Lois de probabilité à densité

CHAPITRE 17
Lois de probabilité à densité
I Loi de probabilité à densité ou loi continue sur un intervalle I
1. Quand l’univers est un intervalle
Jusqu’à présent, chaque expérience aléatoire conduisait à un univers fini et chaque variable aléatoire
prenait un nombre fini de valeurs. Il s’agissait donc toujours de définir une loi de probabilité p sur
un ensemble fini E = {x 1 , x 2 , ..., x n }, et il suffisait pour cela de se donner ou de déterminer les réels
p(x 1 ), p(x 2 ), ..., p(x n ).
Cependant, il arrive aussi que les issues d’une expérience ou les valeurs prises par une variable aléatoire
puissent être n’importe quel nombre d’un intervalle I de R, par exemple : la durée d’une communication. Dans ce cas, il n’est plus question de définir une loi p sur I en se donnant la probabilité de chaque
élément de I (elle serait d’ailleurs nulle !) et de plus, les événements intéressants ne sont plus « obtenir
tel ou tel réel », mais plutôt « obtenir un nombre compris entre a et b. ».
La définition d’une loi p sur un intervalle I repose donc sur la notion de probabilité d’un intervalle
quelconque de I .
Préliminaires
Zb
Z
f (x) dx désigne
f (x) dx
a
Zt
Z
• Si I = [a; +∞[ alors f (x) dx désigne lim
f (x) dx
• Si I = [a; b] alors
I
I
t →+∞ a
2. Définitions
Définition : Soit I un intervalle de R. On appelle densité de probabilité(ou fonction de densité
de probabilité ) sur I toute fonction f définie sur un intervalle I vérifiant les trois conditions suivantes :
• f est continue sur I ;
• f est positive sur I (pour tout réel x de I , f (x) ≥ 0) ;
Z
f (x) dx = 1 (l’aire sous la courbe de la fonction f est égale à une unité d’aire).
•
I
Exercice 1 : Montrer que la fonction cos définie sur I = [0; π2 ] est une densité de probabilité sur I.
³ x ´3
est une densité de probabilité
Exercice 2 : Montrer que g la fonction définie sur [0; 4] par g (x) =
4
sur [0; 4].
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Définition : Soit I un intervalle de R.
On dit qu’une variable aléatoire X , à valeurs dans IZ
, suit une loi p de probabilité de densité f sur
f (x) dx
I , si pour tout intervalle J inclus dans I , p(X ∈ J ) =
J
On dit que p est une loi de probabilité à densité sur I ou une loi continue sur I .
3. Propriétés
: Soit X une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité f sur I .
• p(X ∈ I ) = 1
• Soit c ∈ I , p(X = c) = 0
La probabilité que X prenne une valeur isolée fixe est nulle d’où p(X ≤ c) = p(X < c)
Zb
• On a p(a ≤ X ≤ b) = p(a < X < b) =
f (x) dx avec aet b éléments de I .
a
Z
• Puisque (X ∈ R) est l’événement certain, p(X ∈ R) = 1 et donc f (x) dx = 1
R
• On admet pouvoir étendre certaines propriétés sur les lois de probabilités discrètes aux lois
continues en particulier celles des probabiltiés conditionnelles.
Exercice 3 : Si p est la loi continue de densité cos sur I = [0; π2 ], on a alors :
p (X ∈ [0; 1]) =
³
π π ´
p X ∈ [ ; ] =.
6 4
Exercice 4 : Calculer des probabilités (1)
On tire au hasard sur une cible de rayon 1 m, sans jamais la manquer.
X est la variable aléatoire qui donne la distance de l’impact au centre. On admet que X a pour densité,
la fonction f définie sur [0; 1] par :
f(x) = 2x si 0≤ x ≤ 1
(a) Calculer p(X ≤ 0, 5), p(X > 0, 5) et p(0, 25 ≤ X ≤ 0, 75).
(b) Vérifier que si 0 ≤ a < b < 1, alors p(a ≤ X ≤ b) est égale au rapport de l’aire de la couronne, définie
par a et b, à celle de la cible.
4. Espérance d’une variable aléatoire
Définition : Soit X une variable aléatoire suivant une loi deZ
probabilité de densité f sur I alors
l’espérance mathématiques de X est le réel défini par E (X ) = x × f (x) dx
I
Exercice 5 : Calculer l’espérance de la variable X définie à l’exercice 4.
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II Loi uniforme
Le choix au hasard (le tirage au sort) d’un élément x de l’intervalle I = [a; b] de R se modélise par la loi
continue sur I dont la densité est constante. L’aire sous la courbe devant être égale à 1, cette constante est
1
égale à
.
b−a
1. Définition
Définition : Soient a et b deux nombres réels tel que a < b. On appelle loi uniforme sur l’intervalle
I = [a; b], la loi de probabilité continue sur I dont la densité f est la fonction constante égale à
1
b−a
2. Conséquence
Propriété : Pour cette loi, la probabilité d’un intervalle [α; β] inclus dans un intervalle I = [a; b] est
égale au quotient de la longueur de [α; β] par celle de [a; b], ainsi :
Zβ
1
β − α longueur de[α; β]
p(X ∈ [α; β]) =
dx =
=
.
b−a
longueur de I
α b−a
Exercice 6 : Le choix au hasard d’un nombre réel dans l’intervalle [−1; 4] se modélise par la loi uniforme
p sur [−1; 4] de densité constante égale à .
(a) Calculer la probabilité d’obtenir un réel égal à π.
(b) Calculer la probabilité d’obtenir un réel positif
(c) Calculer la probabilité d’obtenir un réel inférieur à π
Exercice 7 : On choisit au hasard un réel compris entre 100 et 150.
(a) Déterminer la probabilité que ce réel soit compris entre 120 et 135.
(b) Déterminer la probabilité que ce réel soit compris entre 122 et 133 sachant qu’il est compris entre
115 et 130.
Exercice 8 : Utiliser la loi uniforme
A partir de 7 heures, les bus passent toutes les quinze minutes à un arrêt A. Un usager se présente en A
entre 7 h et 7 h 30. On fait l’hypothèse que la durée de 7 h à l’heure de son arrivée en A est une variable
aléatoire uniformément répartie sur l’intervalle [0; 30].
Quelle est la probabilité qu’il attende le prochain bus :
(a) moins de 5 minutes ?
(b) plus de dix minutes ?
3. Espérance
Propriété : Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [a; b] alors son
a +b
espérance mathématiques est E (X ) =
2
Démonstration
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III Loi exponentielle
La durée de vie d’un appareil est une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans R+ . Si l’on suppose que
cette durée de vie ne dépend pas du temps pendant lequel l’appareil a déjà fonctionné (on dit que la durée
de vie est sans vieillissement), on démontre que la loi de probabilité de X admet une densité f de la forme
f (x) = λe −λx avec λ > 0, pour tout réel positif x.
1. Définition
Définition : On appelle loi exponentielle de paramètre λ la loi continue admettant pour densité
la fonction f définie sur R+ par f (x) = λe −λx où λ est un réel strictement positif fixé.
2. Propriétés
Propriétés : Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ (avec λ ∈
R+ ).
Pour α et β deux réels positifs, on a :
• p(X ≤ α) = 1 − e −λα
• p(X > α) = p(X ∈]α; +∞[) = e −λα
• p(α ≤ X ≤ β) = e −λα − e −λβ .
Démonstration
Propriétés : Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ (avec λ ∈
R+ ).
1
alors E (X ) =
λ
Démonstration exigible
Exemple : Pour λ = 1, 5, calculer p(X ∈ [0; 1])
Exercice 9 : Utiliser la loi exponentielle
La durée, en minutes, d’une conversation téléphonique est une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ = 0, 1. Un individu arrive à une cabine téléphonique et juste à ce moment précis, une personne
passe devant lui. Quelle est la probabilité que cet individu attende :
(a) plus de dix minutes ?
(b) entre dix et vingt minutes ?
3. Variable sans mémoire
Définition : Une variable aléatoire positive X est sans mémoire (ou sans vieillissement) lorsque :
pour tous réels t ≥ 0, h ≥ 0, p X ≥t (X ≥ t + h) = p(X ≥ h).
Ainsi, sachant que l’appareil a déjà fonctionné t années, la probabilité qu’il fonctionne h années supplémentaires est la même que la probabilité qu’il vive au moins h années à partir de sa mise en service.
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Exemple : Soit X la variable aléatoire qui donne la durée de vie en anée d’un composant electronique.X
prend ses valerus dans R+ . Si X est sans mémoire, alors la probabilité que la durée de vie dépasse 10 ans,
sachant que ce composant a déjà fonctionné 7 ans, est :
Le composant fonctionne sans mémoire des sept années passées.
4. Caractérisation des lois exponentielles
Théorème : Une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle est sans mémoire. Réciproquement, si X est sans mémoire, alors sa loi est exponentielle.
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