1 Introduction 2 Topologie, définitions `a sec - Les

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Introduction
Ceci est un cours de basique Topologie, qui rappelle aussi d’autres bases
mathématico-logiques peu présentes dans les documents courants. Une pratique classique de l’analyse non standard y est aussi présentée, par ‘classique
’ j’entends sans faire un usage de la formalisation officielle ‘IST Nelson ’.
La plupart du temps, je ferai une faute volontaire (pour éviter des ambiguités) de style en utilisant la forme comme blabla1 donc blabla2, plutot que
l’usage qui met une virgule a la place du donc.
Le mot évidence et le mot axiome seront considérés comme de parfaits
synonymes dans la suite.
J’ai essayé de réunir aussi en appendice les sujets dont j’ai remarqué qu’ils
posaient parfois des soucis récurrents en plus de juste signaler les definitions
et lemmes de topologie. On y trouve le signe =, quelques consideration sur
implique, et les axiomes logiques propositionnel, ainsi qu’une preuve qu’il y
a equivalence entre (A implique B) et ((nonA) ou B)
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Topologie, définitions à sec
Soit T une partie de P (E).
On dit que T est une topologie sur E quand ∀X ⊆ T : union(X) ∈ T et
∀F ⊆ T si F est fini alors inter(E, F ) ∈ T .
Traduction française: T est stable par unions (quelconques) et intersections finies.
Soit S ⊆ P (E). Soit G l’ensemble des topologies T sur E telles
que S ⊆ T . Alors T0 := inter(P (E), G) est une topologie sur E, donc
T0 ∈ G et comme ∀X ∈ G : T0 ⊆ X, on dit que T0 est la plus petite
topologie qui contient S, ou encore la topologie engendrée par S.
2.1
Preuves
• Evidemment S ⊆ T0
• soit F une partie finie de T0 . soit T ∈ G. alors F ⊆ T . donc
inter(E, F ) ∈ T . Ceci valant pour tout T ∈ G donc inter(E, F ) ∈ T0
• soit P ⊆ T0 . soit T ∈ G. alors P ⊆ T . Donc union(P ) ∈ T . Ceci
valant pour tout T ∈ G donc union(P ) ∈ T0 .
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• conclusion: T0 ∈ G.
• inter(E, ∅) = E ∈ T0
• union(∅) = ∅ ∈ T0 .
La topologie T0 ci-dessus est egale à T1 := l’ensemble des parties
de E qui sont réunions d’intersections finies d’éléments de S
En particulier, si S est stable par intersections finies, alors T0
est simplement l’ensemble des réunions d’éléments de S.
Soient en particuler deux espaces topologiques (E, top1) et (F, top2). Soit
S l’ensemble des U × V ∈ P (E × F ), quand (U, V ) parcourt top1 × top2.
alors S est stable par intersections finies.
On verra plus bas que dans ce cas la topologie engendrée par S sur E × F
s’appelle la topologie produit des topologies top1, top2.
2.2
Preuves
Pour prouver que T0 = T1 , il suffit de prouver que T1 ⊆ T0 et que T0 ⊆ T1 .
Pour prouver que T0 ⊆ T1 on va prouver que T1 ∈ G
L’autre sens sera prouvé directement.
• si X, Y sont des éléments de T1 alors il existe des ensembles A, B tels
que X = union(A) et Y = union(B) et des applications f, g telles que
∀x ∈ A : f (x) est une partie finie de S telle que x = inter(E, f (x))
(idem avec g a la place de f et B a la place de a). Soit C l’ensemble des
inter(E, f (x) ∪ g(y)) quand (x, y) parcourt A × B. Si t ∈ X ∩ Y alors
il existe (x, y) ∈ A × B tel que t ∈ inter(E, f (x)) et t ∈ inter(E, g(y)).
Donc ∀z ∈ f (x) ∪ g(y) : t ∈ z. Donc t ∈ inter(E, f (x) ∪ g(y)). Donc
x ∈ union(C). Réciproquement, si t ∈ union(C) alors il existe (x, y) ∈
a×B tel que t ∈ inter(E, f (x)∪g(y)). En particulier t ∈ inter(E, f (x))
donc t ∈ X et t ∈ inter(E, g(y)) donc t ∈ Y . Finalement union(C) =
X ∩ Y et union(C) est une réunion d’intersections finies d’éléments de
S.
• ∅ ∈ T1 . En effet, ∅ = union(∅)
• E ∈ T1 . En effet, E = inter(E, ∅)
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• soit F une partie finie de T1 . Si F = ∅ alors inter(E, F ) = E ∈ T1 .
Si F est le singleton {X} alors X ∈ T1 et inter(E, F ) = X ∈ T1 . Si
F = {X1 , .., Xn } alors inter(E, F ) = X1 ∩ X2 .. ∩ Xn ∈ T1 d’aprés la
preuve faite pour le cas n = 2.
• soit P une partie de T1 . Alors il existe une application f telle que ∀X ∈
P : X = union(f (X)) et tout élément de f (X) est un intersection finie
d’éléments de S. Soit C := l’ensemble des a tels que ∃X ∈ P : a ∈
f (X). Chaque élément de C est une intersection finie d’éléments de S.
Donc union(C) est une réunion d’intersections finies d’éléments de S
et est donc un élément de T1 . Si t ∈ union(P ) alors il existe x ∈ P
tel que t ∈ x et donc t ∈ union(f (x)) donc ∃z ∈ f (x) : t ∈ z et
comme z ∈ C, t ∈ union(C). Réciproquement si t ∈ union(C) alors
∃a ∈ C tel que t ∈ a donc il existe X ∈ P tel que a ∈ f (X) donc
t ∈ union(f (X)) = X ce qui fait que t ∈ union(P ). Il s’ensuit que
union(P ) = union(C) ∈ T1 .
• les points précédents prouvent que T1 ∈ G et donc que T0 ⊆ T1 .
• une intersection finies d’éléments de S est dans T0 . Une réunion d’éléments
de T0 est dans T0 . Conclusion T1 ⊆ T0 .
3
3.1
Sentimentalement (ou intuitivement)
Espaces métriques
Une topologie est une notion qui généralise la notion d’éloignement. Je ne
rappelle pas ce qu’est un espace métrique (notion que je suppose connue),
mais je signale ce qu’on appelle la topologie induite par la métrique et donne
les preuves liées a ça.
Soit donc (E, d) un espace métrique. L’expression boule(x, r) signifie
{y ∈ E/r > d(x, y)}
Soit T l’ensemble des parties X de E telles que ∀x ∈ X∃r > 0 :
Boule(x, r) ⊆ X.
Théorème: T est une topologie sur E.
3
3.2
Preuve
• soit P ⊆ T et a ∈ union(P ). Il existe U ∈ P tel que a ∈ U . donc il
existe r > 0 tel que boule(a, r) ⊆ U . Donc Boule(a, r) ⊆ union(P )
• soit F une partie finie de T . soit x ∈ inter(E, F ). Il existe s telle que
∀U ∈ F : Boule(x, s(U )) ⊆ U et s(U ) > 0. Soit r > 0 tel que ∀U ∈ F :
s(U ) > r. alors ∀U ∈ F : boule(x, r) ⊆ Boule(U, s(U )) ⊆ U et donc
boule(x, r) ⊆ inter(E, F ). Ceci valant pour tout x ∈ inter(E, F ) donc
inter(E, F ) ∈ T .
3.3
Produit d’espaces topologiques
Soit J un ensemble et j ∈ J 7→ (E(j), T (j)) une application qui associe a
chaque j ∈ J un espace topologique (E(j), T (j)) c’est a dire un ensemble
E(j) et une partie T (j) ⊆ P (E(j)) qui est une topologie que E(j)
soit Z un ensemble tel que ∀j ∈ J : E(j) ⊆ Z
L’ensemble E des applications f de J dans Z telles que ∀j ∈ J : f (j) ∈
E(j) s’appelle le produit des E(j)
Soit j ∈ J et U ∈ T (j). On note a(j, U ) := {f ∈ E/f (j) ∈ U }. Soit
S := {X/∃j ∈ J∃U ∈ T (j) : X = a(j, u)}
Alors S est un ensemble de parties de E. La topologie T0 engendrée
par S s’appelle la topologie produit. Précisément, (E, T0 ) s’appelle le produit
topologique de la famille d’espaces topologiques j ∈ J 7→ (E(j), T (j)).
4
Ultrafiltres
Soit E un ensemble. Soit W une partie de P (E). On dit que W est un
ultrafiltre sur E quand les conditions suivantes sont toutes satisfaites:
• ∅∈
/W
• E∈W
• ∀X ∈ W ∀Y ⊇ X : Y ∈ W
• ∀F si F est une partie finie de W alors inter(E, F ) ∈ W
• ∀a ⊆ E : a ∈ W ou (E \ a) ∈ W (***)
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Lorsque la condition (***) n’est pas satisfaite, on se contente de dire que
W est un filtre sur E
Un ultrafiltre est un élément virtuel de l’ensemble E. Soit a ∈ E. alors
Wa (E) := {X ∈ P (E)/a ∈ X} est un ultrafiltre sur E.
Un ultrafiltre U sur E est dit principal quand ∃a ∈ E : U = Wa (E).
Soit E un ensemble f une application de E dans F et W un ultrafiltre sur
E. On notera f [W ] (comprendre image de W par f) l’ensemble des parties
X de F tel que {e ∈ E/f (e) ∈ X} ∈ W .
Lemme: f [W ] est un ultrafiltre. (évident)
Lemme: f [Wa (E)] = Wf (a) (F ) (encore plus évident)
Intuitivement, f [W ] est l’élément virtuel de F qui est obtenu en prenant
l’image f(x) de l’élément virtuel de E représenté par W.
L’intérêt des ultrafiltres (et de la topologie) est d’être utilisé en présence
de l’axiome du choix.
4.1
ultrafiltres et topologies
Soit (E, T ) un espace topologique. Soit W un ultrafiltre sur E, soit a ∈ E.
On dit que a est une limite de W quand pour tout ouvert U ∈ T si a ∈ U alors
U ∈ W . Intuitivement l’élément virtuel représenté par W est superproche de
a.
Par exemple, un ultrafiltre sur IR tel que ∀x, y, si 0 ∈]x, y[ alors ]x, y[∈ W
sera un réel virtuel superproche de 0.
Voici une liste de théorèmes importants, mais basiques, concernant les
ultrafiltres et comment ils trivialisent la topologie.
• si W est un ultrafiltre sur E et union(P ) ∈ W et P fini alors
∃x ∈ P : x ∈ W (exercice)
• si F est un filtre sur E alors il existe un ultrafiltre W sur E
tel que F ⊆ W .
• si ∀F partie finie de Z : E ∩ inter(E, F ) 6= ∅ alors il existe un
ultrafiltre W sur E tel que P (E) ∩ Z ⊆ W
• soit f telle que pour tout ultrafiltre W sur E : f (W ) ∈ W .
Alors il existe un ensemble fini F dont les éléments sont des
ultrafiltres sur E tel que ∀x ∈ E∃W ∈ F : x ∈ f (W )
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• un espace topologique (E, T ) est compact ssi tout ultrafiltre
sur E a une unique limite.
• un espace topologique (E, T ) est quasicompact ssi tout ultrafiltre sur E a au moins une limite.
• un espace topologique (E, T ) est séparé ssi tout ultrafiltre sur
E a au plus une limite.
• les items précédents ont comme corollaire important ce qui
est connu sous le nom de théorème de Tychonoff: tout produit d’espaces quasicompacts est quasicompact et tout produit d’espaces compacts est compact.
• idem autre corollaire trivialisé par les ultrafiltres sont les théorèmes
d’Ascoli. J’ai un peu le flemme de donner une version abstraite, j’en mets une version concrete à la dernière section.
• Soit (E, T1 ) un espace topologique ainsi que (F, T2 ). Soit f une
application de E dans F et a ∈ E. alors f est continue en a ssi
pour tout ultrafiltre W dont la limite est a: l’élément f (a) est
limite de f [W ].
4.2
Preuves
Tout d’abord voici une liste de preuves des petits faits élémentaires (première
sous-section). Puis la deuxième sous-section donne une preuve des points plus
profonds.
4.2.1
Petites preuves des petits faits
• Soit W un ultrafiltre sur E et P un ensemble fini tel que union(P ) ∈ W .
Supposons que ∀X ∈ P : X ∈
/ W . Alors ∀X ∈ P : E \ X ∈ W . Par
conséquent l’intersection quand X parcourt P des E \ X est dans W .
Mais cette intersection est disjointe de union(P ) qui appartient aussi
à W , contradiction.
• Utilisation du lemme de Zorn: exercice, prouver que tout filtre maximal
est un ultrafiltre
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• Supposons ∀F partie finie de Z : E∩inter(E, F ) 6= ∅. Soit G l’ensemble
des parties X de E telles que ∃F qui est une partie finie de Z et telle
que inter(E, F ) ⊆ X. Démontrer que G est un filtre. Il s’ensuit, par
le point précédent qu’il existe un ultrafiltre sur E qui la contient
• Soit f telle que ∀W ultrafiltre sur E : f (W ) ∈ W . Soit Z l’ensemble
des E \ f (W ) quand W parcourt l’ensemble des ultrafiltres sur E. S’il
y a un ultrafiltre W tel que Z ⊆ W , alors en particulier E \ f (W ) ∈ W ,
mais comme f (W ) ∈ W c’est contradictoire. Il s’ensuit qu’il existe une
partie finie (d’après le point précédent) F telle que E ⊆ ∪W ∈ F f (W )
• Soit (E, T ) un espace topologique séparé. Soit W un ultrafiltre et a, b
des limites de W . Soient U, V des ouverts tels que a ∈ U, b ∈ V et
U ∩ V = ∅. On a alors la contradiction que U ∩ V devrait appartenir
à W .
• Réciproquement. Soit (E, T ) un espace topologique tel que tout ultrafiltre a au plus une limite. Soit a, b des points que l’on ne pourrait
pas séparer. Alors l’ensemble Z des U ∩ V quand (U, V ) parcourt
l’ensemble des couples d’ouverts est telle que pour toute partie finie F
de Z : inter(E, F ) 6= ∅. Il existe donc un ultrafiltre W tel que Z ⊆ W .
Or tout ouvert qui contient a oou qui contient b est un élément de W .
Les points a, b sont tous deux limites de W et donc a = b.
Les point précédents étaient les petites choses qu’il faut toujours avoir à
l’esprit. Les preuves suivantes établissent des lemmes plus profonds tout en
étant courtes et elles illustrent de ce fait la puissance de l’outil ultrafiltre.
4.2.2
Preuves des points plus profonds
• soit (E, T ) un espace quasicompact. Soit W un ultrafiltre sur E. Supposons que ∀a ∈ E : a n’est pas une limite de W . alors l’ensemble des
ouverts U tel que U ∈
/ W serait un recouvrement de E. Il y aurait
donc une partie finie F dont les éléments seraient tous des ouverts et
telle que union(F ) ∈ W . Mais alors ∃U ∈ F : U ∈ W contradiction.
• Supposons que tout ultrafiltre sur E admette au moins une limite. Soit
R un recouvrement ouvert, sans sous-recouvrement fini. Soit W un
ultrafiltre tel que ∀F , si F est une partie finie de R alors E \union(F ) ∈
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W . Soit a une limite de W . soit U ∈ R tel que a ∈ U . Comme a est
une limite de W donc U ∈ W , contradiction.
• soit j ∈ J 7→ (E(j), T (j)) une famille d’espaces topologiques quasicompacts. Soit (E, T ) le produit topologique de cette famille. Soit
W un ultrafiltre sur E. En notant proj (f ) := f (j) pour chaque f ∈
E, j ∈ J, soit g(j) une limite de l’ultrafiltre proj [W ]. Soit maintenant
un ouvert U ∈ T tel que g ∈ U . D’après le premier chapitre, U
est une réunion d’intersection finie d’éléments du S définie au chapitre
topologie produit. Il existe une intersection finie V d’éléments de S telle
que g ∈ V . Si V ∈
/ W alors il existe un élément X de S tel que g ∈ X et
X∈
/ W . Un tel élément a été noté a(j, U ) au chapitre topologie produit
et est {f ∈ E/f (j) ∈ U }. On a donc que g(j) ∈ U . Mais g(j) est la
limite de proj (W ). Donc X = {f /f (j) ∈ U } ∈ W , contradiction.
• supposons f continue en a qui est limite de W . Soit U un ouvert tel
que f (a) ∈ U . Soit V un ouvert tel que ∀x ∈ V : f (x) ∈ U . Comme
V ∈ W donc U ∈ f [W ].
• supposons que tout ultrafiltre W de limite a soit tel que f [W ] ait comme
limite f (a). Soit U un ouvert tel que f (a) ∈ U . Soit W un ultrafiltre tel
que ∀V si V est ouvert et a ∈ V alors V ∈ W et C := {x/f (x) ∈
/ U} ∈
W (en supposant qu’il existe). alors a est une limite de W et pourtant
f (a) n’est pas une limite de f [W ] puisque U ∈
/ f [W ]. Contradiction.
L’inexistence de W entraine l’existe d’un ensemble finie F d’ouverts
contenant a tel que inter(E, F ) ∩ C = ∅. Il s’ensuit que l’ouvert V :=
inter(E, F ) vérifie ∀x ∈ V : f (x) ∈ U (et a ∈ V évidemment).
La sous-section suivante décrit une preuve d’une version concrete (mais
qui contient l’essentiel) du théorème d’Ascoli.
4.3
Theoreme Ascoli-like
Soit Z l’ensemble des applications f de [0, 1] dans [0, 1] telles que ∀(x, y) ∈
[0, 1]2 : dist(f (x), f (y)) ≤ 2d(x, y)
On munit Z de la topologie de la convergence uniforme, ce qui signifie
en fait qu’on considère la métrique d(f, g) := supx∈[0,1] |f (x) − g(x)| et qu’on
considère la topologie induite T par cette métrique.
Théorème (d’Ascoli**): (Z, T ) est un espace compact.
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** Les théorèmes d’Ascoli sont juste des versions abstraites obtenues par
la preuve du théorème concret ci-dessous.
4.4
Preuve
Soit W un ultrafiltre sur Z. Pour x ∈ [0, 1], f ∈ Z, notons prox (f ) := f (x).
L’ultrafiltre prox [W ] est un ultrafiltre sur [0, 1] qui a une limite g(x). Ce qui
donne une application g de [0, 1] dans [0, 1].
Il reste à montrer que g est une limite de W et que g ∈ Z. Soient e > 0
et a, b tels que dist(g(a), g(b)) > e + 2d(a, b).
L’ensemble C des f ∈ Z telles que e/100 > dist(f (a), g(a))+dist(f (b), g(b))
et d(f (a), f (b)) ≤ 2dist(a, b) est un élément de W . Et pourtant... Cet ensemble est vide. contradiction. Donc g ∈ Z.
Soit e > 0. Soit A l’ensemble des f ∈ Z telle que ∃x ∈ [0, 1] : dist(f (x), g(x)) >
e. soit s une application de A dans [0, 1] telle que ∀f ∈ A : dist(f (s(f )), g(s(f ))) >
e. Supposons que A ∈ W . Soit b une limite de s[W ]. L’ensemble D des f ∈ Z
telles que: e/100 > dist(f (b), g(b)) + dist(f (b), f (s(f ))) + dist(g(s(f )), g(b))
est tel que D ∈ W . Et pourtant D ∩ A est vide. contradiction. Donc A ∈
/W
et finalement {f ∈ Z : ∀x ∈ [0, 1] : dist(f (x), g(x)) ≤ e} ∈ W . CQFD.
5
Appendice
5.1
Axiomes tacites et régles de preuves
• L’énoncé tout est l’abrévation de l’énoncé tout est vrai. On considére
comme évident que Tout implique n’importe quel énoncé. Le mot tout
ne sera pas forcément écrit en italique dans la suite (c’est chiant). A
noter que les mathematiciens utilisent plutot le mot faux ou le mot
contradiction pour désigner tout. Cela provient du fait que si à un
moment vous avez reussi à obtenir tout à partir des hypothèses faites,
vous pouvez enchainer par un donc CQFD
• si A implique B et B implique C alors A implique C
• si A implique que a implique B alors A implique B
• si A implique que B implique C alors (A et B) implique C (et réciproquement)
• si A implique C et B implique C alors (A ou B) implique C
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• A implique (A ou X)
• si A alors (B implique A)
• si non(non(A)) alors A
• si A alors non(non(A))
• si A implique B alors non(B) implique non(A)
• non(tout) est considéré comme une évidence.
• et ; ou sont commutatifs et associatifs (ce qui veut dire qu’on admet
comme les équivalences de sens: (A et B) == (B et A); A et (B et C)
== (a et B) et C ; idem avec ou).
• Pour prouver A implique B, on considére dans toute la preuve A comme
admis.
• Pour prouver A implique (B implique C), on considére dans toute la
preuve A,B comme admis.
• L’inférence qui consiste a déduire B de A et de A implique B, déja
prouvés avant, sera sans cesse utilisée implicitement ou tacitement.
• etc, etc
5.2
Définitions
• Les expressions de la forme ∀x ∈ A : blabla signifient ∀x : x ∈ A
implique blabla
• Les expressions de la forme ∃x ∈ A : blabla signifient ∃x : x ∈ A et
blabla
• A ⊆ B signifie ∀x : x ∈ A implique x ∈ B. Quand A ⊆ B on dit que
A est une partie (ou encore un sous-ensemble) de B.
• Soit E, A des ensembles. La notation inter(E, A) signifie {x ∈ E/∀y ∈
A : x ∈ y}. La notation union(A) signifie {x/∃y ∈ A : x ∈ y}
• Soit E un ensemble. L’ensemble des parties de E est noté P (E).
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5.3
Rappel de l’axiome d’extensionnalité et de quelques
bases logiques
• axiome: pour tous ensembles a,b: si a ⊆ b et b ⊆ a alors a = b
• a = b signifie Tout ce qui arrive a a arrive aussi a b
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Lemmes
• a=a
Preuve: tout ce qui arrive a a arrive aussi a a.
• Si a = b et b = c alors a = c.
Preuve: b peut dire sans mentir a = moi donc, comme b = c, c ne ment
pas non plus en disant a = moi
• Si a = b alors b = a.
Preuve: a peut dire sans mentir moi = a donc b aussi
• Si a = b alors f (a) = f (b).
Preuve: a peut dire sans mentir f (a) = f (moi), donc b aussi.
• si non(A) alors (A implique tout)
Preuve: si non(A) alors: non(tout) implique non(A) donc non(non(A))
implique non(non(tout)) qui implique tout. Comme A implique non(non(A)),
donc A implique non(non(tout)) qui implique tout.
• si A implique tout Alors non(A).
Preuve: si A implique tout Alors non(tout) implique non(A), et comme
non(tout) donc non(A).
• les points précédents entrAinent qu’il y a équivAlence entre non(A) et
(A implique tout)
• Si (non(A) ou B) Alors A implique B
Preuve:
* si non(A) Alors A implique tout, donc A implique B
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* si B Alors A implique B
* conclusion: si (non(A) ou B) Alors A implique B
• si A implique B Alors (non(A) ou B).
Preuve: on suppose A implique B, et il suffit d’en déduire non(non(non(A)
ou B)), donc de prouver [non(non(A) ou B)] implique tout.
Comme [non(non(A) ou B)], en pArticulier, non (non(A)), donc A.
Comme A implique B donc B. MAis comme [non(non(A) ou B)], en
pArticulier, non(B). Donc B implique tout. Comme B, mAis Aussi B=
implique tout, donc tout. CQFD.
• si non(A implique B) Alors A et non(B)
Preuve: facile et laissé en exo vu ce qui précéde.
• les deux points précédents entrAinent qu’il y a équivalence entre (A
implique B) et [non(A) ou B]
• si non(∀xR(x) Alors ∃x(non(R(x)))
Preuve: supposons non(∀xR(x)). Il suffit de prouver non(non (∃x(non(R(x))))).
On peut donc supposer non (∃x(non(R(x)))) et il suffit d’en déduire
tout. Soit y. alors si non(R(y)) alors ∃x(non(R(x))) et donc tout.
Donc (non(R(y)) implique tout. Donc non(non(R(y))). Ceci valant
pour n’importe quel y donc ∀xR(x). Donc tout. CQFD
• ∃x∀y : (si R(x) alors R(y))
On appelle ça, le phénoméne du ‘buveur ’ ou du ‘témoin ’. L’énoncé
ci-dessus sera noté P.
Preuve: il suffit de prouver la double négation de P, c’est a dire non(non(P)).
Donc il suffit de prouver que (nonP) implique tout. Supposons non(P).
Donc non[∀y : R(toto) implique R(y)]. Donc non(∀yR(y)). Donc il
existe z tel que non(R(z)). Pour un tel z, on a que R(z) implique tout
et en particulier R(z) implique ∀yR(y). Donc P. Or on a supposé que
P implique tout. donc tout, CQFD.
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