Chapitre 12 : Fluctuation et estimation

Chapitre 12 : Fluctuation et estimation
QCM Pour bien commencer
(cf. p. 426 du manuel)
Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses.
Exercice n°1
Dans un lycée, 80 élèves sur 1 600 fréquentent régulièrement le centre de ressources. On appelle X la
variable aléatoire qui à tout groupe composé de 20 élèves de ce lycée (choisis au hasard) associe le
nombre d’élèves qui fréquentent régulièrement ce centre.
a. La variable aléatoire X suit une loi binomiale ℬ(n ; p) telle que :
A n = 20 et p = 0,05.
B n = 20 et p = 0,25.
C n = 80 et p = 0,05.
D n = 80 et p = 0,0125.
Réponse juste : A.
Tout groupe « étudié » est composé de 20 élèves donc n = 20. On s’intéresse pour chaque groupe
composé de n (= 20) élèves, au nombre d’élèves qui fréquentent le centre de ressources.
Or la proportion p dans le lycée de tels élèves est p =
80
= 0,05.
1600
Par conséquent, X suit la loi ℬ (20 ; 0,05).
b. Le proviseur souhaiterait connaître davantage les besoins des élèves qui fréquentent ce centre. Il
rencontre 20 élèves dans la cour de récréation. La probabilité (arrondie au centième) que ce groupe de
20 élèves soit composé d’au plus deux élèves fréquentant ce centre est égale à :
A 0,36.
B 0,72.
C 0,19.
D 0,92.
Réponse juste : D.
La probabilité demandée est P(X ≤ 2) où X suit la loi ℬ(20 ;0,05).
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
 20  0
 20  1
 20  2
20
19
18
 × p × (1 − p ) +   p × (1 − p ) +   p × (1 − p )
0 
1 
2 
=
= (1 − p ) 20 + 20 p × (1 − p )19 + 190 p 2 × (1 − p )18 ≈ 0,92.
Exercice n°2
X désigne une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p.
Dans un tableur, on a saisi la formule suivante :
a. Cette formule renvoie une valeur approchée de la probabilité de l’événement :
A {X = 4}
B {X ≥ 4}
C {X ≤ 4}
D {X < 4}.
Réponse juste : C.
« VRAI » signifie que les « probabilités » sont cumulées. Autrement dit, la probabilité (valeur
approchée) souhaitée est égale à :
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = P(X ≤ 4).
b. Les paramètres n et p sont tels que :
A n = 50 et p = 4.
B n = 4 et p = 0,2.
C n = 50 et p = 0,2.
D n = 54 et p = 0,2.
Réponse juste : C.
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Exercice n°3
On considère une variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,42.
a. Le plus petit entier a tel que P(X ≤ a) > 0,025 est :
A 5.
B 6.
C 7.
D 8.
Réponse juste : C.
P(X ≤ 6) ≈ 0,009 859.
P(X ≤ 7) ≈ 0,026 85.
D’où a = 7.
b. Le plus petit entier b tel que P(X ≤ b) ≥ 0,975 est :
A 16.
B 17.
C 18.
D 19.
Réponse juste : C.
P(X ≤ 17) ≈ 0,964 2.
P(X ≤ 18) ≈ 0,984 9.
D’où b = 18.
c. La probabilité que la variable aléatoire X prenne ses valeurs dans l’intervalle [7 ; 19] est :
A strictement inférieure à 0,95.
B supérieure à 0,95.
C inférieure à 0,98.
D supérieure à 0,98.
Réponses justes : B et D.
P(7 ≤ X ≤ 19) = P(X ≤ 19) – P(X ≤ 6) ≈ 0,984 5.
Remarque
P(7 ≤ X ≤ 19) = P(X = 19) + P(a ≤ X ≤ b)
= P(X = 19) + P(7 ≤ X ≤ 18)
X 18 
 7
≤
≤  ≥ 0,95.
 30 30 30 
≥ P(7 ≤ X ≤ 18) = P 
7
18 
L’intervalle  ;  est l’intervalle de fluctuation déterminé à l’aide de la loi binomiale et étudié
 30 30 
en 1ère. Par propriété, la probabilité que la variable aléatoire F =
X
prenne ses valeurs dans cet
n
intervalle est supérieure ou égale à 0,95.
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Exercice n°4
On dispose d’un dé classique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
a. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % (déterminé à l’aide d’une loi binomiale) de la fréquence
d’apparition de la face numérotée 6 sur un échantillon de taille 50 est :
 6 14 
A  ; .
 50 50 
 4 14 
B  ; .
 50 50 
 4 13 
C  ; .
 50 50 
 6 13 
D  ; .
 50 50 
Réponse juste : B.
X désigne la variable aléatoire qui à 50 lancers d’un dé classique dont les faces sont numérotées de 1 à
6, associe le nombre d’apparitions de la face numérotée 6. X suit la loi ℬ (50 ;
Le plus petit entier a tel que P(X ≤ a) > 0,025 est a = 4.
(P(X ≤ 3) ≈ 0,0238 ; P(X ≤ 4) ≈ 0,0643)
Le plus petit entier b tel que P(X ≥ b) ≥ 0,975 est b = 14.
(P(X ≤ 13) ≈ 0,969 ; P(X ≤ 14) ≈ 0,98)
a
1
).
6
b
Par conséquent, l’intervalle est  ;  .
 50 50 
b. Sur 50 lancers de ce dé, Timothée dit que la face numérotée 6 est apparue 16 fois. Il affirme alors
que « le dé n’est pas équilibré ».
À l’aide de l’intervalle de fluctuation (question a), on peut considérer que son affirmation est :
A inexacte.
B exacte avec un risque d’erreur de 5 %.
C exacte.
D inexacte avec un risque d’erreur de 5 %.
Réponse juste : B.
La fréquence observée sur son échantillon est f =
16
.
50
La fréquence observée n’appartenant pas à l’intervalle de fluctuation déterminé à la question
précédente, on en conclut que : « son affirmation est exacte avec un risque d’erreur de 5% ».
c. En relançant 50 fois ce dé, le frère de Timothée obtient 8 fois la face numérotée 6. Il affirme à partir
de ces 50 lancers que « le dé est bien équilibré ».
On peut considérer que son affirmation est :
A exacte avec un risque d’erreur non évalué.
B exacte avec un risque d’erreur de 5 %.
C inexacte avec un risque d’erreur de 5 %.
D inexacte avec un risque d’erreur non évalué.
Réponse juste : A.
La fréquence observée sur cet échantillon est f =
8
.
50
La fréquence observée appartenant à l’intervalle de fluctuation déterminé à la question a, on en
conclut que : « son affirmation est exacte avec un risque d’erreur non évalué ».
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Exercice n°5
Dans un lycée, 25 % des 175 élèves inscrits en Terminale fréquentent le centre de documentation et
d’information. D’après le diagramme en bâtons ci-dessous, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %
de la fréquence du nombre d’élèves de Terminale de ce lycée qui fréquentent le CDI dans un
échantillon de taille 10, déterminé à l’aide de la loi binomiale, est :
A [0 ; 0,5].
B [0,1 ; 0,5].
C [0 ; 0,4].
D [0,1 ; 0,4].
Réponse juste : A.
X désigne la variable aléatoire qui à tout groupe de 10 élèves inscrits en Terminale dans ce lycée
associe le nombre d’élèves qui fréquentent le CDI ; X suit la loi ℬ(10 ; 0,25).
Par lecture graphique :
Le plus petit entier a tel que P(X ≤ a) > 0,025 est a = 0.
a

b 0
5
P(X = 0) ≈ 0,055. L’intervalle est  ; ??  = [ 0 ; ??] .
10

Les propositions A et C sont ainsi les deux qui peuvent être correctes.
Le plus petit entier b tel que P(X ≥ b) ≥ 0,975 est b = 5.
P(X ≤ 4) ≈ 0,915 < 0,975.
P(X ≤ 5) ≈ 0,975 (avec la précision permise par le graphique).
a
Ainsi, l’intervalle est  ;  =  ;  .
10 10  10 10 
La proposition C est donc fausse ; la A est juste.
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