Chapitre 8 : Application des lois de Newtoon et de Kepler

Chapitre 8 Application des lois de Newton et de Kepler Comment déterminer l’équation de la trajectoire d’un système dans un champ de pesanteur uniforme à partir de la deuxième loi de Newton et des vecteurs accélération, vitesse et position ? Comment déterminer l’équation de la trajectoire d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme à partir de la deuxième loi de Newton et des vecteurs accélération, vitesse et position ? Comment déterminer le mouvement des satellites et des planètes : -­‐ a partir de la deuxième loi de Newton ? -­‐ a partir des trois lois de Kepler ? I)
Mouvement d’un système dans un champ de pesanteur uniforme On traitera ce paragraphe a partir d’un exemple : le lancé d’une balle de tennis. Tous le but va être d’établir l’équation de la trajectoire de la balle a partir de la deuxième loi de Newton : on va démontrer que cette trajectoire est une portion de parabole ou une parabole (équation du second degré). L’étude se fait toujours dans un repère orthonormé 𝑂, 𝚤, 𝚥, 𝑘 et la vitesse initial est Vo choisi toujours dans 𝑂, 𝚤 ,𝚥. -­‐ système étudie : c’est la balle modéliser par son centre d'inertie -­‐ référentielle choisi : référentielle terrestre considéré comme galiléen -­‐ bilan des forces exercés sur G : le poids P de la balle, les forces exercées par l’air sur la balle Fair/balle Or on montre facilement que Fair/balle est très petite devant le poids P donc la balle n’est soumise qu’à son poids, on dit qu’elle est en chute libre. Conditions initiales : Première : la balle a une vitesse V0 a T = 0 Deuxième : on considère qu’a T = 0, G se nomme G0 et il est confondu avec O (du repère), d’ou OG0 (0 ; 0 ; 0). Etablissons l’équation de la trajectoire de la balle à partir de la deuxième loi de Newton, en écrivant la deuxième loi de Newton dans le référentielle terrestre on a : Pour obtenir l’équation de la trajectoire y = f(x) on va éliminer le paramètre temps entre y et x. II)
Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique Soit une particule de masse m de charge électrique q placé dans un champs électrostatique uniforme E. on considèrera comme dans le cas précèdent que le mouvement est plan. -­‐ Système étudié : la particule chargée -­‐ Référentiel choisi : terrestre considéré galiléen -­‐ Bilan des forces extérieurs exercé sur la particule : la force électrostatique Fe=qE, le poids P de la particule P = mg puis les forces exercés par l’aire sur la particule. Or ces deux derniers forces sont très faibles par rapport a Fe (faire exercice 20, page 176) -­‐ Application de la deuxième loi de Newton. Si q est négatif comme E et m sont toujours positif alors ay est négatif, d’ou a sera descendant. Si q est positif alors ay sera positif, d’ou a sera ascendant. III)
Mouvement des satellites et des planètes 1) Par la seconde loi de Newton Soit un satellite S de masse m qui tourne autour de la terre de centre O et masse Mt. Seule la force d’attraction gravitationnelle de la terre sur la satellite s’exerce. En appliquant la seconde loi de Newton on va montrer que le mouvement est uniforme puis calculer V, montrer que cette vitesse du satellite est indépendante de sa masse, mais dépend du rayon r = OS, et que lorsque r augmente, V diminue. Enfin on va calculer la période t du satellite et montrer que t est indépendant de m mais dépend de r. -­‐
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Système étudier : satellite S Référentiel choisi : géocentrique considère comme galiléen lié au repère S t n Bilan des forces extérieurs : essentiellement la force gravitationnelle exercé par la terre sur le satellite (toute les autres forces sont négligeables) Application de la seconde loi de Newton : Pour calculer t, période de révolution du satellite on utilise la relation suivante v = d / t, d’ou T = d / v, or d = 2πr, d’ou T = (2πr)/v, mais v = racine((GMt)/r), Donc T = (2πr/( acine((GMt)/r)) On remarque que t est indépendante de la masse du satellite mais qu’elle dépend de r, en effet quand r augmente t augmentera. Le mouvement d’un satellite autour de la terre est un mouvement circulaire uniforme dont la valeur de la vitesse et de la période sont indépendante de la masse du satellite mais ne dépend que du rayon de la trajectoire et de la masse de la terre. 2) Par les lois de Kepler Première loi de Kepler, loi des orbites : dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de gravité d’une planète est presque toujours une ellipse dont l’un des foyers est toujours le centre de gravité du soleil. Si les deux foyers F et F’ sont confondus alors l’ellipse devient un cercle et les foyers deviennent le centre du cercle : le cercle est donc bien une ellipse particulière. Deuxième loi de Kepler, loi des aires : le segment de droite qui relie le centre de gravité du soleil et d’une planète balaie des aires égales lorsque les durées (de balayage) sont égales. Remarque, la vitesse d’une planète n’est jamais constante : plus elle se rapproche du soleil et plus elle va vite. Troisième loi de Kepler, loi des périodes : pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre le carré de la période de révolution t de la planète et le cube de la longueur a du demi grand axe de l’ellipse est toujours constant. T2 / a3 = constante. Cas particulier d’une trajectoire circulaire : si la trajectoire de la planète autour du soleil devient circulaire et non elliptique alors l’expression T2 / a3 = constante devient T2 / r3 = (4π2) / G Ms = constante. Remarque : le rapport T2 / r3 dépend uniquement de la masse du soleil et non de la planète, la masse du soleil peut donc être connu des lors que l’ont connaît la période de révolution t d’une planète et le rayon r de sa trajectoire autour d’une planète. Toute ces lois peuvent être généralisés a toute planète ou a tout satellite qui tourne autour d’une planète de masse M. Exercices conseillers chapitre 6 sur le livre : 9 10 12 15 17 21 22 23 24 25