Quatrième exercice Pondichéry avril 2009

Ultrabac Terminale S - Quatrième exercice du sujet obligatoire Pondichéry avril 2009
On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en
apparence identiques mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué, la
1
probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à .
3
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. On lance le dé équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire
donnant le nombre de 6 obtenus.
a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?
b. Quelle est son espérance ?
c. Calculer p ( X = 2 ) .
1.a Ce dé étant bien équilibré, la probabilité d'obtenir chacune des six faces est de
1
.
6
Les trois lancers successifs du dé équilibré sont indépendants les uns des autres.
Ils constituent un schéma de Bernoulli de trois épreuves où l'épreuve de Bernoulli est :
On obtient 6
1/6
On lance le dé équilibré
Page 1 sur 3
2. On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé
choisi trois fois de suite.
On considère les événements D et A suivants :
D : «le dé choisi est le dé bien équilibré».
A : «obtenir exactement deux 6».
a. Calculer la probabilité des événements suivants :
«choisir le dé équilibré et obtenir exactement deux 6».
«choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6».
(On pourra construire un arbre de probabilité).
7
b. En déduire que p ( A ) =
.
48
c. Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a
obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ?
Si l'on lit bien l'énoncé, ce qui nous intéresse une fois le dé choisi, c'est la réalisation ou
pas de l'événement A.
Nous connaissons déjà la probabilité d'obtenir exactement deux 6 au cours de trois
lancers successifs avec le dé équilibré. Voyons ce qu'il en est avec le dé truqué.
Comme pour son collègue équilibré, les trois lancers successifs du dé pipé constituent
aussi un schéma de Bernoulli de trois épreuves :
5/6
On obtient 6
1/3
On obtient 1; 2;3; 4 ou 5
Par conséquent, la variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de 6 obtenus lors des
1
trois lancers suit la loi binomiale de paramètres n = 3 et p = .
6
1.b D'après un résultat du cours, l'espérance mathématique de la variable aléatoire X
1
qui suit la loi binomiale de paramètres n = 3 et p = est donnée par :
6
1 1
E (X) = n × p = 3× =
6 2
1.c Enfin, toujours d'après un résultat du cours, la probabilité d'obtenir exactement deux
6 au cours des trois lancers est donnée par :
2
1
 3  1   5 
3 × 2 1 25 6 1 5
5
p ( X = 2) =   ×   ×   =
× ×
= × × =
2! 36 6
2 36 6 72
 2  6   6 
Conclusion : la probabilité d'obtenir exactement deux 6 au cours des trois lancers est de
5 chances sur 72.
On lance le dé truqué
2/3
On obtient un autre nombre
Si on appelle Y la variable aléatoire comptabilisant le nombre de 6 obtenus au cours des
1
trois lancers, sa loi de probabilité est la loi binominale de paramètres n = 3 et p = .
3
La probabilité d'obtenir deux 6 au cours des trois lancers est alors donnée par :
2
2
 3  1   2 
1 2 2
p ( Y = 2) =   ×   ×   = 3× × =
9 2 9
 2  3   3 
2.a La situation exposée dans cette question est représentée par l'arbre pondéré se
trouvant en début page 2.
D'après cet arbre, nous pouvons écrire :
1 5
5
p ( «choisir le dé équilibré et obtenir exactement deux 6») = p ( D ∩ A ) = ×
=
2 72 155
(
)
p ( «choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6».) = p D ∩ A =
1 2 1
× =
2 9 9
Ultrabac Terminale S - Quatrième exercice du sujet obligatoire Pondichéry avril 2009
L'arbre pondéré représentant la situation évoquée dans cette seconde question est :
On lance le dé choisi
trois fois de suite
On choisit l'un des
deux dés au hasard
Page 2 sur 3
Lorsque l'on choisit le dé équilibré, quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 au
cours de n lancers successifs ? C'est un peu la question 1 étendue de trois à n lancers.
Ces n lancers forment un schéma de Bernoulli de n épreuves.
L'épreuve de Bernoulli est toujours la même :
On obtient 6
A : on obtient deux 6
1/6
5/72
D : on lance
le dé équilibré
On lance le dé équilibré
5/6
67/72
1/2
A : On obtient autre chose
A : on obtient deux 6
1/2
2/9
D : on lance
le dé truqué
7/9
A : On obtient autre chose
On obtient 1; 2;3; 4 ou 5
Si on re-note X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de 6 obtenus lors des n
1
lancers, sa loi de probabilité est la loi binomiale de paramètres n et p = .
6
Par conséquent, la probabilité d'obtenir au moins un 6 lors des n lancers est donnée par :
p ("Au moins un 6") = 1 − p ( "Aucun 6")
L'événement contraire de
p ( x ≥ 1) = 1 − p ( X = 0 )
2.b Les événements D et D formant une partition de l'univers des probabilités, nous en
déduisons en application de la formule des probabilités totales :
5
1
5
16
21
7
p (A) = p (A ∩ D) + p A ∩ D =
+ =
+
=
=
144 9 144 144 144 48
(
)
2.c Dans cette question, on cherche la probabilité que l'événement D (choix du dé
truqué) se réalise sachant que l'événement A (deux 6 obtenus) est réalisé. On cherche
une probabilité conditionnelle.
1
p D∩A
1 48 1 16 16
p D sachant A =
= 9 = ×
= × =
7
p (A)
9 7 3 7 21
48
(
)
(
)
3. On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n
fois de suite. n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On note Bn l'événement «obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs».
a. Déterminer, en fonction de n, la probabilité p n de l'événement Bn .
b. Calculer la limite de la suite ( p n ) . Commenter ce résultat.
"au moins un" est "aucun".
0
Bn sachant D
n
n
n  1   5 
5
5
= 1 −   ×   ×   = 1 − 1× 1×   = 1 −  
6
6
0  6   6 
n
Intéressons-nous à présent au dé truqué. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6
lors des n lancers ? C'est la question 2 qui recommence avec n lancers au lieu de 3.
Là encore, l'épreuve de Bernoulli n'a pas changé :
On obtient 6
1/3
On lance le dé truqué
2/3
On obtient un autre nombre
Si on re-désigne par Y la variable aléatoire comptant le nombres de 6 obtenus lors des n
1
lancers, sa loi de probabilité est la loi binomiale de paramètres n et p = .
3
Dans le cas du dé truqué, la probabilité d'obtenir au moins un 6 en n lancers est alors :
p ("Au moins un 6") = 1 − p ( "Aucun 6")
p ( Y ≥ 1) = 1 − p ( Y = 0 )
3.a Dans cette question, on généralise de trois à n lancers la situation évoquée dans la
question 2.
0
Bn sachant D
n
n  1   2 
2
= 1−   ×   ×   = 1−  
0
3
3
3
     
n
Ultrabac Terminale S - Quatrième exercice du sujet obligatoire Pondichéry avril 2009
Au final, la nouvelle situation peut être représentée par l'arbre pondéré suivant :
On lance le dé choisi
n fois de suite
On choisit l'un des
deux dés au hasard
5
1−  
6
D : on lance
le dé équilibré
5
6
 
1/2
n
Bn : on n'obtient aucun 6
2
1−  
3
1/2
D : on lance
le dé truqué
2
3
 
Bn : on obtient
au moins un 6
n
Bn : on obtient
au moins un 6
n
n
Bn : on n'obtient aucun 6
Les événements D et D formant toujours une partition de l'univers des probabilités,
nous en déduisons en application de la formule des probabilités totales :
(
p ( Bn ) = p ( Bn ∩ D ) + p B n ∩ D
)
( ) (
= p ( D ) × p ( Bn sachant D ) + p D × p Bn sachant D
=
)
n
n
n
n
1  5  1  2 
1  2   5  
×  1 −    + ×  1 −    = 1 − ×   +   
2  6  2  3 
2  3   6  






3.b La question précédente nous a permis d'établir :
n
n
1  2   5  
p n = 1 − ×   +   
2  3   6  


n
n
2
5
Lorsque n tend vers +∞ , les deux suites géométriques   et   tendent toutes
3
6
deux vers 0 car leurs raisons sont comprises strictement entre 0 et 1. Il vient alors :
n
n
1  2   5  
1
lim p n = lim 1 − ×   +    = 1 − × 0+ + 0+  = 1 − 0+ = 1

2  3   6  
2 
n→+∞
n →+∞


Commentaire : plus le nombre n de lancers est grand, plus la probabilité d'obtenir au
moins un 6 est proche de 1. Etonnant non ?
Interrogation du correcteur :
C'est quoi cette question à la c... ?
Page 3 sur 3