Terminale S Durée : 1h00 10 points On dispose de deux dés

D EVOIR SURVEILLÉ N°
Durée : 1h00
Terminale S
10 points
E XERCICE :
On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir
1
6 lors d’un lancer est égale à .
3
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant
le nombre de 6 obtenus.
a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?
b. En déduire l’espérance de la variable aléatoire réelle X ?
c. Calculer P (X = 2).
2. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi
trois fois de suite.
On considère les évènements D et A suivants :
• D « le dé choisi est le dé bien équilibré » .
• A : « obtenir exactement deux 6 ».
a. Calculer la probabilité des évènements suivants :
• « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » .
• « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
(On pourra construire un arbre de probabilité).
7
b. En déduire que : p(A) = .
48
c. Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu
exactement deux 6. Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?
3. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n fois de
suite (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).
On note B n l’évènement « obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs ».
a. Déterminer, en fonction de n, la probabilité p n de l’évènement B n .
¡ ¢
b. Calculer la limite de la suite p n . Commenter ce résultat.
2011-2012
1
Florent Lebreton
C ORRIGÉ DE L’ EXERCICE
1.
a. Il s’agit d’une expérience à deux issues avec une probabilité de succès p =
1
et une proba6
5
que l’on répète de manière indépendante 3 fois. X représente le nombre
6
de succès et suit donc une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 16 .
bilité d’échec q =
b. L’espérance d’une loi binomiale de paramètres n et p est np.
1 1
Donc E (X ) = 3 = .
6 2
1
c. Comme X suit une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = , on a :
6
à !
5
3 2 1
5
P (X = 2) =
p q = 3× 3 = .
2
6
72
2.
a.
5/72
A
1/2
D
A
2/9
A
1/2
D
A
L’événement « choisir le dé équilibré et obtenir exactement deux six » correspond à D ∩ A.
5
1 5
=
.
D’où p(D ∩ A) = p(D) × p D (A) = ×
2 72 144
L’événement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux six » correspond à D ∩ A.
D’où p(D ∩ A) = p(D) × p D (A).
On utilise un raisonnement analogue au 1.c.,
à !
3 02 01
1
p q où p 0 = .
p D (A) =
2
3
1 2 1
2
Donc p D (A) = et p(D ∩ A) = × = .
9
2 9 9
16
21
7
5
+
=
= .
144 144 144 48
p(D ∩ A) 1 48 16
c. Il s’agit de calculer p(D sachant A) =
= ×
= .
p(A)
9 7
21
µ ¶n
µ ¶n
5
2
n
a. p D (B n ) = 1− p D (« n’obtenir aucun 6 ») = 1− q = 1−
. De même p D (B n ) = 1−
. On
6
3
applique alors la formule des probabilités totales : µ ¶
µ ¶
1 5 n 1 2 n
p n = p(B n ) = p(D) × p D (B n ) + p(D) × p D (B n ) = 1 −
−
.
2 6
2 3
2
5
2
b. ( 56 )n tend vers 0 et ( )n tend aussi vers 0 car et appartiennent à l’intervalle ] − 1; 1[.
3
6
3
Donc p n tend vers 1. Ce résultat est prévisible car, quel que soit le dé, à condition de jouer
suffisamment longtemps, on a une quasi certitude d’obtenir au moins une fois un 6. (ici,
p 22 > 0, 99 et p 100 ≈ 1).
b. On en déduit que p(A) = p(D ∩ A) + p(D ∩ A) =
3.
2011-2012
2
Florent Lebreton