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Résolution de problèmes du premier degré
I.
Ensembles de nombres et notations
A. Les différents ensembles de nombres
1. L’ensemble des réels
L’ensemble de tous les nombres que nous utilisons s’appelle l’ensemble des nombres réels.
Il est noté R.
On peut représenter chaque nombre réel par un point d’une droite graduée.
2. Des réels particuliers
Définitions
 N est l’ensemble des nombres entiers positifs : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;…
Les nombres entiers positifs sont appelés entiers naturels.
 Z est l’ensemble des nombres entiers positifs ou négatifs : … ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ;…
Les entiers positifs ou négatifs sont appelés entiers relatifs.
 Q est l’ensemble des quotients d’entiers, c’est-à-dire les nombres , avec a entier et b entier non nul.
Par exemple :
;-
;
; .
Les quotients d’entiers sont appelés nombres rationnels.


3. Des inclusions
Chaque entier naturel est évidemment un entier relatif.
On écrit N  Z.
Cela se lit « N inclus dans Z »
Chaque entier relatif est aussi un quotient d’entiers.
En effet, par exemple, – 25 = –
et plus généralement, tout entier relatif peut être écrit sous la forme
d’un quotient d’entiers, le dénominateur étant égal à 1.
On écrit donc Z  Q

On peut regrouper les inclusions précédentes sous la forme N  Z  Q  R
Il existe des réels qui ne sont pas des rationnels, par exemple : √ ;
irrationnels.
. On dit que ce sont des
4. L’ensemble D des décimaux
Rappel : Un nombre décimal est un nombre qui a un nombre fini de chiffres après la virgule ou aucun
chiffre après la virgule (dans ce cas, c’est un entier relatif). L’ensemble des nombres décimaux est noté D.
Exemples :

–

0,125 est un décimal car ce nombre s’écrit avec trois chiffres après la virgule.

= – 4,2 est un nombre décimal car il n’y a qu’un chiffre après la virgule.
n’est pas un décimal. En effet, = 0,3333333… Cette division ne s’arrête jamais.
Propriété
Tout décimal peut s’écrire comme un quotient d’entiers dont le dénominateur est une puissance de 10.
Exemples :
7,2 =
2,75 =
0,125 =
=
On a donc Z  D  Q.
On peut représenter ces inclusions par le diagramme :
B. Appartenance
Pour traduire le fait que x est un élément de l’ensemble A, on écrit x  A ; on lit « x appartient à A »
Exemples : 3  N ; – 5  Z ;  Q
Exercices : n°4 p 350 – n°5-1 p 350
Pour reprendre contact n°1 – 2 – 3 – 4 p 81
II.
Equations du premier degré
A. Egalité pour tout et équation
1.Egalité pour tout
Activité 1 p 82
Un nombre possède plusieurs écritures. Par exemple, 0,5 ;
; ;
sont différentes écritures d’un même
nombre. De même, plusieurs expressions algébriques peuvent être égales.
Définition
Quelle que soit la valeur pour laquelle on remplace x dans les expressions ( – 3)( + 1) – 5 ;
( – 4)( + 2) on obtient le même résultat.
On écrit : pour tout réel , ( – 3)( + 1) – 5 =
– 2 – 8 = ( – 4)( + 2)
Exemple : n°1 p 85
Exercice : 21 p 93
2.Equation
Les expressions 2 – 1 et ² – 4 ne sont pas égales pour tout réel x.
Par exemple, pour x = 0, 2 – 1 prend la valeur (– 1) et ² – 4 la valeur (– 4).
En revanche, pour x = 3, on a 2 – 1 = 2 3 – 1 = 5 et ² – 4 = 3² – 4 = 5
Quand x prend la valeur 3, on a bien l’égalité 2 – 1 = ² – 4 :
On dit que 3 est solution de l’équation 2 – 1 = ² – 4.
Résoudre une équation c’est chercher toutes les solutions de cette équation.
–2 –8;
B. Résolution d’équations
Pour résoudre un problème, on essaie de lui associer une équation. La résolution du problème se ramène
alors à la résolution de l’équation.
Exemple : résoudre l’équation 2( + 3) – 4 5 – 1
L’équation
2( + 3) – 4 5 – 1
On développe le 1er membre.
équivaut à
2 +2 5 –1
On soustrait 5 à chaque membre.
équivaut à
2 –5 +2 –1
On réduit le 1er membre.
équivaut à
–3 +2 –1
On soustrait 2 à chaque membre.
équivaut à
–3
–3
On divise par – 3 chaque membre.
équivaut à
1
Cette équation a pour seule solution 1.
Exercices : n°67 – 68 – 69 – 71 p 96
DM : n°72 – 73 – 74 p 96
Inéquations du premier degré (p 143 – 105)
A. Intervalles
On ne peut pas écrire la liste de tous les nombres réels tels que
. Au collège, on représentait ces
nombres sur une droite graduée, par un trait sans lever le crayon de la feuille. Ces nombres forment un
intervalle.
III.
Définitions
L’intervalle fermé [a ; b] désigne l’ensemble de L’intervalle ouvert ]a ; b[ désigne l’ensemble de
tous les nombres tels que
tous les nombres tels que
L’intervalle semi-ouvert [a ; b[ désigne l’ensemble L’intervalle semi-ouvert ]a ; b] désigne l’ensemble
de tous les nombres tels que
de tous les nombres tels que
L’intervalle illimité [a ;
[ désigne l’ensemble de L’intervalle illimité [
; b] désigne l’ensemble
tous les nombres tels que
de tous les nombres tels que
Exemples :
 [0 ; 4] désigne l’ensemble de tous les nombres
tels que
appartiennent à cet intervalle.
 ] – 1 ;5] désigne l’ensemble de tous les nombres tels que
pas à cet intervalle. 5 appartient à cet intervalle.
 [0 ;
[ désigne l’ensemble de tous les nombres tels que
positifs.
 ]
;0] désigne l’ensemble de tous les nombres tels que
négatifs.
. Les nombres 0 et 4
. Le nombre – 1 n’appartient
, c’est-à-dire tous les nombres
, c’est-à-dire tous les nombres
Exercices : n°1 – 2 – 3 p 348
B. Résolution d’inéquations
Deux inéquations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions.
Propriété
Pour transformer une inéquation en une inéquation équivalente, on peut
 Développer, factoriser, réduire certains termes.
 Ajouter ou soustraire un même terme à chaque membre de l’inéquation.
 Multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre non nul
 sans changer le signe de l’inégalité si ce nombre est positif.
 en changeant le signe de l’inégalité si ce nombre est négatif.
Exemple
(
)



On développe.
On soustrait .
On soustrait 6.

On divise par – 3 donc on change le signe.

L’ensemble des solutions est ]
]
Exercices : n°33 – 34 – 35 p 143
DM : Vrai ou faux