprendre l’ensemble des questions avec U = 5 kV. P et cos ϕ = 0, 8 AR inchangés.
IV.6. Reprendre l’ensemble des questions avec cos ϕ = 0, 9 AR, U = 400 V et P inchangée.
15
durée 2h00
TD N◦ 2
durée 2h00
Dipôles électriques en régime sinusoïdal permanent
Exercice I : Caractérisation d’un dipôle
constante
√Une source idéale de tension sinusoïdale e(t) de pulsation ω et d’amplitude
√
E 2 alimente un dipôle linéaire traversé
√ par un courant i(t) = I 2 cos (ωt) et dont
la tension à ses bornes est u(t) = U 2 cos (ωt + ϕ). L’intensité du courant électrique
est choisie comme origine des phases (θi = 0). On cherche à caractériser le dipôle en
effectuant un certain nombre de mesures qui permettront de le modéliser sous forme d’un
circuit équivalent composé d’une résistance R en série avec une réactance X. L’impédance
du dipôle s’écrit : Z = R + jX avec j 2 = −1 . La première manipulation consiste à
mesurer le courant efficace et la tension efficace à l’aide d’un voltmètre idéal de résistance
interne infinie et d’un ampèremètre idéal de résistance interne nulle. Les mesures donnent :
U = 220 V et I = 5 A.
Une deuxième mesure consiste à visualiser l’oscillogramme représentant le courant i(t)
et la tension u(t).
16
I.1 Déterminer la fréquence et la pulsation du courant i(t) et de la tension u(t).
I.2 Quel est le signe du déphasage ϕ de la tension u(t) par rapport à l’intensité i(t) ?
I.3 Déterminer la valeur algébrique du déphasage ϕ en degrés et en radians.
I.4 Calculer la valeur du module de l’impédance |Z|.
I.5 Exprimer la résistance R en fonction de U, I et ϕ. Calculer la valeur de R.
I.6 Exprimer la réactance X en fonction de U, I et ϕ. Calculer la valeur algébrique de
X.
Le dipôle d’impédance équivalente Z = R + jX peut être soit une bobine (inductance
en série avec une résistance) soit un condensateur en série avec une résistance de sorte que
la réactance X peut modéliser soit une inductance L soit un condensateur de capacité C.
I.7 Donner l’expression de L en fonction de X et ω dans le cas d’une inductance.
I.8 Donner l’expression de C en fonction de X et ω dans le cas d’un condensateur.
I.9 A partir des mesures, déterminer si, dans notre cas, la réactance est formée par une
capacité C ou par une inductance L, et calculer sa valeur.
I.10 Calculer les puissances active P , apparente S et reactive Q du dipôle.
Exercice II : Compensation de puissance
√
Une source idéale de tension sinusoïdale u(t) = U 2 cos (2πf t) alimente, en régime
sinusoïdal permanent, à la fréquence f = 50 Hz un dipôle constitué d’une inductance
L en série
√ avec une résistance R. L’intensité du courant qui traverse le dipôle est notée
i(t) = I 2 cos (2πf t − ϕ). La tension électrique est choisie comme origine des phases
(θu = 0). On effectue une mesure de puissance quand le dipôle est alimenté sous une
tension efficace U = 220 V. La puissance active mesurée est P = 8000 W et la puissance
réactive mesurée est Q = 6000 VAR.
II.1 Faire un schéma du montage
II.2 Calculer la valeur numérique de la puissance apparente S.
17
II.3 Calculer le facteur de puissance du dipôle. En déduire la valeur du déphasage ϕ de la
tension par rapport au courant.
II.4 Calculer la valeur numérique de I.
II.5 Déterminer la valeur de la résistance R et celle de la réactance X du dipôle. En
déduire la valeur de L.
Pour modifier le facteur de puissance du dipôle, on place un condensateur de capacité
C aux bornes du dipôle de tel sorte que la puissance réactive Q′ de l’ensemble soit nulle.
Dans ce cas la somme des puissance réactives du dipôle et du condensateur est nulle.
II.6 Calculer le nouveau facteur de puissance de l’ensemble dipôle et condensateur. En
déduire la valeur du déphasage ϕ de la tension par rapport au courant.
II.7 Calculer la nouvelle valeur du courant alimentant l’ensemble.
II.8 Calculer la valeur de la réacteur du condensateur et la valeur de sa capacité C.
II.9 Comparer la somme des courants traversant respectivement le dipôle et le condensateur au courant traversant l’ensemble.
II.10 Expliquer l’intérêt de minimiser la puissance réactive d’un dipôle.
18
durée 2h00
TD N◦ 3
durée 2h00
Méthode de Boucherot
Exercice I
Une installation, alimentée sous une tension de (230V , 50 Hz), comporte un ensemble
de radiateurs de puissance P1 = 5 kW, un moteur de puissance utile Pu = 3 kW, de
rendement η2 = 85%, de facteur de puissance F P2 = 0, 7 AR et un poste à soudure de
puissance électrique P3 = 4 kW et de facteur de puissance F P2 = 0, 6 AR.
I.1 Calculer la puissance électrique P2 absorbée par le moteur électrique.
I.2 Calculer la puissance active totale P lorsque tous les récepteurs sont en fonctionnement.
I.3 Calculer la puissance réactive totale Q lorsque tous les récepteurs sont en fonctionnement.
I.4 Calculer ensuite la puissance apparente totale S et en déduire le facteur de puissanceF P
de l’installation ainsi que le courant en ligne I.
I.5 On désire relever le facteur de puissance F P ′ à 0,93 AR. Calculer la valeur de la
capacité C du condensateur à brancher en parallèle sur cette installation.
I.6 Calculer l’intensité I ′ en ligne après le relèvement du facteur de puissance.
Exercice II
Un atelier est alimenté par une ligne monophasée (230 V, 50 Hz) . L’éclairage est
assuré par des tubes fluorescents branchés en parallèle entre la phase et le neutre.
II.1 En fonctionnement normal, chaque tube fluorescent consomme une puissance active
P1 = 60 W sous 230V, avec un facteur de puissance F P = 0, 85AR. Calculer la valeur
efficace de l’intensité du courant appelé par un ensemble de 24 tubes fluorescents. On
rappelle que les tubes fluorescents sont des récepteurs inductifs.
II.2 A l’allumage des tubes fluorescents, le facteur de puissance des tubes est beaucoup
plus faible, il vaut F P = 0, 30AR. Calculer l’intensité en ligne et la puissance réactive
absorbée au moment de l’allumage des tubes sur le réseau monophasé. (La puissance
active de chaque tube est inchangée, soit : 60 W sous 230 V)
II.3 Les machines de l’atelier sont entraînées par des moteurs asynchrones monophasées
à quatre pôles.
Chaque moteur a pour caractéristiques :
— tension 230V, fréquence 50 Hz, F P = 0, 78AR
— puissance utile : 5,4 kW à 1440 tr/min en régime nominal ; rendement 90%.
Calculer la valeur efficace de l’intensité du courant appelé en ligne par un moteur.
II.4 Calculer les puissances active et réactive absorbées par l’atelier quand 10 moteurs et
les 24 tubes fluorescents fonctionnent normalement.
II.5 En déduire l’intensité dans les lignes d’alimentation de l’atelier et le facteur de puissance de l’atelier.
19
Exercice III
L’ installation électrique d’une P.M.E. alimentée en monophasé (230 V, 50 Hz) comporte en parallèle :
— 2 fours électriques (chacune purement résistif) de 2 kW chacun
— 1 moteur à induction ayant une puissance utile de 4 kW, un rendement de 85 % et
un facteur de puissance de 0,8 AR
— 20 tubes fluorescents de puissance 60 W et de facteur de puissance 0,55 AR.
L’installation est alimentée par une ligne assimilable à inductance ℓ = 4 mH en série
avec une résistance r = 0, 3 Ω.
III.1 Faire un schéma de principe faisant intervenir la source, la ligne et les trois constituants de la charge ainsi que les grandeurs électriques significatives. UCH est la tension
aux bornes de l’installation et USO la tension aux bornes de la source.
III.2 UCH = 230 V Calculer la puissance active PCH absorbée par l’installation, la puissance réactive QCH de l’installation, la puissance apparente SCH de l’installation, le courant I qui alimente l’installation et le facteur de puissance F PCH de l’installation.
III.2 L’installation peut être modélisée par une seule impédance complexe Z CH = RCH +
jXCH . Calculer RCH et XCH .
III.3 Déterminer la perte de puissance active dans la ligne.
III.4 Calculer la chute de tension dans la ligne ULi
III.5 Calculer les puissances actives et réactives de la source.
III.6 Calculer la tension USO aux bornes de la source.
UCH reste inchangée, et on branche en parallèle de l’installation précédente, une batterie de condensateurs parfaits (capacité totale C) permettant de relever le facteur de
puissance de l’installation globale (installation + condensateurs) à 0,93 AR.
′
III.7 Calculer dans ce cas la puissance active PCH
absorbée par l’installation, la puissance
′
′
réactive QCH de l’installation, la puissance apparente SCH
de l’installation, le courant I ′
qui alimente l’installation.
III.8 Déterminer la nouvelle la tension efficace de la source.
III.9 En calculant la nouvelle puissance active perdue dans la ligne, monter l’intérêt de
relever le facteur de puissance d’une installation électrique.
20
TD N◦ 4
durée 2h00
Transformateur
Exercice I : Bobine à noyau de fer
Une bobine à noyau de fer peut être modélisée par une résistance r représentant la
résistance de l’enroulement, d’une inductance magnétisante Lµ et d’une résistance RF
représentant les pertes fer.
Pour caractériser la bobine , on effectue une première mesure en courant continu à
l’aide d’un ampèremètre et d’un voltmètre. La bobine est branchée à une source idéale de
tension continue et on relève les mesures suivantes :
— U = 19, 5 V
— I = 1, 50 A
Dans un second temps la bobine est alimentée par une tension sinusoïdale de fréquence
50 Hz et on mesure les puissances active et réactive de la bobine à l’aide d’un wattmètre.
On relève les mesures suivantes :
— U = 230 V
— P = 3, 8 W
— Q = 91, 2 VAR
I.1 A l’aide de l’essai en continu, déterminer la resistance r du bobinage.
I.2 A l’aide de l’essai en alternatif, déterminer la resistance RF et Lµ du modèle de la
bobine.
I.3 Déterminer le facteur de puissance de la bobine.
Exercice II : transformateur idéal
Un transformateur monophasé est supposé parfait. Il comporte 1600 spires au primaire
et 920 spires au secondaire. Le secondaire alimente un dipôle inductif de résistance R =
39, 8 Ω et d’impédance Z = 53 Ω sous une tension secondaire efficace V2 = 230 V.
21
II.1 Calculer la tension efficace V1 au primaire.
II.2 Calculer la l’intensité efficace I2 au secondaire.
II.3 Calculer la l’intensité efficace I1 au primaire.
II.4 Déterminer la puissance apparente S du transformateur.
II.5 Calculer le facteur de puissance de la charge secondaire cos ϕ2 . Comparer ce résultat
avec R
.
Z
II.5 Déterminer la puissance active absorbée P2 par la charge.
Exercice III : transformateur réel
Un transformateur (220 V/ 44 V, 50 Hz) est modélisé par le modèle de la figure cidessous. On rajoute au transformateur idéal des dipôles élémentaires au transformateur
idéal :
— une inductance magnétisante Lµ au primaire
et ses défauts :
— une résistance RF modélisant les pertes fer placée au primaire,
— une résistance r placée au secondaire modélisant les pertes par effet Joule totale.
— une inductance de fuite ℓF placée au secondaire.
Le transformateur alimente une charge résistive modélisée par une resistance R2 .
Afin de caractériser le transformateur réel, on réalise deux essais à vide et en courtcircuit à puissances réduites.
A vide :
— V10 = V1N = 220 V
— P10 = 80 W
— I10 = 1, 0 A
En court-circuit :
— V1CC = 40 V
— P1CC = 250 W
— I2CC = 100 A
III.1 Déterminer le rapport de transformation de tension m et le nombre de spires au
secondaire, si l’on en compte 500 au primaire.
III.2 Déterminer RF et Lµ à l’aide des mesures de l’essai à vide.
III.3 Vérifier que l’on peut négliger les pertes fer dans l’essai en court-circuit.
22
III.4 Déduire des mesures en court-circuit les valeurs de r et ℓf . Le transformateur, alimenté au primaire sous sa tension nominale, débite 100 A au secondaire avec un facteur
de puissance égal à 0,9 AR.
III.5 Déterminer la tension secondaire V2 du transformateur. En déduire la puissance P2
délivrée à la charge au secondaire.
III.6 Déterminer la puissance P1 absorbée au primaire (au préalable calculer les pertes
globales). En déduire le facteur de puissance F P1 au primaire et le rendement η.
23
TD N◦ 5
durée 1h00
Réseau en triphasé équilibré
Exercice I : Trois résistances en étoile
Trois résistances identiques R = 50 Ω sont couplées en étoile et raccordées sous (230
V 400 V) sans neutre.
I.1 Calculer le courant efficace JC qui circule dans chacune des résistances.
I.2 Calculer le courant efficace I qui circule dans chaque ligne.
I.3 Calculer La tension efficace VC aux bornes de chaque résistance.
I.4 Calculer la puissance totale PC consommée par les trois résistances.
I.5 Un court circuit a lieu sur la phase 3 (la résistance de reliée à la phase 3 est devient
nulle). Calculer les courants efficaces dans chaque ligne.
I.6 Les trois résistances sont de nouveau en étoile et la phase 3 est coupée. Calculer les
valeurs des courants de ligne.
Exercice II : Trois résistances en triangle
Trois résistances identiques R = 75 Ω sont couplées en triangle et raccordées sous (230
V / 400 V). Calculer :
II.1 La tension efficace VC aux bornes de chaque résistance.
II.2 Le courant efficace JC qui circule dans chacune des résistances.
II.3 Le courant efficace I circulant dans chaque ligne et la puissance totale PC consommée
par les trois résistances.
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25
1
Cω
q
1
Y
1
Y
C // L // R
C // L
1
Y
1
Y
1
Y
1
Y
R // C
1
Y
R2 + Lω −
R // L
R + j Lω −
1
R + jCω
1
j Lω − Cω
R + jLω
1
1
jCω
1 2
Cω
√ jCω
R2 + L2 ω 2
q
R2 + C 21ω2
1
|Lω − Cω
|
Z
R
Lω
Z
R
jLω
1
Y
R+L +C
R+C
C+L
Dipôle
R
L
C
R+L
1
R
+ j Cω −
1
Lω
+ jCω
+
1
jLω
j Cω −
1
R
1
R
1
Z
1
Z
1
Z
1
Lω
q
1
R2
1
R2
1
R2
1
L2 ω 2
+ Cω −
1
|
Lω
1 2
Lω
+ C 2ω2
+
|Cω −
q
q
1
Z
1
√
R2 +L2 ω 2
1
Z
1
Z
1
R
Cω
1
Lω
Y
G=
1
R+jLω
1
R
jCω
1
jLω
Y
G=
tan ϕ = R
1
Lω
± π2
R
Lω
− Cω
tan ϕ = −RCω
tan ϕ =
tan ϕ =
1
Lω− Cω
R
Lω
R
1
tan ϕ = − RLω
± π2
tan ϕ =
π
2
− π2
ϕ
0