1ère S

Tale S
Chapitre n° 12
ÉTUDE DE MOUVEMENTS PLANS
DANS UN CHAMP DE PESANTEUR
I- Introduction
1°)Un peu d’histoire
•
Pour Aristote, (384 – 322) av. J.C.), un projectile qui a été lancé a un mouvement qui se décompose en
deux parties rectilignes : le mouvement «
» dû à une action extérieure qui fait monter le
projectile, puis le mouvement «
» au cours duquel le projectile va vers le bas.
•
Galilée (1564 – 1642) fait une étude expérimentale du mouvement d’un corps qui a été lancé et montre
géométriquement que
•
C’est grâce aux lois de Newton (1642 – 1727) que la modélisation du mouvement permet d’obtenir
2°)Un peu de mathématique
Une ellipse est l’ensemble des points P défini par :
où
AA’ = 2.a est
et
BB’ = 2.b est
L’excentricité e de l’ellipse est définie par :
B
P
b
a
A
FF'
e=
AA'
O
F
A'
F’
Si l’excentricité est nulle, l’ellipse devient
B'
II- La chute libre parabolique
1°) Présentation
Considérons un solide S soumis à une impulsion initiale, donc ayant une
vitesse initiale non nulle, faisant un angle α avec l’axe horizontal.
α
2°) Les équations horaires paramétriques du mouvement
• Système étudié :
• Référentiel utilisé :
• Force(s) extérieure(s) appliquée(s) au système :
• D’après la deuxième loi de Newton :
z
x
O
soit
soit
Si le solide S est assimilé à un système ponctuel, nous avons :
  
• Projetons cette équation vectorielle sur le système d’axes (O ; i , j , k ) :












soit
Rq. : Ces équations constituent
• Par intégration, la vitesse s’exprime par :






soit






Rq. : La vitesse selon l’horizontale est
La vitesse selon la verticale est
: le mouvement horizontal est
: le mouvement vertical est
(comme pour une chute libre verticale).
-1-
• Par intégration, les coordonnées x, y et z s’expriment par :






Comme le solide a débuté son mouvement à l’origine du repère, nous obtenons :






3°) L’équation cartésienne de la trajectoire
• Définition : l’équation cartésienne de la trajectoire est une relation mathématique indépendante du temps
entre les coordonnées du point mobile.
• Nous avons :
donc
Donc :
soit
Rq. : L’équation du mouvement étant de la forme z = a.x2 + b.x + c, la trajectoire est
4°) Caractéristiques de la trajectoire
a) Notion de portée
1- Définition
2-
Détermination de la portée
z
h
xS
O
x
xMax
• En utilisant l’équation cartésienne, et sachant que l’origine des cotes est prise au départ du solide,
nous obtenons :
soit
soit
xMax =
ou
soit
soit
• Comme sin(2.α) = 2.sinα.cosα alors
-2-
3-
Propriétés
• La portée est donc
• La portée est maximale lorsque sin(2.α) =
soit
2.α =
• Déterminons la vitesse du solide lors de l’impact au sol, définie par :
- Nous avons :
α=
soit
- Lors de l’impact :
Comme x = (v0.cosα).t
alors :
soit :
Donc :
soit
- La vitesse du solide s’exprime donc par :
soit
soit
soit
: la vitesse du solide lors de l’impact est donc
(dans le cas d’une absence de force de frottement).
b) Notion de flèche
1- Définition
2-
Détermination de la flèche
• L’abscisse du sommet xS peut s’obtenir en écrivant :
ce qui donne, d’après l’équation cartésienne de la trajectoire :
soit
soit
soit
Nous avions (§ 4°)a)2-)
alors
• En réutilisant l’équation cartésienne de la trajectoire, nous obtenons :
soit
soit
c) Remarque de réalisme
Si les frottements de l’air ne sont plus négligés :
• la trajectoire
• la portée et la flèche
III- Les lois de Kepler
1°)Le référentiel héliocentrique
  
Le repère (S ; I , J , K ) attaché au référentiel héliocentrique est défini par
le centre du Soleil S, et trois axes dont les directions sont données par trois étoiles
lointaines E1,E2 et E3.
Ce repère peut être assimilé à un repère galiléen pour des durées de
quelques années.
-3-
(E3)
(E2)
(E1)
S
2°)La première loi de Kepler ou loi des orbites
Rq. : A l’exception de Mercure et de Pluton, les ellipses que décrivent les centres des planètes ont une très faible
excentricité, et on peut considérer que
3°)La deuxième loi de Kepler ou loi des aires
l1
P
b
A1
A3
a
A
O
F1
F2
l3
A : Périhélie
A' : Aphélie
A'
A2
l2
4°)La troisième loi de Kepler ou loi des périodes
Le carré de la durée d’une révolution T d’une planète (ou d’un satellite) est proportionnel au cube de la longueur
du demi - grand axe de l’ellipse a :
où KS est une constante qui ne dépend pas de la planète considéré.
KS = 2,97.10-19 s2.m-3 pour toutes les planètes du système solaire
KJ = 3,11.10-16 s2.m-3 pour tous les satellites de Jupiter
IV- Application de la deuxième loi de Newton aux satellites et planètes
1°)Le vecteur accélération
• Un système ponctuel ou solide, en mouvement circulaire de rayon r, a une accélération (dans la base de Frenet


(G ; T , N )) définie par :
• Dans le cas d’un mouvement circulaire et uniforme, l’accélération tangentielle est nulle, donc :
Comme v et r sont deux constantes, l’accélération est
et dirigée vers l’intérieur de la concavité) et
(c’est-à-dire normale à la trajectoire
2°)Nature du mouvement d’une planète
a) Notion de force centripète
• Système étudié :
• Référentiel utilisé :
• Force(s) extérieure(s) appliquée(s) au système :
P
r
FSP
uSP
S
• D’après la deuxième loi de Newton :
soit
soit
soit
Conclusion 1 : Comme une planète est soumise à une force radiale, le vecteur accélération de son centre
d’inertie est
Conclusion 2 : Comme le vecteur accélération de son centre d’inertie est constamment dirigé vers le centre du
Soleil, la planète est soumise à une force
b) Modélisation du mouvement
1- Principe
Nous avons vu dans le § IV-1°) qu’un système en mouvement circulaire et uniforme possédait une
accélération centripète. Comme cela est le cas pour une planète, ce type de mouvement est alors une des solutions possibles
des équations découlant de l’application de la deuxième loi de Newton. (Une autre solution courante étant le mouvement
elliptique).Quelle condition sur la vitesse cela impose-t-il alors ?
2-
Vitesse d’une planète en mouvement circulaire et uniforme
• L’application de la deuxième loi de Newton nous a conduit à la relation :
-4-
• Or l’accélération d’un système en mouvement circulaire et uniforme s’écrit :
• Donc :

• Comme N et u SP ont même direction mais sens contraire, nous avons alors :
Soit
Rq. 1 : G, MS et r étant des constantes,
Rq. 2 : Pour un satellite de la Terre, la vitesse s’exprime par :
Rq. 3 : La vitesse d’un objet en orbite (une planète ou un satellite) est
3°)Période de révolution
a) Définition
b) Expression
• La vitesse de déplacement d’un système est définie par :
•
soit
La période de révolution s’écrit donc :
soit
où M est la masse du solide au centre de la trajectoire
soit
soit
Rq. 1 : Pour un satellite de la Terre, la période de révolution s’exprime par :
Rq. 2 : Cette relation nous montre que
2
Rq. 3 : A partir de la relation T =
4.π 2 .r 3
, nous pouvons retrouver la troisième loi de Kepler :
G.M
Comme G et M sont des constantes, nous avons bien :
c) Cas des satellites géostationnaires
• Un satellite géostationnaire a une période de révolution égale à la période de rotation propre T 0 de la
Terre, soit T = 1 jour sidéral soit T = 23 h 56 min. 4 s soit T = 86164 s
• Déterminons l’altitude zS d’évolution de ce type de satellites.
La période de révolution correspondante T est définie par :
soit
soit
soit
A.N. :
soit
zS ≅
m
soit
zS ≅
km
Rq. : L’origine des altitudes est prise au niveau du sol.
• Déterminons la vitesse vS des satellites géostationnaires.
Nous avons montré que
A.N. :
4°)État d’impesanteur dans un satellite
• L’étude du mouvement d’un système en orbite autour de la Terre ( § IV-2°) a) ) a conduit à écrire :
• Cette accélération est
à l’intérieur possède donc
: un satellite et tout objet
, et donc
• Conclusion : tout objet à l’intérieur d’un satellite semble alors « flotter » : ils sont en
, mais en fait en chute libre !
-5-