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CSMA 2017
13ème Colloque National en Calcul des Structures
15-19 Mai 2017, Presqu’île de Giens (Var)
Association des méthodes MFS et PGD pour la résolution des problèmes transitoires
A. Sogah1,2 , K. Kpogan1,2 , A. Tri3 , N. Mathieu1,2 , H. Zahrouni1,2 , M. Potier-Ferry1,2
1
2
3
LEM3, Université de Lorraine, {amen-amevi.sogah, kekeli.kpogan, norman.mathieu, hamid.zahrouni, michel.potier-ferry}@univ-lorraine.fr
Labex DAMAS, Université de Lorraine, France
Laboratoire de Mécanique/FSAC-ISEM de Casablanca, Maroc, [email protected]
Résumé — On propose dans ce travail un algorithme associant la méthode des solutions fondamentales
(MFS) et la méthode de décomposition propre généralisée (PGD) pour résoudre l’équation de la chaleur
en régime transitoire. La méthode PGD, moyennant une séparation de variables, permet de décomposer
le problème original en un problème en temps résolu par la méthode classique de Runge-Kutta et un
autre en espace approché par la méthode sans maillage MFS. Pour montrer l’efficacité de cet algorithme,
deux exemples sont présentés dans ce travail et leurs résultats sont comparés aux solutions de référence.
Mots clés — Décomposition Propre Généralisée (PGD), Méthode sans maillage, Méthode des Solutions
Fondamentales (MFS), Problème transitoire de la chaleur.
1
Introduction
Dans ce papier, on propose de combiner la méthode sans maillage basée sur la méthode des solutions
fondamentales et la méthode de décomposition propre généralisée pour résoudre les équations aux dérivées partielles instationnaires et en particulier celles qui gouvernent le problème transitoire de la chaleur.
Pour les problèmes instationnaires, la communauté des utilisateurs des solutions fondamentales dans le
cadre des méthodes sans maillage suivent deux voies possibles. La première consiste à utiliser une transformée de Laplace et la seconde utilise directement des solutions fondamentales dépendantes du temps
[4, 5, 6]. Dans le présent travail, on propose une troisième alternative qui consiste à coupler la méthode
MFS avec la méthode PGD. Cette dernière, moyennant une séparation entre le temps et l’espace, permet de réécrire l’équation originale en deux problèmes couplés l’un en temps et l’autre en espace. La
résolution se fait en premier lieu avec une approximation de l’espace par la méthode MFS sachant que
la fonction en temps est supposée connue. L’équation différentielle en temps est ensuite résolue par une
méthode classique de Runge-Kutta. La méthode PGD appartient aux méthodes de réduction de modèles
permettant de réduire la dimensionnalité du problème physique étudié. Chinesta et al. [3] ont largement
contribué au développement de cette technique dans divers domaines des sciences de l’ingénieur. Dans
une récente référence, Bonithon et al. [1] ont couplé la PGD et la méthode BEM (Boundary Element Method). La différence avec la présente étude réside essentiellement dans l’utilisation de la méthode MFS
et par conséquent de la forme forte des équations bien appropriée au contexte de la méthode MFS. Après
une introduction, on présente la formulation du problème de la chaleur instationnaire ainsi que le principe de la méthode PGD suivi d’une courte description de la méthode MFS. Enfin, au travers d’exemples
numériques, nous montrons l’efficacité de l’algorithme proposé.
2
Formulation du problème et la méthode PGD
On considère le problème transitoire de la chaleur avec les conditions aux limites et initiale suivantes :

∂u (x, y,t)


− k∆u (x, y,t) = f (x, y,t)
dans Ω × τ


∂t
(1)
u (x, y,t0 ) = g (x, y)
dans Ω




u (x, y,t) = h (x, y,t)
sur ∂Ω × τ
1
avec Ω un domaine dans l’espace R 2 , ∂Ω sa frontière, τ = [t0 ,tmax ] l’intervalle de temps, u le champ de
température, k le coefficient de conductivité thermique constant, f , g et h sont des fonctions données.
Dans le cadre de la méthode PGD, la solution du problème (1) est recherchée sous la forme de la somme
de couples, constitués du produit d’une fonction spatiale φi et d’une fonction temporelle Ti , c’est à dire :
n
n−1
u (x, y,t) ≈ un = ∑ φi (x, y) Ti (t) =
i=1
∑ φi (x, y) Ti (t) + φn (x, y) Tn (t)
(2)
i=1
Connaissant les (n − 1) premiers couples, nous allons décrire l’algorithme permettant de déterminer les
fonctions φn et Tn . Pour simplifier l’écriture, on réécrit {φn , Tn } = {φ, T } et on introduit la fonction poids
supposée égale à u∗ = φT ∗ + φ∗ T . L’équation (1) est alors décomposée en deux équations, l’une pour
chercher la fonction d’espace φ (x, y) et l’autre permet de déterminer le champ en temps T (t) . En effet,
la stratégie pour calculer le couple {φ, T } se fait en deux étapes. Premièrement, on considère que T est
connue et on détermine φ en résolvant le système suivant :

n−1


i
i

−kα
∆φ
(x,
y)
+
β
φ
(x,
y)
=
h
f
(x,
y,t)
,
T
(t)i
−
−kα
∆φ
(x,
y)
+
β
φ
(x,
y)
dans Ω

t
t
i
i
∑
t
t

i=1
n−1





αt φ (x, y) = hh (x, y,t) , T (t)i − ∑
αti φi (x, y)
(3)
sur ∂Ω
i=1
où

αti =hTi , T i i = 1, ..., n − 1;
 αt = hT, T i;
(4)
dTi
 βt = h dT , T i;
βti =h , T i
dt
dt
On note que h· , ·i représente le produit scalaire. L’équation (3) est alors résolue par la méthode sans
maillage MFS. Par ailleurs, d’autres techniques appropriées peuvent être utilisées. Deuxièmement, une
fois que la solution φ est connue, nous déterminons T (t) en résolvant le système suivant :

n−1 
dT
(t)
dT
(t)
i

i
i


 αx dt − kβx T (t) = h f (x, y,t) , φ (x, y)i − ∑ αx dt − kβx Ti (t)
i=1
(5)
n−1


i


αx T (t0 ) = hg (x, y) , φ (x, y))i − ∑ αx Ti (t0 )

i=1
où
(
αx = hφ (x, y) , φ (x, y)i;
αix =hφi (x, y), φ(x, y)i,
βx = h∆φ (x, y) , φ (x, y)i;
βix
=h∆φi (x, y) , φ (x, y)i
i = 1, ..., n − 1;
(6)
Le système (5) est alors résolu par la méthode de Runge-Kutta.
3
La méthode MFS
Dans cette section, nous proposons de résoudre par MFS le problème (3) pris sous la forme générique
suivante à chaque pas,
(
∆φ (x, y) + γ (x, y) φ (x, y) = F (x, y) dans Ω
(7)
φ (x, y) = B (x, y)
sur ∂Ω
Les fonctions F et B sont données. Le système (7) représente des EDP avec des opérateurs différentiels
à coefficients variables et dont la solution fondamentale n’est pas disponible. Pour la résolution de ce
système, la méthode des équations analogues (AEM) est utilisée pour le transformer en un problème de
Poisson standard. Ceci consiste à maintenir le Laplacien, dont la solution fondamentale est connue, à
gauche et les autres termes sont déplacés au second membre. L’équation (7) devient alors,
2
(
∆φ (x, y) = −γ (x, y) φ (x, y) + F (x, y) = H (x, y, φ)
dans Ω
φ (x, y) = B (x, y)
sur ∂Ω
(8)
qui est facilement résolue par la méthode MFS si la fonction H est connue. Or H dépend de l’inconnue φ,
d’où la nécessité de la méthode MFS-MPS (MPS : méthode des solutions particulières). L’idée suppose
que la solution d’une EDP combine simultanément la solution particulière et la solution homogène. Ceci
permet d’écrire cette solution sous la forme suivante :
Nd
Ns
φ (x, y) ≈ φ̃ = ∑ ηi v (ri ) + ∑ θ j G (ρ j )
i=1
(9)
j=1
où Nd et Ns représentent respectivement les points d’interpolation à l’intérieur du domaine Ω et le nombre
d
s
de points sur la frontière Γ . Les coefficients {ηi }Ni=1
et{θ j }Nj=1
sont des inconnus à déterminer. La
fonction v(r) représente la solution particulière de l’opérateur de Laplace défini par :
∆v(r) = ϕ(r)
(10)
où la ϕ(r) est la fonction de base radiale qui permet d’approcher le second membre de la première
équation (8), ainsi :
Nd
H (x, y, φ) = ∑ ηi ϕ(ri )
(11)
i=1
où ri = k(x, y) − (xi , yi )k, (xi , yi )i=1..Nd sont des points de collocation dans le domaine. On note également
que :
1
(12)
G(ρ j ) = − log(ρ j )
2π
est la solution fondamentale du Laplacien pour le problème 2D caractérisé par,
∆G(ρ) = 0
(13)
Les ρ j = k(x, y) − (xs j , ys j )k, (xs j , ys j ) j=1..Ns représentent les points sources pris sur la frontière fictive Γ
contenant le domaine Ω. Au lieu de chercher la solution particulière et la solution homogène séparément,
d
s
et{θ j }Nj=1
simultanément. En introduisant (9)
nous avons l’intention d’obtenir les coefficients {ηi }Ni=1
dans (8), on a :
Nd
Ns
∑ ηi Ψ(ri ) + ∑ θ j Θ(ρ j ) = F (x, y) dans Ω
(14)
Ψ(ri ) = ∆v(ri ) + γ(x, y)v(ri ) = ϕ(ri ) + γ(x, y)v(ri )
(15)
Θ(ρ j ) = ∆G(ρ j ) + γ(x, y)G(ρ j ) = γ(x, y)G(ρ j )
(16)
i=1
j=1
telles que :
et
Les fonctions Ψ(r) et Θ(ρ) sont connues. L’efficacité et la précision de l’interpolation dépendent du
choix des fonctions de base radiale ϕ . En effet, les polynômes de Lagrange, les interpolants de Fourier,
les fonctions radiales polynomiales, les thin plate splines (TPS) ainsi que les fonctions multi-quadriques
(MQ) peuvent être utilisés. Dans ce travail, on propose d’utiliser les fonctions de base radiales multiquadriques suivantes :
p
ϕ(r) = c2 + r2
(17)
D’où
p
p
1
c3
v(r) = (4c2 + r2 ) c2 + r2 − log(c + c2 + r2 )
(18)
9
3
En 2D, le paramètre c est une constante choisie égale à 1.
Pour la mise en œuvre de cette technique, nous choisissons Nd points intérieurs dans le domaine Ω , Nb
3
points sur la frontière ∂Ω et Ns points sources sur la frontière fictive Γ. Par collocation, on obtient un
système d’ordre (Nd + Ns ) × (Nd + Nb ) à résoudre :
Ψ(ri j ) Θ(ρi j )
η
F
=
(19)
v(ri j ) G(ρi j )
θ
B
d
s
Une fois que les coefficients {ηi }Ni=1
et{θ j }Nj=1
sont déterminés en résolvant le système (19), la solution
approchée est obtenue à partir de (9)
Fictitious boundary
Γ
Boundary domain
R
∂Ω
Nd
Collocation points
C
Domain
Ω
Nb
Ns
F IGURE 1 – Points de collocation, domaine Ω, bord réel ∂Ω et bord fictif Γ.
4
Exemples Numériques
Pour montrer l’efficacité de l’algorithme développé dans les sections précédentes, on résout l’équation de chaleur en régime transitoire pour différentes fonctions sources, géométries et conditions initiales
et aux limites. La convergence de la méthode PGD et celle de la méthode MFS en fonction d’un certain
nombre de paramètres seront présentées et en particulier, on va étudier l’influence des paramètres R, Ns
et Nd . On note que nt représente le nombre de pas de discrétisation en temps et nφT est le nombre d’enrichissement correspondant au nombre de couple {φ, T } nécessaire pour obtenir une bonne approximation
de la solution. Pour s’assurer d’avoir une meilleure solution, on détermine les erreurs suivantes :
en =
kun − uexact k
kuexact k
(20)
En =
|un − uexact |
kuexact k
(21)
et
4.1
Exemple 1 : Fonction source constante
Dans ce test, on considère un domaine carré Ω = [0, 1] × [0, 1] avec des conditions initiales et aux
limites homogènes. Dans ce problème la fonction source f (x, y,t) est choisie égale à 1 et la solution
exacte est donnée alors par :
Z 0.3 Z 1 Z 1
uexact =
0
0
G̃(x, y, x̄, ȳ,t − t¯)d x̄d ȳdt¯
0
∞
2 2
2
avec G̃(x, y, x̄, ȳ, ξ) = 4 ∑∞
i=1 ∑ j=1 sin(iπx) sin(iπy) sin(iπx̄) sin(iπȳ) exp(−π (i + j )ξ)
Pour étudier l’influence des différents paramètres de discrétisation MFS, nous avons calculé l’erreur
en en fonction de R, Ns et Nd . Sur la figure 2, on reporte l’erreur en en fonction du rayon de la frontière
fictive R en fixant Nd = 45 pour Ns = 12 et Ns = 30. On constate qu’on a une bonne approximation de
la solution à partir de R = 2 et l’erreur se stabilise autour de 10−5 au-delà de R = 5. La figure 3 montre
qu’en fixant R et Nd , l’erreur en diminue lorsque Ns augmente. De même, on remarque d’après la figure 4
que l’erreur en s’améliore en augmentant le nombre de point Nd et se stabilise autour de Nd = 50. A noter
4
que les calculs MFS sont donnés pour un nombre d’enrichissement nφT = 2. Pour étudier l’influence
de cet enrichissement, on a fixé les paramètres MFS et on a tracé sur la figure 5, l’erreur relative En
pour différentes valeurs nφT . On remarque pour t = 0.015s que, En est de l’ordre de 10−1 pour nφT = 1
et atteint 3.10−3 pour nφT = 8 pour se stabiliser autour de 10−3 pour nφT ≥ 10. L’erreur PGD diminue
lorsque nφT augmente. On conclut alors que l’erreur diminue lorsque les points de collocation Nd , les
points source Ns et le nombre d’enrichissement nφT augmentent avant saturation.
F IGURE 2 – L’erreur relative en en fonction du rayon R de la surface fictive (Nd = 45)
F IGURE 3 – L’erreur relative en en fonction du nombre de points source Ns (Nd = 45)
5
F IGURE 4 – L’erreur relative en en fonction du nombre de points de collocation Nd (R = 3)
F IGURE 5 – L’erreur relative En pour différents couples de fonction {φi , Ti } à l’instant t = 1.510−2 ,
nt = 50, Nd = 30, Ns = 30 et R = 3. (a) Un couple de fonction, (b) Deux couples de fonction, (c) Six
couples de fonction, (d) Huit couples de fonction
6
4.2
Exemple 2 : Fonction source non séparable
On considère un domaine carré Ωd = [−0.5, 0.5] × [−0.8, 0.8] avec une cavité rectangulaire Ωc =
[−0.05, 0.05] × [−0.4, 0.4] et par suite le domaine étudié est donné par Ω × τ = (Ωd /Ωc ) × [0, 0.1].
La solution approchée est comparée à la solution exacte uexact = log (x + y + t + 2) correspondant à la
1
2
fonction source non séparable f (x, y,t) =
+
.
t + x + y + 2 (t + x + y + 2)2
La condition initiale et aux limites correspondent à la solution exacte. Ce problème est discrétisé en 112
points de collocation, 26 points sur la frontière extérieure et 18 points sur la frontière interne. L’intervalle
de temps τ est uniformément discrétisé en nt = 20. Sur la Figure 6, on montre que l’erreur relative En
diminue lorsque nφT augmente. A noter aussi que pour une fonction à variable séparée, on a besoin de
moins d’enrichissement pour une meilleure approximation.
F IGURE 6 – L’erreur relative En pour différents couples de fonction {φi , Ti } à l’instant t = 0.1. (a) Un
couple de fonction, (b) Deux couples de fonction, (c) Quatre couples de fonction, (d) Huit couples de
fonction
5
Conclusion
Dans ce travail, nous avons proposé un algorithme combinant la méthode de solutions fondamentales
et la technique de décomposition propre généralisée pour résoudre l’équation transitoire de la chaleur.
A l’aide de la PGD, nous avons transformé le problème initial en deux problèmes, l’un en temps que
nous avons résolu par la méthode de Runge Kutta et l’autre en espace résolu par MFS. Nous avons
testé l’efficacité de l’algorithme proposé et nous avons analysé l’influence des différents paramètres de
discrétisation de la MFS pour différents domaines et différentes conditions aux limites et initiales. Nous
avons montré que seuls quelques termes d’enrichissement par la méthode PGD sont nécessaires pour
7
obtenir une meilleure convergence de la solution. Les résultats obtenus sont en bon accord avec ceux de
la référence. Des travaux sont en cours pour étendre cette technique aux problèmes non linéaires 2D et
3D en associant cette procédure avec la méthode asymptotique numérique.
Références
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models based on the use of the proper generalized decompositions, Engineering Analysis with Boundary
Elements, 2–17, (2011) .
[2] G. Burgess, E. Mahajerin, Transient heat flow analysis using the fundamental collocation method, Applied
Thermal Engineering, 893–904, (2003) .
[3] F. Chinesta, A. Ammar, E. Cueto, Proper generalized decomposition of multi- scale models, International
Journal for Numerical Methods in Engineering,1114–1132, (2010).
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Boundary Element Technology XIII, 377–386, (1999) .
[5] J. A. Kołodziej, M. Mierzwiczak, Transient heat conduction by different versions of the Method of Fundamental Solutions – a comparison study, Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences,75–88 (2010).
[6] Mahajerin, G. Burgess, A Laplace transform-based fundamental collocation method for twodimensional transient heat flow, Applied Thermal Engineering,101–111 ,(2003) .
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nonlinear poisson problems, Engineering Analysis with Boundary Elements, 1705–1714,(2012).
[8] D. L. Young, C. C. Tsai, K. Murugesan, C. M. Fan, C. W. Chen, Time-dependent fundamental solutions for
homogeneous diffusion problems, Engineering Analysis with Boundary Elements, 1463–147328, (2004) .
8