Devoir n°4 - j.galtier

Classe de terminale S6
Mardi 10 décembre 2013
Devoir surveillé de mathématiques n°4
Classe de terminale S6
Mardi 10 décembre 2013
Devoir surveillé de mathématiques n°4
Exercice 1 (d’après bac S, Antilles 2011, 15 points)
Dans une large mesure, les quatre parties sont indépendantes
On appelle la fonction définie sur R par
=
.
Partie A :
= 0. Quelle est la conséquence pour la courbe de ?
1. On admet que lim →
2. Calculer ′, étudier les variations de .
3. Montrer que l’équation
= 1 admet une solution unique . Donner un
encadrement de entre deux entiers consécutifs.
4. Soit
une primitive de . Sans chercher à calculer , donner son tableau de
variations.
Partie B :
= −1 et pour tout ,
On considère maintenant la suite
définie par
.
1. Montrer par récurrence que, pour tout ,
< 0.
2. En déduire que la suite
est croissante.
converge. On appelle sa limite.
3. Montrer que la suite
4. Montrer que =
. En déduire la valeur de .
5. Donner à la calculatrice la plus petite valeur de telle que | | ≤ 10 !.
Partie C :
On désire obtenir un encadrement d’amplitude 10-6 de
balayage, et un algorithme de dichotomie
Balayage :
Variable :
prend la valeur 0
Tant que "#" <
" prend la valeur " +
Fin tant que
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=
=
. On a écrit un algorithme de
Dichotomie
Variables , &,
prend la valeur 0
& prend la valeur 1
Tant que & − > 10 (
)
prend la valeur *
Si "#" < + alors , prend la valeur
Sinon
Fin si
Fin tan que
Afficher
1. Compléter les lignes en gras (attention, on veut un encadrement de )
2. Sachant que la solution vaut environ ≈ 0,57, combien l’algorithme de balayage a-til répété sa boucle ?
3. Dans l’algorithme de dichotomie, comment évolue la longueur 0 − à chaque
itération ? Combien faut-il d’itérations pour obtenir un encadrement d’amplitude
10 ( de ?
Partie D :
On a tracé ci-dessous les courbes des fonctions →
et → ln . est un réel positif 2
et 3 sont les points de ces courbes d’abscisse . On rappelle que, pour tout ,
> ln .
1. Exprimer la distance 23 en fonction de .
2. Montrer que 23 est minimale quand est égal à
3. Démontrer que 4 = 4, en déduire que la distance 23 minimale est + 4.
4. Montrer qu’au point d’abscisse , les tangentes aux deux courbes sont parallèles.
NOM :
Exercice 2 (5 points)
À traiter séparément sans calculatrice. Les questions sont indépendantes.
1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
! 56
a)
=
b) 8
= √2 − 1 + 5 4 − 2 *
7
2. Donner une équation de la tangente à la courbe de (de la question 1) en son point
d’abscisse 1
3. Donner une primitive des fonctions suivantes :
7 *
!
a) ℎ
= 4 ln
− 6 +1 >
b) ?
= 2 +2
4. Soit la fonction définie par
=
+ 0 ! où , 0 sont deux constantes.
@
a) Calculer
en fonction de et 0.
b) Déterminer les valeurs de et 0 telles que soit une primitive de la fonction
définie par
= !
NOM :
Exercice 2 (5 points)
À traiter séparément sans calculatrice. Les questions sont indépendantes.
1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
* 56
a)
=
b) 8
= √3 − 1 + 4 2 − 3 *
7
2. Donner une équation de la tangente à la courbe de (de la question 1) en son point
d’abscisse 1
3. Donner une primitive des fonctions suivantes :
*
a) ℎ
=5 − 7 +1 >
b) ?
= 7
*
4. Soit la fonction définie par
=
+ 0 * où , 0 sont deux constantes.
a) Calculer @
en fonction de et 0.
b) Déterminer les valeurs de et 0 telles que soit une primitive de la fonction
définie par
= *