Travaux pratiques #5 pour mat2717 1) Des événements se réalisent

Travaux pratiques #5 pour mat2717
1) Des événements se réalisent selon un processus de Poisson de taux λ. On doit arrêter sur une
réalisation de processus et on veut s’arrêter le plus proche du temps T . Si on ne s’est pas arrêté au
temps T ou si une réalisation s’est produite entre le temps où on s’est arrêté et le temps T on perd.
Sinon on gagne. Considérons la stratégie qui dit, arrêter à la première réalisation qui suit le temps
s ( note: on perd s’il n’y a pas de réalisation entre le temps s et le temps T ).
(a) Avec cette stratégie quelle est la probabilité de gagner?
(b) Quel est le choix optimal de s?
(c) Selon cette stratégie, quelle est la probabilité de gagner en utilisant le choix optimal de s?
2) Les autobus arrivent à l’arrêt d’autobus selon un processus de Poisson de paramètre λ. Le trajet
en autobus pour se rendre à destination prend un temps R. Se rendre à pied à partire de l’arrêt
d’autobus prend un temps W . Considérons la stratégie suivante, si l’autobus arrive d’ici un temps
s on le prend, sinon on marche.
(a) Quel est le temps moyen pour se rendre à destination selon cette stratégie?
(b) Quel est le choix optimal pour s?
3) Supposons que des collisions se produisent selon un processus de Poisson de taux λ. Chacune
des collisions peut causer l’arrêt du système avec probabilité p et indépendance. Soit N le nombre
de collisions nécessaires pour que le sytème arrête et T le temps où le sytème arrête. Trouvez
P[N = n|T = t], n ≥ 1, t > 0.
4) Considérons un ascenseur qui quitte le sous-sol et monte. Soit Nj le nombre de personnes qui
entrent dans l’ascenseur à l’étage i. On suppose que les variables Ni sont indépendantes de loi de
Poisson de paramètre λi . Chaque personne qui entre à létage i va sortir à l’étage j, j > i selon une
probabilité Pij avec indépendance. Posons Oj , le nombre de personnes qui sortent à l’étage j.
(a) Calculez E[Oj ].
(b) Quelle est la distribution de Oj ?
(c) Quelle est la distribution de (Oj , Ok ), j < k?
5) Une expérience aléatoire peut donner une réalisation du type i avec probabilité Pi , i = 1, . . . , n et
indépendance. Le nombre de réalisations est de loi de Poisson de paramètre λ. Soit Xj , le nombre
de types qui on tous eu j réalisations, j = 0, 1, . . .. Par exemple, si n = 4 et on observe les sept
résalisations suivantes (1, 3, 3, 1, 1, 2, 3) alors X = (1, 1, 0, 2, 0, 0, . . .). Calculez E[Xj ] et Var[Xj ],
j = 0, 1, . . ..
Lien utile
https://www.webdepot.umontreal.ca/Usagers/perronf/MonDepotPublic/mat2717