Correction

Cinématique du point matériel Exercice 1 : Trajectoire hélicoïdale Le référentiel d’étude (ℛ) est associé au repère d’espace orthonormé 𝑂, 𝑒! , 𝑒! , 𝑒! . Soit l’hélice droite définie en coordonnées cylindriques dans (ℛ) par (ℎ est une constante positive) : 𝑟 = 𝑅!
𝑧 = ℎ𝜃
On s’intéresse à un point matériel 𝑀 qui décrit cette hélice dans le sens des 𝜃 croissants. 1) Calculer les vecteurs vitesse et accélération de M dans (ℛ) en coordonnées cylindriques. 2) Calculer la vitesse 𝑣 de M dans (ℛ). 3) 𝑀 parcourt l’hélice à la vitesse constante 𝑉! . En déduire les vecteurs vitesse et accélération de M dans (ℛ) en fonction de 𝑉! , 𝑅! et h. Correction : 1) Le vecteur position de M dans la base des coordonnées cylindriques est : 𝑟 = 𝑅!
𝑶𝑴 = 𝑟𝒆𝒓 + 𝑧𝒆𝒛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑧 = ℎ𝜃
𝑶𝑴 = 𝑅! 𝒆𝒓 + ℎ𝜃𝒆𝒛 On peut alors calculer les vecteurs vitesse et accélération de M dans (ℛ) : 𝑑𝑶𝑴
𝒗(𝑀)/(ℛ) =
𝑑𝑡 /(ℛ)
𝒗(𝑀)/(ℛ) = 𝑅! 𝜃𝒆𝜽 + ℎ𝜃𝒆𝒛 𝒂(𝑀)/(ℛ) =
𝑑𝒗(𝑀)/(ℛ)
𝑑𝑡
/(ℛ)
𝒂(𝑀)/(ℛ) = −𝑅! 𝜃²𝒆𝒓 + 𝑅! 𝜃𝒆𝜽 + ℎ𝜃𝒆𝒛 2) La vitesse v de M dans (ℛ) est donnée par : 𝑣 = 𝒗(𝑀)/(ℛ) La base (𝒆𝒓 , 𝒆𝜽 , 𝒆𝒛 ) étant une base orthonormée, on peut écrire : 𝑣=
𝑅! 𝜃
!
+ ℎ𝜃
!
= 𝜃
𝑅! ! + ℎ! Le point matériel M décrit l’hélice dans le sens des 𝜃 croissants donc 𝜃 ↗ au cours du temps, ce qui signifie que 𝜃 > 0. On obtient donc finalement : 𝑣 = 𝜃 𝑅! ! + ℎ! 3) M parcourt l’hélice à la vitesse constante 𝑉! . On a donc : 𝑣 = 𝜃 𝑅! ! + ℎ! = 𝑉! 𝜃=
𝑉!
= 𝑐 !"# 𝑒𝑡 𝜃 = 0 𝑅! ! + ℎ!
𝒗(𝑀)/(ℛ) = 𝑅! 𝜃𝒆𝜽 + ℎ𝜃𝒆𝒛 =
𝑅! 𝑉!
!
𝑅! + ℎ!
𝒂(𝑀)/(ℛ) = −𝑅! 𝜃²𝒆𝒓 = −
ℎ𝑉!
𝒆𝜽 +
𝑅! 𝑉! !
𝑅! ! + ℎ!
!
𝒆𝒛 𝑅! + ℎ!
𝒆𝒓 Exercice 2 : Risque de collision au freinage 1) Une voiture roule en ligne droite à une vitesse constante 𝑉! . A l’instant 𝑡 = 0, le conducteur aperçoit un obstacle, mais il ne commence à freiner, avec une décélération constante 𝑎, qu’au bout d’un temps 𝜀 . Calculer la distance parcourue par le véhicule depuis l’instant initial jusqu’à l’arrêt total de la voiture. 2) Application numérique : 𝑎 = −7,5 m.s-­‐2, 𝜀 = 0,6 s, 𝑉! = 54 km /h puis 𝑉! = 108 km /h. 3) Deux voitures se suivent sur une route droite, à une distance 𝑑, et roulent à la même vitesse constante 𝑉! . A l’instant 𝑡 = 0, la première voiture commence à freiner, avec une décélération constante 𝑎. La seconde voiture ne commence à freiner qu’au bout d’un temps 𝜀, avec une décélération constante 𝑏. Quelle condition doit satisfaire la distance 𝑑 pour que la seconde voiture s’arrête en arrière de la première ? 4) Application numérique : 𝑎 = −7,5 m.s-­‐2, 𝑏 = −6,0 m.s-­‐2, 𝜀 = 0,6 s, 𝑉! = 108 km /h. Correction : 1) On prend comme origine des abscisses la position de la voiture à l’instant 𝑡 = 0. Avant de freiner, la voiture parcourt une distance : 𝑥! = 𝑉! 𝜀 Pour 𝑡 > 𝜀, le mouvement est caractérisé par une vitesse et une position : 𝑥(𝑡) = −𝑎 𝑡 − 𝜀 + 𝑉! 𝑎
𝑥 𝑡 = − 𝑡 − 𝜀 ! + 𝑉! 𝑡 − 𝜀 + 𝑥! 2
L’arrêt de la voiture est obtenu pour un temps T tel que : 𝑥 𝑇 = 0 ⇔ −𝑎 𝑇 − 𝜀 + 𝑉! = 0 𝑉!
𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑇 = 𝜀 + 𝑎
En reportant cette valeur dans l’expression de 𝑥 , on obtient l’expression de la distance d’arrêt D : 𝑎 𝑉! !
𝑉!
𝐷=𝑥 𝑇 =−
+ 𝑉! + 𝑥! 2𝑎
𝑎
𝐷=
𝑉! !
+ 𝑉! 𝜀 2𝑎
2) Application numérique : 𝑉! (km/h) 54 108 𝐷 (m) 24 78 3) L’équation horaire de la première voiture est donnée par la relation précédente, en prenant 𝜀 = 0 et 𝑥! = 0 : 𝑎
𝑥 𝑡 = − 𝑡 ! + 𝑉! 𝑡 2
Cette voiture s’arrête à l’abscisse : 𝑉! !
2𝑎
A l’instant 𝑡 = 0, la seconde voiture était à l’abscisse – 𝑑 et à l’instant 𝑡 = 𝜀, elle était donc à l’abscisse : 𝐷! =
𝑥! = −𝑑 + 𝑉! 𝜀 Pour 𝑡 > 𝜀, le mouvement de la seconde voiture est caractérisé par une vitesse et une position : 𝑥(𝑡) = −𝑏 𝑡 − 𝜀 + 𝑉! 𝑏
𝑥 𝑡 = − 𝑡 − 𝜀 ! + 𝑉! 𝑡 − 𝜀 − 𝑑 + 𝑉! 𝜀 2
L’arrêt de la seconde voiture est obtenu pour un temps T tel que : 𝑥 𝑇 = 0 ⇔ −𝑏 𝑇 − 𝜀 + 𝑉! = 0 𝑉!
𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑇 = 𝜀 + 𝑏
En reportant cette valeur dans l’expression de 𝑥, on obtient l’expression de la distance d’arrêt 𝐷! de la seconde voiture : 𝐷! = 𝑥 𝑇 = −
𝑏 𝑉! !
𝑉!
+ 𝑉! − 𝑑 + 𝑉! 𝜀 2𝑏
𝑏
𝑉! !
𝐷! =
− 𝑑 + 𝑉! 𝜀 2𝑏
Pour que les deux voitures ne créent pas un accident, il faut que (on néglige les dimensions respectives des deux voitures assimilées à des points matériels) : 𝑉! !
𝑉! !
− 𝑑 + 𝑉! 𝜀 <
2𝑏
2𝑎
𝑉! ! 1 1
⇔ 𝑑 >
−
+ 𝑉! 𝜀 2 𝑏 𝑎
4) Application numérique : 𝑑 > 33 m.