LOI DE POISSON
1
C
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ = 5.
Calculer P (X = 0) ; P (X = 1) ; P (X = 2) ; et P (X < 3).
2
3
4
Reprendre le même exercice dans le cas où λ = 2,5.
Reprendre le même exercice dans le cas où λ = 0,5.
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre 8.
Déterminer la plus petite valeur de k vérifiant P (X≤k) ≥ 0,90.
5
C
1
.
4
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de défauts sur le verre d'une ampoule. On admet que X obéit à
la loi de Poisson de paramètre λ = 4 . Calculer la probabilité des événements suivants:
1. il n'y a aucun défaut sur l'ampoule.
2. il y a plus de 2 défauts sur l'ampoule.
3. Le nombre de défauts est compris entre 2 et 5 (bornes comprises),
6
C
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ. Déterminer λ sachant que P(X=0)=
7
Un livre de 300 pages comporte en moyenne 150 « coquilles ».
La variable aléatoire qui, à une page choisie au hasard, associe le nombre de coquilles de cette page, suit une loi de Poisson.
1) Déterminer le paramètre de cette loi.
2) Calculer la probabilité qu’une page choisie au hasard ne comporte aucune coquille.
8
Dans le département de Seine-et-Marne, le nombre par an d'accidents graves mettant en cause un camion-citerne suit la loi
de Poisson de paramètre 8. Calculer la probabilité d'avoir une année plus de 7 accidents de ce type.
9
Pour une femme ayant eu entre 18 et 20 ans en 1958, le nombre d'enfants suit une loi de Poisson. Un échantillon de 1000
individus de cette population comporte 135 femmes sans enfant. En déduire une estimation du paramètre de la loi de X.
Estimer la proportion de la population étudiée ayant plus de 3 enfants.
10
Une v.a. X représente le nombre annuel de pannes d'un certain type d'appareils électriques. On suppose que X suit la loi
de Poisson de paramètre m (m > 0).
1) Déterminer m sachant que la probabilité pour qu'un appareil de ce type tombe en panne moins de 4 fois dans l'année
est 0,981. Calculer alors la probabilité pour qu'un appareil ait au plus 2 pannes dans l'année.
2) On teste simultanément 10 appareils au cours d'une année ; soit Y le nombre d'appareils ayant au moins une panne
dans l'année. Déterminer la loi de Y (préciser éventuellement les hypothèses nécessaires).
11
Sur une machine, deux causes de pannes indépendantes l’une de l’autre sont possibles. Celles dues à une erreur de la
personne s’en occupant et celles dues à la machine elle-même. Soit X la variable aléatoire qui, ç une année choisie au hasard
associe le nombre de pannes dues à une mauvaise utilisation de la machine. On suppose que X suit une loi de Poisson de
paramètre 1,5. Soit Y la variable aléatoire qui à une année choisie au hasard associe le nombre de pannes dues à la machine.
On suppose que Y suit une loi de Poisson de paramètre 0,5.
1) Calculer la probabilité qu’il n’y ait aucune panne pendant un an.
2) Calculer la probabilité qu’il y ait exactement 2 pannes pendant un an.
3) Calculer la probabilité qu’il y ait au plus une panne pendant un an.
4) Calculer E(X+Y). Interpréter ce résultat.
12
Sur une autoroute, il y a en moyenne 1 accident par semaine. Cette semaine, il y en a eu 4. Quelle est la probabilité de cet
évènement ?
13
Une firme confirme que la probabilité qu’une ampoule claque au premier allumage est de 0.01. On suppose que la durée de vie
d’une ampoule suit une loi de poisson.
Si on prend un échantillon de 100 ampoules au hasard, quelle est la probabilité d’avoir :
a) Aucun claquage d’ampoule.
b) Un claquage parmi les 100 ampoules.
c) Plus de deux claquages parmi ces 100 ampoules.
14
Un standard téléphonique reçoit en moyenne 0.7 appel à la minute.
Quelle est la probabilité pour qu’entre 8h59 et 9h, ce standard reçoit :
a) Zéro appel
b) Un appel
c) Plus d’un appel.
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LOI DE POISSON
CORRIGE :
1
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ = 5.
Calculer P (X = 0) ; P (X = 1) ; P (X = 2) ; et P (X < 3).
P (X = 0) = 0.07 ; P (X = 1) = 0.034 ; P (X = 2) = 0.084 ; P (X < 3) = 0.125.
5
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètreλ
λ.
1
Déterminer λ sachant que P(X=0)= .
4
1
P(X = 0) =
4
λ0
1
=
0!
4
⇔ λ = ln 4 ≈ 1.38
⇔ e −λ
6
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de défauts sur le verre d'une ampoule. On admet que X
obéit à la loi de Poisson de paramètre λ = 4
Calculer la probabilité des événements suivants:
1. il n'y a aucun défaut sur l'ampoule.
P(X = 0) = 0.018
2. il y a plus de 2 défauts sur l'ampoule.
P(X ≥ 2) = 1 – 0.018 – 0.073 – 0.147 = 0.762
3. Le nombre de défauts est compris entre 2 et 5 (bornes comprises),
P( 2 ≤ X ≤ 5) = 0.693
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