Les régularités et les relations (Les variables et les équations)

Les régularités et les relations : Les variables et les équations
Domaine - Les régularités et les
relations (Les variables et les
équations)
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Les régularités et les relations : Les variables et les équations
Les régularités et les relations : Les variables et les équations
RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire
des prédictions et prendre des décisions éclairées.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
Pistes d'enseignement
L'élève doit pouvoir :
RR2.1 esquisser, dans le plan
C Par l’entremise d’exemples, amener les élèves à découvrir la
cartésien, le graphique d’une fonction
signification des termes comme domaine, image, coordonnées à
exponentielle et analyser l’effet de
l’origine et asymptote. Attirer leur attention sur le fait que la
changement des coefficients ;
description du graphique d’une fonction exponentielle ou
logarithmique devrait comprendre le plus souvent ces termes.
RR2.2 déterminer l'équation d'une
fonction exponentielle à partir de son C Réunir les élèves en équipes de deux et leur confier la tâche de
graphique ou de son tableau de
tracer sur du papier quadrillé les graphiques des fonctions
valeurs ;
exponentielles y = 2 x, y = 2 x - 3 et y = 2 x + 3 . Leur demander de
vérifier leurs réponses à l’aide d’une calculatrice à affichage
RR2.3 résoudre, avec et sans outil
graphique ou d’un ordinateur doté d’un logiciel graphique.
technologique approprié, des
Une fois la tâche terminée, inviter une équipe volontaire à
équations exponentielles.
présenter au reste de la classe la démarche suivie pour tracer à la
main les graphiques de ces fonctions. Au besoin, mettre à sa
disposition un rétroprojecteur et des transparents. Inviter ensuite
une autre équipe volontaire à présenter sa démarche à l’aide de la
calculatrice à affichage graphique munie d’une tablette ou acétate
électronique, ou à l’aide de l’ordinateur doté d’un logiciel
graphique et muni d’un projecteur multimédia (LCD).
Au cours de cette activité, amener les élèves à décrire les
caractéristiques de chaque graphique (le domaine, l’image, les
coordonnées à l’origine et les équations des asymptotes) et à
découvrir la règle qui permet de tracer le graphique d’une fonction
y = a x + b à partir de celui de y = a x.
C Demander aux élèves de résoudre des problèmes tels que le
suivant :
Dans un laboratoire de microbiologie, une technicienne a constaté
qu’un type de bactérie triple toutes les 24 heures. Elle a compilé
les données recueillies dans le tableau ci-après.
t temps en h
B nombre de
bactéries
0
24
48
72
96
1 000
3 000
9 000
27 000
210 000
Écrivez une équation exponentielle qui représente cette situation.
Donnez toutes les explications nécessaires.
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Pistes d'évaluation
Ressources
C Observer les élèves pendant qu’ils tracent le graphique de la
fonction y = 2x afin de vérifier s’ils peuvent déterminer :
S son domaine ;
S son image ;
S le point où il coupe l’axe vertical ;
S son asymptote horizontale.
Omnimaths 12
C Évaluer la compétence des élèves à utiliser une calculatrice à
affichage graphique, pour générer un graphique exponentiel à
partir d’un tableau de valeurs.
C Confier aux élèves la tâche de tracer les graphiques des fonctions :
a) y = 3x
b) y = 3x+ 4
Leur demander de donner l'équation de l'asymptote horizontale
de chacun des graphiques et d'expliquer comment le graphique b)
se déduit de celui de y = 3x.
Une fois la tâche terminée, leur demander de se réunir deux par
deux pour comparer leurs solutions afin d'y identifier les
ressemblances et les différences et de suggérer des corrections si
nécessaire.
Pendant que les élèves comparent leurs solutions, circuler parmi
eux afin de s'assurer que leurs réponses sont correctes et qu'ils
utilisent la terminologie appropriée.
Demander aux élèves de décrire dans leur journal de bord les
étapes à suivre pour résoudre l'équation exponentielle
:
S à la main ;
S à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique.
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Les régularités et les relations : Les variables et les équations
RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire
des prédictions et prendre des décisions éclairées.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
Pistes d'enseignement
L'élève doit pouvoir :
C Amener les élèves à découvrir que la fonction logarithmique est la
RR2.4 esquisser, dans le plan
réciproque de la fonction exponentielle. Pour ce faire, mettre à la
cartésien, le graphique d'une fonction
disposition de chaque équipe de deux élèves un ordinateur doté
logarithmique et analyser l'effet de
d’un logiciel graphique et leur confier la tâche de tracer les
changement de base ;
graphiques des fonctions y = 2 x et y = 10 x, puis de trouver les
équations des graphiques qui sont symétriques des précédents par
RR2.5 résoudre, avec et sans outil
rapport à la droite d’équation y = x .
technologique approprié, des
Cette activité devrait permettre aux élèves de comprendre que si
équations logarithmiques et vérifier la
y = logb x, alors x = b y.
vraisemblance des solutions ;
RR2.6 utiliser les propriétés des
logarithmes pour résoudre des
équations exponentielles.
C Confier aux élèves la tâche de tracer sur du papier quadrillé les
graphiques des fonctions :
S y = log 2 x
S y = log 4 x
S y = log x .
Pour ce faire, leur demander de construire un tableau de valeurs
pour chaque fonction en utilisant sa forme exponentielle puis de
tracer le graphique. Ils devraient expliquer comment le graphique
de la fonction logarithmique change quand la base change.
Une fois la tâche complétée, inviter des élèves volontaires à
présenter au reste de la classe la démarche suivie pour tracer les
graphiques. Au besoin, mettre à leur disposition un
rétroprojecteur et des transparents quadrillés.
C À l’aide d’une équation comme la suivante
log2 (x - 2) + log 2 x = log2 3 , expliquer aux élèves la démarche à
suivre pour trouver les racines d’une équation logarithmique.
Attirer leur attention sur les restrictions qui s’appliquent à
l’équation (x > 2 pour l’équation proposée) afin de déterminer la
racine admissible.
Les réunir ensuite en petites équipes et leur demander de résoudre
des équations logarithmiques.
C Montrer aux élèves la démarche à suivre pour tracer le graphique
de la fonction y = log 2 x à l’aide d’une calculatrice à affichage
graphique. Attirer leur attention sur le fait que la calculatrice a
deux touches logarithmiques : LOG pour le logarithme à base 10
et ln pour le logarithme naturel ou népérien à base e . Leur
demander ensuite de résoudre des équations telles que
log2 (x - 2) + log 2 x = log2 3 à l’aide de cette calculatrice.
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Pistes d'évaluation
• Confier aux élèves la tâche de prouver que si
Ressources
, alors
Omnimaths 12
y = -log 3 x .
Pendant que les élèves travaillent à prouver cette
proposition, circuler parmi eux afin de vérifier s’ils peuvent :
S passer correctement de la forme logarithmique à la forme
exponentielle ;
S justifier que ces deux fonctions ont le même graphique. Leur
demander ensuite de comparer le
graphique à celui
de y = log 3 x .
C Pendant que les élèves tracent le graphique d’une fonction
logarithmique telle que celui de y = log2 x , circuler dans la classe
et leur poser des questions pertinentes afin de s’assurer qu’ils sont
capables de déterminer :
S que son domaine est l’ensemble de nombres réels positifs sans
le zéro, R +* ;
S que son image est l’ensemble de nombres réels R ;
S l’intervalle où elle est positive ;
S l’intervalle où elle est négative ;
S l’équation de son asymptote verticale, x = 0 ;
S les coordonnées du point où son graphique coupe l’axe des
abscisses, (1, 0).
C Confier aux élèves la tâche de résoudre l’équation
log2 (x - 3) + log2 x = 2 . Leur demander de déterminer les
restrictions qui définissent son ensemble de définition, puis
d’utiliser les propriétés des logarithmes pour transformer
l’équation et déduire finalement les racines admissibles.
Une fois la tâche terminée, demander à des élèves de présenter leur
solution au reste de la classe et proposer à leurs camarades de les
évaluer selon des critères tels que les suivants :
S la démarche suivie est organisée et claire ;
S le débit, le ton, l’articulation et le langage sont bons ;
S le domaine de définition est correctement déterminé ;
S le choix de la racine admissible est justifié.
C Demander aux élèves de décrire dans leur journal de bord toutes
les étapes à suivre pour résoudre l’équation
ln (x + 2) = ln (x - 3) + 1 , où ln est le logarithme naturel ou
népérien de base e = 2,71 8... , à l’aide d’une calculatrice à affichage
graphique.
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RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire
des prédictions et prendre des décisions éclairées.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
Pistes d'enseignement
L'élève doit pouvoir :
C À l’aide d’exemples variés, amener les élèves à découvrir le sens de
RR2.7 esquisser, dans le plan
la période, de l’amplitude, du déphasage, du domaine et de
cartésien, le graphique d'une fonction
l’image d’une fonction périodique. L’étude de ces fonctions
sinusoïdale et analyser l'effet de
devraient être abordée avec des angles exprimés en degrés et en
changement des coefficients ;
radians.
RR2.8 déterminer l'équation d'une
C Réunir les élèves en petites équipes et leur confier la tâche de
fonction sinusoïdale à partir de son
tracer les graphiques cartésiens des fonctions y = sin x ,
graphique ou de son tableau de
y = 4 sin x , y = sin 2x et y = 4 sin 2x , à la main et à l’aide d’un
valeurs.
outil technologique approprié. Leur demander d’examiner ces
graphiques afin de déduire comment le graphique d’une fonction
sinusoïdale change quand l’amplitude et la période changent.
Une fois la tâche terminée, demander à une équipe volontaire de
présenter sa solution au reste de la classe.
Les élèves pourraient refaire cette activité avec des fonctions en
cosinus.
C Pour aller plus loin dans leur apprentissage, soumettre aux élèves
du cours avancé des activités qui leur permettent d’explorer des
fonctions telles que les suivantes : Mathématiques 3232
a)
b)
Ces activités devraient amener les élèves à expliquer toute la
démarche à suivre pour passer des graphiques des fonctions de
base y = sin x et y = cos x à ceux des fonctions de la forme
y = A sin B (x + C) + D et y = A cos B (x + C) + D.
• Demander aux élèves de déterminer
la fonction sinusoïdale
f(x) = A sin Bx (A et B sont positifs)
dont une partie de son graphique est
montré par le diagramme ci-contre.
Demander aux élèves du cours
avancé de déterminer cette fonction
f(x) si on fait subir au graphique un
déplacement vertical d’une unité et
un déphasage de
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radian.
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Ressources
C Soumettre aux élèves une activité qui fait intervenir la
détermination de toutes les caractéristiques d’une fonction
sinusoïdale de la forme f(x) = A sin Bx (A >0 et B >0). Pendant
qu’ils travaillent sur cette activité, circuler parmi eux et leur poser
des questions pertinentes afin de vérifier s’ils sont capables de
déterminer que :
Omnimaths 12
S son amplitude est *A* ;
S sa période est
;
S ses zéros dans l’intervalle
sont 0,
S son maximum = A pour
;
S son minimum = -A pour
.
et
;
C Donner aux élèves deux fonctions sinusoïdales de la forme
f(x) = A sin Bx et g(x) = A sin [B(x - h)] avec B > 0 . Les réunir en
équipes de deux et leur demander de discuter ensemble de la façon
de passer du graphique de f(x) à celui de g(x) si h > 0 et si h < 0 .
S’assurer bien qu’ils savent que h , qui est le déphasage de g(x) par
rapport à f(x), définit la translation horizontale qui permet de
passer d’un graphique à l’autre.
Leur proposer ensuite de :
S tracer le graphique cartésien de la fonction f(x) = 2 sin 3x ;
S calculer le déphasage du graphique cartésien de la fonction
g(x) = 2 sin
par rapport à celui de f(x) ;
S tracer le graphique cartésien de g(x) dans le même plan
cartésien.
C À l’aide d’un test papier-crayon, évaluer si les élèves sont capables
de trouver l’équation d’une fonction sinusoïdale à partir de son
graphique.
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RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire
des prédictions et prendre des décisions éclairées.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
Pistes d'enseignement
L'élève doit pouvoir :
RR2.9 résoudre, algébriquement et
graphiquement, des équations
trigonométriques dans l’intervalle
0O # x < 360O et placer les solutions
sur le cercle trigonométrique ;
RR2.10 résoudre, algébriquement et
graphiquement, des équations
trigonométriques dans l’intervalle
0 # x < 2B et placer les solutions sur
le cercle trigonométrique.
C Par l’entremise d’activités variées, amener les élèves à comprendre
comment déterminer sur un cercle trigonométrique tous les
angles, en degrés, pour lesquels des équations comme les suivantes
sont vraies. (Soit 0 O# x < 360O)
S sin x = 0,5
S cos x =
S
tan x =
Les réunir ensuite en petites équipes et leur demander de faire des
activités similaires pour des angles x, en radians, tels que
0 # x < 2B rad. Inviter des volontaires à présenter leurs résultats au
reste de la classe.
C Demander aux élèves de résoudre l’équation 2sin x - 1 = 0 et de
placer les solutions sur le cercle trigonométrique, avec
0 O# x < 360 O, à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique puis
algébriquement.
C Au cours de cette activité, amener les élèves à découvrir que les
solutions de toute équation de la forme sin x = sin 2 sont :
où n est tout nombre entier et x
et 2 sont exprimés en degrés.
a)
où n est tout nombre entier et x et 2
sont exprimés en radians.
b)
C Par l’entremise d’activités variées, amener les élèves à découvrir
que les solutions de toute équation de la forme cos x = cos 2
sont :
a)
où n est tout nombre entier et x et 2 sont
exprimés en degrés.
b)
où n est tout nombre entier et x et 2 sont
exprimés en radians.
Leur confier ensuite la tâche de découvrir les solutions de toute
équation de la forme tan x = tan 2 et de rédiger un compte rendu
de la solution de l’équation tan 3x = 1 pour 0 O# x < 360 O.
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Ressources
C Pendant que les élèves travaillent sur des activités impliquant la
Omnimaths 12
localisation des solutions d’équations trigonométriques sur le
cercle trigonométrique, circuler parmi eux afin de vérifier s’ils sont
capables de :
S convertir les angles 300, 450, 600, 900, 1200, 1350, 1450 et 1800
en radians ou vice versa ;
S localiser ces angles sur le cercle trigonométrique ;
S trouver les valeurs des rapports trigonométriques de ces angles
et les interpréter à l’aide du cercle trigonométrique.
C Demander aux élèves de tracer, à l’aide d’une calculatrice à
affichage graphique, les graphiques des fonctions
f(x) = 2 sin x et g(x) = sin x + 0,5 dans l’intervalle 0 O# x < 360 O,
puis d’utiliser le diagramme obtenu pour résoudre l’équation
2 sin x = sin x + 0,5 . Leur demander ensuite de placer les
solutions sur le cercle trigonométrique.
Une fois l’activité terminée, discuter avec les élèves de la façon
dont ils ont utilisé la calculatrice pour tracer les graphiques et
déterminer l’abscisse aux points d’intersection. Vérifier s’ils :
S ont choisi le mode degrés ;
S ont réglé convenablement les paramètres de la fenêtre
d’affichage (p. ex. : Xmin = 0, Xmax = 360 et Xscl = 30 ou 60
ou...) pour faciliter la lecture des points d’intersection.
S’assurer qu’ils ont placé correctement les solutions (300 et 1500)
sur le cercle trigonométrique.
C Dans le cas de résolution d’équations trigonométriques, demander
aux élèves d’annoter leur travail afin de décrire les techniques
utilisées. Leur demander aussi de décrire brièvement ce qui a bien
marché et ce qui n’a pas marché au cours de cette résolution. Leur
demander de décrire le rôle des outils technologiques utilisés et de
justifier pourquoi ils les ont choisis.
C En vue d’évaluer les habiletés des élèves relatives à la résolution
d’équations trigonométriques, leur demander d’élaborer
individuellement une liste des difficultés et des confusions les plus
courantes qu’ils ont rencontrées. Leur demander de comparer
leurs listes et d’élaborer une liste globale pouvant servir comme
point de repère pour identifier les points sur lesquels il leur faut
travailler pour s’améliorer.
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Les régularités et les relations : Les variables et les équations
RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire
des prédictions et prendre des décisions éclairées.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
Pistes d'enseignement
L'élève doit pouvoir :
C Montrer aux élèves du cours avancé la méthode de trouver toutes
RR2.11 déterminer les solutions
les solutions possibles de l’équation 2 cos 2x sin x = sin x , où x
générales d'équations trigonométriques
est un angle exprimé en rad, et comment les placer sur le cercle
dont le domaine est l'ensemble de
trigonométrique. Attirer leur attention sur le fait que la
nombres réels et placer les solutions
décomposition en facteurs mène aux deux équations suivantes :
sur le cercle trigonométrique ;
Mathématiques 3232
Mathématiques 3232
S sin x = 0 dont les solutions principales, dans l’intervalle
0 # x < 2 , sont x = 0 et x =
. Ses solutions générales, qui
RR2.12 résoudre des équations
tiennent compte de tous les angles co-terminaux, sont alors
trigonométriques du second degré ;
x = 0 + 2n et x =
+ 2n . En combinant les solutions
Mathématiques 3232
générales de sin x = 0 , on obtient x = n .
RR2.13 résoudre graphiquement des
S cos 2x = dont les solutions générales sont
équations trigonométriques
complexes. Mathématiques 3232
Leur confier ensuite la tâche de résoudre des équations telles que
les suivantes :
a) cos x tan x = cos x , où x est un angle exprimé en degrés.
b) cos x - 2 sin x cos x = 0 , où x est un angle exprimé en radians.
c) sin x tan x = sin x + tan x - 1 , où x est un angle exprimé en
degrés.
Une fois la tâche terminée, demander à des volontaires de
présenter leurs solutions au reste de la classe.
C Amener les élèves du cours avancé à comprendre que la résolution
d’une équation trigonométrique du second degré se ramène à celle
d’une équation algébrique du second degré. Attirer leur attention
sur le fait que si l’équation est en sinus ou en cosinus, les racines
acceptables sont celles situées dans l’intervalle [-1, +1] et que cette
restriction ne se présente pas pour la tangente.
Mathématiques 3232
Leur confier ensuite la tâche de résoudre dans l’intervalle
0# x < 2
des équations telles que les suivantes :
2
a) sin x + sin x - 2 = 0
b) 2 cos 2 x - 3 cos x + 1 = 0
c) tan2 x - 3 tan x + 2 = 0
Ils devraient rédiger un compte rendu de la solution détaillée de
chaque équation.
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Pistes d'évaluation
Ressources
C Pendant que les élèves résolvent des équations trigonométriques
qui font appel à la factorisation, surveiller à ce qu’ils n’éliminent
pas le facteur commun quand ils simplifient. Observer s’ils sont
capables d’identifier les solutions principales et les solutions
générales de chaque équation. Mathématiques 3232
Omnimaths 12
C
Soumettre aux élèves l’équation trigonométrique
sin 2 x - 4 sin x + 4 = 0 et leur demander d’expliquer
individuellement pourquoi elle n’admet pas de solutions tandis
que l’équation algébrique z2 - 4z + 4 = 0 a des racines.
Mathématiques 3232
Les réunir ensuite en équipes de deux et leur demander de discuter
de leurs solutions afin d’y identifier les points forts et les points
faibles et de suggérer des corrections si nécessaire.
C En vue d’évaluer la compétence des élèves à résoudre des
équations trigonométriques complexes, leur demander de rédiger
un compte rendu de la démarche suivie pour trouver les solutions
de l’équation x sin x - 1 = 0 dans l’intervalle
, au
millième près. Mathématiques 3232
Ils devraient décrire en détail toutes les fonctions et les options
utilisées de l’outil technologique qui a servi à résoudre cette
équation.
Ramasser les comptes rendus des élèves afin de les examiner en vue
de vérifier :
S la qualité de l’analyse et du raisonnement ;
S la clarté et l’organisation des étapes suivies ;
S la précision des réponses ( ±1,114 et ±2,773).
C Demander aux élèves d’inclure dans leur portfolio des activités qui
fournissent une preuve qu’ils ont atteint les résultats
d’apprentissage spécifiques relatifs à l’étude des équations
trigonométriques avancées. Les inviter ensuite à des rencontres
individuelles afin de discuter avec eux de la pertinence de ces
activités. Mathématiques 3232
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des prédictions et prendre des décisions éclairées.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
Pistes d'enseignement
L'élève doit pouvoir :
RR2.14 vérifier les identités
trigonométriques :
S numériquement, pour les cas
particuliers ;
S algébriquement, pour les cas
généraux ;
S graphiquement ;
C Amener les élèves à découvrir la différence entre une équation
trigonométrique et une identité trigonométrique. Leur confier
ensuite la tâche d’utiliser les identités pythagoriciennes
sin 2 2 + cos 2 2 = 1 , 1 + tan2 2 = sec 2 2 et 1 + cotan2 2 = cosec 2 2
pour simplifier des expressions trigonométriques et prouver des
identités telles que les suivantes :
a) Simplifiez l’expression
RR2.15 utiliser les identités
d'addition, de soustraction et d'angles
doubles pour le sinus et le cosinus
pour résoudre des problèmes.
Mathématiques 3232
.
b) Démontrez l’identité
.
Attirer leur attention aux restrictions qu’ils doivent considérer en
simplifiant des expressions.
• Réunir les élèves en petites équipes et leur demander de résoudre
des problèmes tels que le suivant :
Soit l’équation
.
a) Montrez que cette équation est vraie pour x = 60 0.
b) Utilisez un graphique pour montrer que cette équation
pourrait être une identité.
c) Prouvez algébriquement que cette équation est une identité.
Une fois le problème résolu, inviter une équipe volontaire à
présenter sa solution au reste de la classe. Au besoin, mettre à sa
disposition un rétroprojecteur, une calculatrice à affichage
graphique munie d’un acétate ou tablette électronique ou un
ordinateur doté d’un logiciel graphique et d’un projecteur LCD
(panneau à cristaux liquides).
C Soumettre aux élèves du cours avancé des activités variées de
résolution de problèmes qui font intervenir l’utilisation des
formules de cos(A + B) , cos(A - B) , sin(A + B) , sin(A - B) ,
tan(A + B) , tan(A - B) , sin 2A , cos 2A et tan 2A .
Au cours de ces activités, les élèves devraient résoudre des
problèmes concrets et abstraits comme celui ci-dessous.
On pose tan A = x et tan B = y , où A et B sont deux angles en
radians. Calculez la mesure de (A + B), en radians, si
(3x + 3)(2y + 2) = 12. Mathématiques 3232
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Ressources
• Pendant que les élèves travaillent à démontrer des identités
trigonométriques, circuler parmi eux afin de vérifier s'ils sont
capables d'utiliser correctement un des procédés suivants :
S Transformer le membre de gauche par des manipulations
algébriques afin qu'il soit identique au membre de droite.
S Transformer le membre de droite par des manipulations
algébriques afin qu'il soit identique au membre de gauche.
S Manipuler algébriquement et indépendamment les deux
membres afin qu'ils soient identiques.
Omnimaths 12
• Confier aux élèves la tâche d'utiliser une calculatrice à affichage
graphique afin de tracer un diagramme qui montre que l'équation
peut être une identité. Leur demander
ensuite de prouver l'identité algébriquement. Une fois la tâche
terminée, inviter les élèves à se réunir en équipes de deux afin de
discuter de leurs solutions, d'y identifier les points forts et les
points faibles et de suggérer des corrections si nécessaire.
Circuler dans la classe pendant la discussion afin de s'assurer qu'ils
utilisent la terminologie appropriée et qu'ils n'ont pas oublié
d'indiquer les valeurs de la variable qui sont inadmissibles.
• Demander aux élèves d'écrire dans leur journal de bord la
définition de ce qu'est une identité trigonométrique et d'y ajouter
un exemple et sa preuve.
• Demander aux élèves du cours avancé de construire un tableau qui
résume les identités d'addition et de soustraction de deux angles
pour les fonctions sinus, cosinus et tangente et les identités
d'angles doubles pour les mêmes fonctions. Mathématiques 3232
• Demander aux élèves de compiler un portfolio comprenant :
S une lettre de présentation qui résume toutes les notions
abordées concernant les équations et les fonctions
exponentielles, logarithmiques et trigonométriques ;
S des activités qui se rapportent aux notions étudiées et qui
fournissent une preuve qu'ils ont atteint les résultats
d'apprentissage spécifiques prescrits ;
S une analyse de leur croissance personnelle en mathématiques en
étudiant ces notions.
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