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les notes de séminaires de l’année passée sont
reportées
1
essayons d’appliquer ce que nous savons
2
Grande aiguille, petite aiguille. Quel angle forment les aiguilles d'une montre à 7h38?
petite aiguille : mouvement circulaire uniforme
grande aiguille : mouvement circulaire uniforme
période de la petite aiguille : T = 12 heures
période de la grande aiguille : T = 1 heure
en radians en degrés 3
Il manque quelque chose????
Qui n’est pas dit dans l’énoncé angle en degrés
mais qui est implicite
“après un tour les angles recommencent à 0”
temps en heures
4
mais Modulo 360
Grande aiguille, petite aiguille. Quel angle forment les aiguilles d'une angle=219-­‐218=1°
montre à 7h38?
entre 7h et 8h quelles sont les équations?
5
Deux tuyaux.
Un homme rempli d'eau deux bidons avec deux tuyaux.
Le premier tuyau débite de l'eau à 2.9 litres par minute, le second à
8.7 litres par minute.
Lorsque le plus petit des bidons est à moitié plein, il permute les
tuyaux.
Il continue à remplir et les deux bidons sont remplis au même instant.
Quel est le volume du grand bidon si le volume du petit est de
12.6 litres?
Le scénario en mathématiques
6
Maintenant il faut résoudre avec des inconnues : VTotg , T, T1/2, habilité mathématique ...
7
symétrique entre D1 et D2 donc l’ordre n’a pas d’importance !
8
9
plus classique
un chien courant à 10 m s-1
est 30 m derrière
un lapin qui s’enfuit à la vitesse de 5 m s-1.
Quand le chien attrapera-t-il le lapin?
30 m
10
plus classique
Un avion A, volant à 500 m s-1, se trouve 10.000 m derrière un
avion B qui se déplace à 400 m s-1 dans la même direction.
Le pilote de l’avion A tire un missile qui a une accélération de 100 m s-2.
Combien de temps faudra-t-il au missile pour atteindre l’avion B?
10.000 m
11
chute
Un saumon saute verticalement hors de l’eau, avec une vitesse de 6 ms-1
a) quelle hauteur atteindra-t-il?
b) pendant combien de temps le saumon sera-t-il hors de l’eau?
z
rien n’est précisé
donc l’instant initial
peut être choisi arbitrairement
x
12
Un saumon saute verticalement hors de l’eau, avec une vitesse de 6 ms-1
a) quelle hauteur atteindra-t-il?
b) pendant combien de temps le saumon sera-t-il hors de l’eau?
13
Graphiquement
z (hauteur)
Vz (vitesse selon la hauteur)
temps
temps
14
Un saumon saute verticalement hors de l’eau, avec une vitesse de 6 ms-1
a) quelle hauteur atteindra-t-il?
b) pendant combien de temps le saumon sera-t-il hors de l’eau?
15
chute à deux dimensions
On sert une balle de tennis horizontalement à une hauteur de 2.40m. Le service s’effectue à
12m du filet. Celui-ci a une hauteur de 0.9m.
a) si la balle passe au moins à 0.2m au-dessus du filet, quelle était sa vitesse initiale minimum?
b) où retombera-t-elle?
z
(0,H)
v
H
(D,h)
h
D
x
16
b) où retombera-t-elle?
17
Mouvement en coordonnées cylindriques
mouvement selon une direction:
Oz
combiné avec un mouvement plan
perpendiculaire à cette direction
nt dans l’espace en coordonnées cylindriqu
Ceci
est
du
texte
On décrit le mouvement dans le plan en4.2.
coordonnées
ρ,enφcoordonnées cylindriques
Mouvement polaires:
dans l’espace
ont souvent
utilisées
lorsqu’on a une translation le long d’un axe
Ceci est
du texte
ec un mouvement plan, perpendiculaire à Oz , que l’on a choisi
On définit trois vecteurs unitaires:
u
ˆ
,
u
ˆ
,
k̂
⇢
s ⇢, '.uˆOn
ainsi de trois vecteurs unitaires : û⇢ , û' , k̂,
, k̂
⇢ , uˆdispose
!
!
! OM
=
~
r
=
⇢û
+
z k̂,
⇢
!
OM = r = ⇢uˆ⇢ + OM
z k̂
=
8
< x = ⇢ cos '
y = ⇢ sin '
~r =
:
z
Oı̂ˆ⌘ k̂
ylindriques ⇢, ', z admettent
domaines
de l’espace
variation,
Figure comme
4.3 – Coordonnées
cylindriques pour
euclidien. Notez
18
8
< x = ⇢ cos '
y = ⇢ sin '
~r =
:
z
Oı̂ˆ⌘ k̂
Mouvement en coordonnées cylindriques
Les coordonnées
cylindriques⇢,admettent
commecomme
domainedomaines
de variation:
Les coordonnées
cylindriques
', z admettent
de variation,
!
kOM k = ⇢ = (x2 + y 2 )1/2 2 [0, +1[
y
(Ox, O↵) = ' = arctan
2 [0, 2⇡[
x
ON
= z en 2
] 1, +1[
4.2. Mouvement dans
l’espace
coordonnées
cylindriques
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
43
19
Mouvement en coordonnées cylindriques
dans l’espace en coordonnées cylindriques
43
Les lignes de coordonnées sont obtenues en fixant deux des coordonnées (ρ, φ, z) et en faisant
varier la troisième.
es de coordonnées sont obtenues en fixant deu
la troisième.
ρ varie , φ= constante, z = constante
' = cste, z = cste} :
On obtient une demi-droite parallèle au
plan
ne demi-droite parallèle au plan (O,ı̂,ˆ⌘) de côte
de cote z
, ⇢ = cste, z = cste} :
n cercle d’axe Oz , de côte z, de rayon ⇢.
⇢ = cste, ' = cste} :
ne droite parallèle à Oz , passant par (⇢ cos ', ⇢ s
oordonnées cylindriques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de
aces de coordonnées sont obtenues en fixant une
ux autres
20
Mouvement en coordonnées cylindriques
dans l’espace en coordonnées cylindriques
43
Les lignes de coordonnées sont obtenues en fixant deux des coordonnées (ρ, φ, z) et en faisant
varier la troisième.
ρ constante , φ= varie, z = constante
On obtient un cercle d’axe Oz, de cote z et
de rayon ρ
oordonnées cylindriques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de
21
Mouvement en coordonnées cylindriques
dans l’espace en coordonnées cylindriques
43
Les lignes de coordonnées sont obtenues en fixant deux des coordonnées (ρ, φ, z) et en faisant
varier la troisième.
ρ constante , φ= constante , z = varie
On obtient une droite parallèle à Oz
passant par ρ cos(φ), ρ sin(φ)
oordonnées cylindriques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de
22
Mouvement
en
coordonnées
cylindriques
l’espace en coordonnées cylindriques
43
Les surfaces de coordonnées sont obtenues en fixant une des coordonnées (ρ, φ, z) et en faisant
varier les deux autres.
ρ constante ,
On obtient un cylindre d’axe Oz,
perpendiculaire aux lignes de coordonnées
ρ
φ= constante ,
On obtient un demi-plan méridien
perpendiculaire aux lignes de cordonnées φ
z = constante
On obtient un plan parallèle à (O, i, j), de
côte z et perpendiculaire aux lignes de
coordonnées z.
nnées cylindriques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de
23
Ceci est du texte
Mouvement en coordonnées
cylindriques
u
ˆ
,
u
ˆ
,
⇢
uˆ , uˆ , k̂ k̂
Les vecteurs
uˆ⇢ , uˆ , k̂
⇢
sont tangents aux lignes de coordonnées et perpendiculaires aux
! !
!
!
OM
=
r
=
⇢
u
ˆ
+
z
k̂
l’espace en coordonnées cylindriques
43
⇢
OM
=
r
=
⇢
u
ˆ
+
z
k̂
! Ils !
surfaces de coordonnées.
sont dirigés dans le sens croissant de ρ (t), φ(t), z(t)⇢:
OM = r = ⇢uˆ⇢ + z k̂
!
!
r
r
!
r = {x = ⇢cos( ) y = ⇢sin(d d)
uˆuˆ==d duˆ⇢uˆ⇢
d
d
uˆ⇢uˆ⇢==d duˆuˆ
Les vecteurs de la base varient aussi lorsque M se
déplace et dépendent donc du temps; c'est important
de le savoir lorsque l'on veut calculer par exemple les
vecteurs vitesse et accélération et donc chaque
fois que l'on dérive par rapport au temps.
nnées cylindriques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de
ordonnées sont obtenues en fixant deux des coordonnées (⇢, ', z) et en
24
u
ˆ
=
d d uˆ
⇢
u
ˆ
=
u
ˆ
⇢
d
Mouvement en coordonnées cylindriques
Calculons l’expression des vecteurs vitesse et accélération
Notation (de Newton) en physique de la dérivée par rapport
au temps:
d
[
d
4.4.Coordonn
d
Coordo
[⇢(t)]
!
⇢˙
d d
[⇢(t)]
!
⇢
˙
d
d
˙
[
(t)]
!
d
˙
(t)] !
d~r
~v =d~
r = ⇢˙ û⇢ + ⇢ '˙ û' + ż k̂
~v = dt= ⇢˙ û⇢ + ⇢ '˙ û' + ż k̂
dt
ds
2
2 2
2 1/2
v=
= (⇢˙ + ⇢ '˙ + ż )
dsdt
2
2 2
2 1/2
v=
= (⇢˙ + ⇢ '˙ + ż )
dt
ds2 = d⇢2 + ⇢2 d'2 + dz 2 ,
2
25
d~
r
d
Mouvement
en
~v = d [⇢(t)]
= coordonnées
⇢˙!
û⇢⇢˙+ ⇢ '˙ û'cylindriques
+ ż k̂
d
dt ⇢˙
[⇢(t)] !
d
Calculons l’expression
des vecteurs
vitesse et accélération
d
˙
[
(t)]
!
d
d
˙
[
(t)]
!
d
!
a =
!
d!
d d!
a =dsdt
= 2dt ( dt
!) 2=
d!
d vd !
d2 2r
d2 !
r
2
dt 2 1/2
v = dt (=dt (r⇢˙) =
vdt =
+dt⇢2 r'˙ + ż )
dt
Notation des dérivées par rapport au temps:
d
d
d d
d2
(
[⇢(t)])
dt d= dt2 ⇢
dt ( d [⇢(t)])
!⇢¨⇢¨
!
ds = d⇢ + ⇢ d' + dz ,
2
~a = (¨
⇢
2
2
2
2
⇢ '˙ ) û' + (2⇢˙ '˙ + ⇢ ')
¨ û' + z̈ k̂ .
2
nt de volume dV en coordonnées cylindriques est :
@(x, y, z)
26
dV dV
= dx
⇢ d⇢⇢ d'
dz .dz .
= dy
dxdz
dy =
dz =
d⇢
d'
@(⇢,@(⇢,
', z)
', z)
Mouvement en coordonnées cylindriques
Considérons
l’exemple
simple
du du
mouvement
hélicoı̈dal
quiqui
s’exprim
Considérons
l’exemple
simple
mouvement
hélicoı̈dal
s’exp
Considérons l’exemple d’un mouvement hélicoïdal simple
driques
par par
: :
driques
⇢ =⇢a,= a, ' =''(t),
= '(t), z =z =' '( (> 0)
> 0)
La trajectoire
se situe
sur
uneune
hélice
dont
la la
projectio
La trajectoire
se situe
sur
dont
projec
La trajectoire
sehélice
situecirculaire
surcirculaire
une hélice
circulaire
la
dans
plan
Oxyest
estest
un
un cercle
d’axe
Oz Oz
et de
a.projection
Le
paspas
de lede
l’hélice
2⇡ 2⇡: c’est
la
un cercle
d’axe
et rayon
dedont
rayon
a. Le
l’hélice
: c’est
d’axe
Oz etles
de rayon
a. Le pas dede
l’hélice
points
dontdont
les '
decercle
2⇡.
Notons
expressions
la célérité
points
lesdi↵èrent
' di↵èrent
de 2⇡.
Notons
les
expressions
de
la célérite
est de 2 π λ.
accélération
: :
accélération
2 1/2
˙
v =v(=2(+2a+
)a2 )|1/2
'|
˙ |'|
û' +k̂) k̂)
~v =~v'˙=(a'˙û(a
'+
û⇢a+'¨aû'
¨ û+' +'¨ k̂'¨. k̂ .
~a =~a =a '˙ 2a û'˙⇢2 +
'
ou encore
ou encore
'¨ '¨
2
2'
~
a
=
~
c
a
˙
~a = ~c a '˙ û⇢ .û⇢ .
'˙ '˙
27
)
2 1/2
|'|
˙
Mouvement en
2
dV = dx dy
dz
=
⇢a
d⇢'
d'ûdz +
.
~a = 2(4.38)
a@(⇢,
'˙ ',ûz)
+
¨
⇢
'
coordonnées
~a = a '˙ cylindriques
û⇢ + a '¨ û' + '¨ k̂
+ k̂)
(4.39)
ou encore Considérons
simple du hélicoïdal
mouvementsimple
hélicoı̈dal qui s’exp
Considérons
l’exemple l’exemple
d’un mouvement
¨ û'driques
+ '¨par
k̂ . :
(4.40)
core
⇢ + a'
'¨
2
~
a
=
~
c
a
'
˙
û
.
⇢
⇢ = a,
''
=
'(t),
z
=
'
(
> 0)
¨
'
˙
2
~a = ~c a '˙ û .
⇢
'˙
La trajectoire se situe sur une hélice circulaire dont la projec
a '˙ û⇢ .
(4.41)
2
un
cercle
d’axe
Oz
et
de
rayon
a.
Le
pas
de
Comme d’autre part ~a = dv/dt T̂ + v l’hélice
/R N̂ est
, on2⇡en: c’est
déd
points
dont
les '
dede2⇡.
Notons
les:N̂
expressions
la célériti
valeurd’autre
(constante)
du
rayon
omme
part
~adi↵èrent
=
dv/dt
T̂courbure
+ v 2 /R
, on endedéduit
accélération :
2
duimmédiatement
rayon de courbure
N̂(constante)
, on en déduit
N̂ = : û⇢ et 2la
2 + a2
2 1/2
v
v = ( + a ) |'|
˙
R2=
=
.
2
2+
2a
˙
~v =
+
k̂)
v '˙ (a rû'
a
'
2
R =~a = 2a =
.
2
+ a2
'˙ û⇢ + a
a '¨ û' + '¨ k̂ .
r'˙ (4.42)
.
2 + a2 ), et l’ang
Notons
aussi
la
valeur
de
la
torsion
⌧
=
/(
a
2
ou encore
l’axe
Oz
:
cot
✓
=
/a
=
R
⌧
.
Plus
généralement,
les
courbe
2
2
Ou
R
est
le
rayon
de
s
aussi
la
valeur
de
la
torsion
⌧
=
/(
+
a
),
et
l’angle
✓
2
+les
a ),hélices
et l’angle
✓tangente
que fait le
vecteur
vitesse
courbureavec un axe fi
'¨ avec
:
la
fait
un
angle
constant
2
~
a
=
~
c
a
'
˙
û .courbes ga
Oz : cot ✓ = /a = R ⌧ . Plus généralement, les
⇢
nt, les courbes gauches telles que R⌧ =cste'˙ sont
lices
: laaxe
tangente
avec un
fixe (ici fait
Oz).un angle constant avec un axe fixe (
28
29