3. PRIME NUMBERS 2. Code Riverst – Shamir - Adleman 1. Nombres premiers (dans IN) D1. Un naturel n est premier s'il n'admet que 2 diviseurs distincts (1 et n). Sinon il est composé et admet au moins un diviseur strict d. (1 < d < n) T1. Tout entier non premier admet au moins un diviseur premier. (le plus petit de ses diviseurs stricts, d0). T2. Tout entier non premier n admet au moins un diviseur premier p tel que p n (sinon n = d0q > n car q > d0 > n). T3. Soit p premier et n IN, si p ne divise pas n alors p n = 1. T4. Soit p premier ; si p | ab alors p | a ou p | b. T5. Soit p, a, b premiers ; si p | ab alors p = a ou p = b. T6. Il existe une infinité de nombres premiers. T7. Tout entier non premier n se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. n = p1 1 p2 2 … pk k = pi i T8. Si n = p1 1 p2 2 … pk k est la décomposition de n en facteurs premiers alors les diviseurs de n sont les nombres : p1 1 p2 2 … pk k avec i, 1 i k, 0 i i Homework 1. ExReso A : 1 à 4 + 24-30-33-37-38-39-42-51 2. ExReso B : 8-9 + 52-55-59-62-66-70-71 3. ExReso C : 11-13-16-79-82-83-84-85-90 TS JAURES 2012 O de MUIZON Soit m = pq, p, q premiers ; n = (p – 1)(q – 1) Soit e, 2 < e < m et e m = 1 : ! d, 2 < d < m : b ae [n] a bd [n] On code a (0 a n) b (0 b n) par b ae [n] On décode b (0 b n) a (0 a n) par a bd [n] n et e sont publiques, tout le monde peut donc écrire un message codé. pour le décoder il faut d (donc m) : connus du seul destinataire. Preuve : Bezout : e m = 1 !d, v, 2 < d < m et ed + mv = 1 donc ed 1 [m] soit ed – 1 = km = k(p – 1)(q – 1), k > 0 . Fermat : p non| a ap-1 q non| a aq-1 1 [p] 1 [q] (p-1)(q-1) a (p-1)(q-1) a donc a(p-1)(q-1) 1 [pq] ak(p-1)(q-1) 1 [pq] d'où aed – 1 1 [pq] aed a [pq] 1 [p] 1 [q]