algebre classes preparatoires et universitee tome 2
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ALGEBRE CLASSES PREPARATOIRES ET UNIVERSITEE TOME 2 EXERCICES AVEC SOLUTION J. RIVAUD TABLE DES MATIERES TOME I CHAPITRE UN ENSEMBLES. APPLICATIONS. RELATIONS DENOMBREMENT Algèbre des ensembles I Inclusion. Réunion. Intersection II Différence de deux ensembles III Emploi d'un référentiel. Calculs booléens IV Ensemble P(P(E)). Familles de parties V Fonction caractéristique d'une partie de E Applications VI Image directe et image réciproque d'une partie VII Composition des applications VIII Application de E dans E. Parties stables IX Famille de Moore. Application associée dans P(E) Correspondances. Relations binaires. RelatIons d'équivalence X Correspondance de E vers F XI Relation binaire sur un ensemble XII Relation d’équivalence XIII Equivalence associée à une application. Décomposition canonique Relation d'ordre XIV Exemples d'ensembles ordonnés XV Borne supérieure, borne inférieure d'une partie de E XVI Demi-treillis. Treillis Problèmes de dénombrement XVII Formule des quatre cardinaux. Applications XVIII Combinaisons. Formule du binôme XIX Combinaisons avec répétition XX Formules sommatoires. Récurrences CHAPITRE DEUX I II 11 14 17 24 26 29 32 35 37 43 46 47 49 52 57 61 64 67 71 75 LOI DE COMPOSITION SUR UN ENSEMBLE loi interne. Propriétés générales Exemples de lois. Isomorphisme. Centre d'une loi Propriétés des éléments. Éléments remarquables 84 90 II Propriétés des éléments. Éléments remarquables III Extension d'une loi à l'ensemble des parties IV Parties stables d'une loi. Loi induite V Équivalence compatible avec une loi. Structure quotient VI Homomorphisme de (E,*) dans (E',*’) Associativité. Monoïde VII Loi associative VIII Sous-monoide Ensemble muni de deux lois. Distributivité IX Distributivité X Distributivité dans un treillis CHAPITRE TROIS 108 113 118 122 STRUCTURE DE GROUPE Propriétés générales. Exemples I Axiomes de groupe II Calcul sur un groupe III Extension de la loi aux parties de G. Groupe ordonne IV Table d'un groupe fini. Eléments générateurs V Groupe symétrique fn Etude des sous-groupes VI Sous-groupes: propriétés caractéristiques. Exemples VII Parties stables et sous-groupes. Sous-groupe engendré par une partie VIII Partitions de G associées à un sous-groupe. Classes latérales IX Application aux groupes finis Sous-groupes invariants. Automorphismes. Homomorphismes X Sous-groupe invariant XI Groupe des automorphismes. Automorphismes internes XII Groupe-quotient GIS. Homomorphisme canonique XIII Homomorphisme XIV Groupe libre. Groupe-quotient vérifiant des relations de définition CHAPITRE QUATRE 90 94 97 103 104 127 129 132 135 141 146 151 155 159 162 165 169 172 176 STRUCTURE D'ANNEAU. STRUCTURE DE CORPS Anneau I Calculs dans un anneau II Exemples d'anneaux III Caractéristique d'un anneau IV Divisibilité. Eléments irréductibles. Anneau factoriel. Anneau euclidien Sous-anneau. Extension simple V Sous-anneau VI Extension simple A[e] Idéaux. Homomorphisme VII Treillis des idéaux. Exemples d'idéaux Vin Idéaux et divisibilité. Anneaux principaux IX Anneaux-quotient X Homomorphisme d'anneaux Corps. Sous-corps XI. Calculs sur un corps. Exemples de corps XII. Sous-corps. Extension simple TOMEIl CHAPITRE CINQ 200 202 209 214 217 219 224 227 LE CORPS DES COMPLEXES Complexes sous forme cartésienne I Calculs dans C II Complexes conjugués. Module III Les complexes en géométrie du plan euclidien Argument et forme trigonométrique d'un nombre complexe IV Argument. Relations angulaires V Racines niémes d'un nombre complexe. Racines de l'unité VI 180 183 191 195 233 238 243 249 257 Calculs trigonométriques 261 Bijections affines. Homographies VII Groupe des transformations affines de C VIII Groupes des homographies 267 270 CHAPITRE SIX ANNEAUX DE POL YNOMES Anneau A[X] I Calculs sur A[X] II Fonction polynôme. Divisibilité par X – a III Composition des polynômes Anneau euclidien K[X] 278 281 286 Anneau euclidien K[X] IV Division euclidienne V Éléments premiers entre eux. P.g.c.d. P.p.c.m VI Polynômes irréductibles. Décomposition en facteurs premiers VII Dérivation. Racines multiples Structure vectorielle des polynômes sur un corps VIII Sous-espaces. Bases. Formule de Taylor IX Formes linéaires. Dualité X Endomorphismes dans l'espace des polynômes Anneau A[X1, X2, ..., Xn] XI Calculs dans A[X1, X2, . . ., Xn] XII Polynômes symétriques XIII Dérivation dans K[X1, X2, . . ., Xn,] 289 294 298 306 312 319 322 334 338 343 CHAPITRE SEPT. - FRACTIONS RATIONNELLES Corps K[X] et K[X1, X2, ...,Xn] I Calculs dans K[X] et dans K[X1, X2, . . ., Xn] II Dérivation d'une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples III Éléments de première espèce. Cas du corps C IV Corps R(X). Eléments de seconde espèce V Autres corps Applications de la décomposition VI Formules sommatoires VII Exercices divers 348 351 353 360 364 365 368 CHAPITRE HUIT. EOUATIONS ALGEBRIQUES Relations entre les coefficients et les racines I Coefficients et racines II Valeur d'un polynôme symétrique Elimination Transformation des équations III Elimination IV Transformation des équations V Exercices de révision TOP 373 378 382 385 390
