2 Introduction à la physique quantique (licence)

Licence de Physique Appliquée
Année 2003-2004
Introduction à la Physique Quantique
Fascicule II :
La Mécanique Ondulatoire
Philippe Tourrenc, Paulo Angelo, Jérôme Gariel
Université Pierre et Marie Curie
ii
Table des matières
I
Le cadre théorique
1
1 L’espace des états
1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Propriétés mathématiques des fonctions d’onde. . . . . .
1.3 Interprétation probabiliste de la fonction d’onde. . . . .
1.4 Densité de présence et de courant . . . . . . . . . . . . .
1.5 L’espace de Hilbert des états physiques . . . . . . . . . .
1.6 Un modèle de référence à une dimension : le puits infini
1.7 Bases continues à une dimension. . . . . . . . . . . . . .
1.8 Les unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
4
6
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14
2 Les observables
2.1 Préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Opérateurs observables . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Définitions et propriétés mathématiques . .
2.2.2 Le principe de correspondance . . . . . . .
2.3 Les mesures en mécanique quantique. . . . . . . . .
2.3.1 La théorie de la mesure dans le cas discret .
2.3.2 L’expérience de Stern et Gerlach . . . . . .
2.3.3 La théorie de la mesure dans le cas continu
2.3.4 Valeurs moyenne, écart quadratique moyen
2.4 Les relations d’indétermination. . . . . . . . . . . .
2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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32
3 Evolution temporelle d’un état.
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Evolution d’un état. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Equation d’évolution, hamiltonien . . . . . . . . . . .
3.2.2 Solution de l’équation d’évolution . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Mesure de l’énergie, grandeur conservative . . . . . . .
3.3 Evolution des valeurs moyennes de grandeurs observables . .
3.3.1 Préalable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Evolution d’une valeur moyenne, théorème d’Ehrenfest
3.3.3 Limite classique de la théorie quantique . . . . . . . .
3.4 La densité de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
iv
II
Modèles à une dimension.
47
4 La particule libre et la marche de potentiel.
4.1 La particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Solution de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien
4.1.2 Interprétation des états propres de l’énergie . . . . . . . . .
4.1.3 Interférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Evolution d’un paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 La marche de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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51
51
52
53
53
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4.2.1
Le cas E > V0 .
4.2.2
Le cas 0 < E < V0 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.2.3
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5 La barrière et le puits de potentiel.
5.1 La barrière de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
63
5.2
5.1.1
Le cas E > V0 .
5.1.2
Le cas 0 < E < V0 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
69
5.2.1
Le cas E > 0.
5.2.2
Le cas V0 < E < 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5.2.3 L’opérateur parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Etats propres de l’énergie dans cas V0 < E < 0 : fonctions paires .
5.2.5 Etats propres de l’énergie dans cas V0 < E < 0 : fonctions impaires
5.2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Conclusion en forme de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
71
73
74
74
6 Le potentiel périodique
6.1 Le double puits de potentiel .
6.2 Le potentiel périodique . . . .
6.3 Le modèle des électrons libres
6.4 Conducteurs et isolants . . .
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77
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86
Introduction
Conventions et notations
Les notations et les conventions utilisées ici sont celles du cours de Physique
Nucléaire et Atomique ; elles sont résumées dans l’introduction de ce cours (fascicule I de
l’Introduction à la Physique Quantique) ; nous en complétons la liste ci-dessous.
contraire, l’espace est rapporté à un repère galiléen, orthonormé,
³ Sauf mention
´
direct, O; i, j, k de coordonnées x, y, z.
• On utilise les notations r = (x, y, z) où x = (x, y, z) .
• L’élément de volume est noté d3 x = dxdydz.
• Nous omettrons les bornes des intégrales lorsque
la variable d’intégration
court
Z
Z
+∞
f(x)dx et, si
sur l’ensemble des valeurs accessibles ; par exemple f (x)dx signifie
−∞
Z ∞
Z 2π
Z π
rdr
dϕ
( ) sin θ dθ sera noté
l’espace est repéré en coordonnées sphériques,
0
0
0
ZZZ
( ) sin θ rdrdϕdθ
• Les dérivées partielles sont notées
∂
au premier ordre : ∂x =
et de façon similaire ∂y et ∂z
∂x
2
∂
∂2
, etc.
, ∂xy =
au second ordre : ∂xx =
2
∂x
∂x∂y
• Le gradient est l’opérateur vectoriel ∇ := (∂x , ∂y , ∂z ) . Cet opérateur transforme
une fonction en vecteur∗ ; par exemple, étant donnée la fonction f (r) , il vient
∂f
∂f
∂f
∇ [f] =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
• La divergence est un opérateur qui transforme un vecteur† en une fonction ; par
exemple, étant donné le vecteur
h ,i A (r) = (Ax (r) , Ay (r) , Az (r)) , il vient :
2
∇ · A := div A := ∂x Ax + ∂y Ay + ∂z Az .
• Le laplacien est l’opérateur ∆ := ∂xx + ∂yy + ∂zz . Cet opérateur est parfois noté
2
∇ ; en effet, le produit scalaire ∇ = ∇ · ∇ s’écrit sous la forme (∂x )2 + (∂y )2 + (∂z )2 .
2
2
Pour calculer (∂x ) , par exemple, on forme (∂x ) f (r) = ∂x (∂x f) = ∂xx f . Cette relation
2
2
étant valide pour tout f, il vient (∂x ) = ∂xx et ∇ = ∂xx + ∂yy + ∂zz = ∆.
• Etant donnée la fonction V (r) , et une fonction arbitraire ψ (r) . On transforme
ψ (r) de la façon suivante : ψ (r) → V (r) × ψ (r) . Cette opération définit l’opérateur V̂
∗ La fonction vectorielle r 7→ A (r) est un ”champ de vecteurs” ; cependant, par abus de langage, nous
employons souvent l’expression ”vecteur” au lieu de ”champ de vecteurs”.
Introduction
vi
³ ´
tel que V̂ ψ
(r)
:= V (r) × ψ (r) . Cet opérateur sera parfois noté V où même V (r) . Dans
le cas où V (r) ≡ 1, on notera V̂ = 1, sans distinguer le nombre 1 et l’opérateur unité qui
agit sur les fonctions ψ (r) (sans les modifier !).
• Etant donné un nombre complexe Z, son conjugué sera noté Z.
• Etant donné un opérateur linéaire, A, agissant dans un espace vectoriel muni
d’un produit scalaire, le conjugué hermitique de A sera noté A† .
Par la suite, nous supposerons que les cours de mathématiques concernant les
espaces de Hilbert, les séries de Fourier et la distribution de Dirac sont assimilés.
Introduction au cours de mécanique ondulatoire : le contexte
N.B. Avant d’entreprendre la lecture de ce cours, il est recommandé de revoir en
préalable la troisième partie et la conclusion du fascicule I.
Louis de Broglie introduisit les ondes de matière dans la thèse qu’il soutint en
1924. C’est un peu plus tard, vers la même époque, que Werner Heisenberg élabora la
mécanique des matrices et Paul Dirac sa propre théorie quantique.
Pour que l’hypothèse de de Broglie devienne une "vraie" théorie, il fallait obtenir
une équation d’onde qui serait satisfaite par les ondes de matière. Cette étape fut franchie
par Erwin Schrödinger en 1926, dans le cas non relativiste.
Dans la même année 1926, Schrödinger, Lorentz, Born, entre autres, résolurent de
multiples problèmes tandis que Dirac poursuivait ses propres travaux qui allaient conduire
en 1928 à une équation relativiste, l’équation de Dirac qui explique naturellement le spin
électronique et introduit la notion d’antimatière.
Les diverses approches de Heisenberg, Dirac et Schrödinger apparurent bientôt
comme diverses façons de présenter la même théorie connue maintenant sous le nom de
"mécanique quantique".
La question de la nature des ondes de matière se posa très tôt, de même que la
théorie de la mesure en physique. De fortes controverses agitèrent la communauté scientifique. Au congrès Solvay de 1927, les conceptions de l’école de Copenhague † s’imposèrent
faute d’alternatives sérieuses. C’est cette théorie qui sera reprise ici car jamais elle ne fut
mise en défaut par l’expérience, si bien qu’elle est acceptée par la très grande majorité
des physiciens.
L’interprétation de Copenhague connut des opposants célèbres comme de Broglie
et Einstein pour ne citer qu’eux ; c’est, aujourd’hui encore, une source d’insatisfactions
que tarissent progressivement les travaux actuels sur la décohérence.
Là ne s’arrête pas le développement des théories quantiques. L’effet photoélectrique et l’effet Compton montrent qu’une onde électromagnétique peut, dans certaines
conditions, s’interpréter comme un flux de corpuscules : ce sont les photons. L’introduction des ondes de matière et les expériences de diffraction ou d’interférences électroniques
montrent que les corpuscules, les électrons dans ce cas, présentent également un aspect
ondulatoire : ce sont les ondes de matière. Les ondes associées à des corpuscules libres
de masse M satisfont l’équation d’onde relativiste de Klein-Gordon (cf. la conclusion du
fascicule I).
M 2 c2
∂2
ψ
−
∆ψ
+
ψ=0
c2 ∂t2
~2
† Dénomination due à l’implication de Niels Bohr dont les travaux sur la question se poursuivirent
encore, après le congrès de 1927.
Introduction
où t est le temps et ∆ le laplacien : ∆ =
vii
∂2
∂2
∂2
+
+
, tandis que c représente la
∂x2
∂y 2
∂z 2
célérité de la lumière dans le vide.
Dans le cas particulier des ondes électromagnétiques les composantes du quadri→
−
potentiel (potentiel V ou composantes du potentiel vecteur A ) satisfont l’équation de
Klein-Gordon avec M = 0. Une telle équation est appelée équation de d’Alembert. Parmi
les composante du quadripotentiel nous considérons le potentiel V. Dans le cas statique
∂2
où V ne dépend pas du temps, il vient 2 2 V − ∆V = −∆V = 0. Dans ce cas, l’équac ∂t
tion d’onde devient l’équation du potentiel électrostatique dont la solution à symétrie
p
1
sphérique est V ∝ où r est la coordonnée radiale, r = x2 + y2 + z 2 . L’énergie potenr
1
tielle de deux charges distantes de r est alors de la forme E(r) ∝ (pour deux charges
r
α~c
où α est la constante de structure fine :
élémentaires de signes opposés E(r) = −
r
2
e
α=
).
4πε0 ~c
Ainsi, à l’interaction électrostatique est associée une particule de masse nulle, le
photon (voir la figure de gauche, ci dessous).
En suivant un raisonnement analogue dans le cas statique avec M 6= 0, il vient
M 2 c2
e−µ r
ψ
=
0.
ψ
∝
La
solution
à
symétrie
sphérique
est
l’équation −∆ψ +
où
r
~2
hP
2π
=
est la longueur Compton de la masse M. On interprète Ψ comme un potentiel.
µ
Mc
On peut alors admettre, entre certaines particules, l’existence d’une force d’interaction qui
e−µ r
. Une telle interaction devient négligeable
dériverait d’une énergie potentielle E(r) ∝
r
1
1
pour r >> . La longueur est la "portée" de l’interaction. L’interaction coulombienne
µ
µ
1
est donc une interaction de portée infinie (µ = 0 ⇒ = ∞).
µ
Dans les noyaux, les nucléons sont liés entre eux par une interaction dont la portée
viii
Introduction
est de l’ordre de 1, 4 fm (cf. l’étude du noyau dans le fascicule I). En 1935 Yukawa émet
l’hypothèse hardie qu’à cette interaction est associée une particule de masse M :
~
M = µ ' 2, 5 10−28 kg ' 280 me (voir la figure de droite ci-dessus).
c
La recherche de cette particule conduisit, en 1948, à la découverte du méson π
(ou pion).
Les particules peuvent donc se comporter comme des ondes ou des corpuscules
selon les conditions opératoires mises en oeuvre, mais en outre, certaines d’entre elles sont
aussi des particules de champ associées à des interactions spécifiques.
La relativité prévoit (et l’expérience confirme) la possibilité d’annihilation de
matière en rayonnement. Il fallut donc construire une théorie quantique qui rende compte
de ce mécanisme ainsi que des autres propriétés spécifiquement relativistes. Ce fut la
théorie quantique des champs. C’est dans ce cadre que se sont développées les théories
modernes des interactions fondamentales et qu’ont été enregistrés de notables progrès vers
une description unifiée de la physique. Parmi les interactions fondamentales, la gravitation
se singularise.
La théorie relativiste de la gravitation est la relativité générale. Celle-ci fut élaborée par Einstein et achevée vers la fin de l’année 1915. Cette théorie n’a pas été mise en
défaut jusqu’à présent ; elle reste cependant une théorie classique que l’on tente, aujourd’hui de quantifier et d’intégrer à une vision unifiée de la physique au moyen de la théorie
des cordes.
Dans le cours qui suit, nous considérons une théorie non relativiste où l’antimatière n’a pas sa place, non plus que les particules de champ ou les mécanismes de création
et d’annihilation. Notre but est de présenter le cadre de référence de la mécanique ondulatoire : les conceptions nouvelles qu’elle sous-tend ainsi que les principaux effets qu’elle
prévoit et leurs applications, vulgarisées aujourd’hui dans de nombreux domaines de la
physique.
Première partie
Le cadre théorique
1
Chapitre 1
L’ESPACE DES ÉTATS
1.1
Introduction.
1.2
Propriétés mathématiques des fonctions d’onde.
n −
→o
→ −
→ −
L’espace est rapporté à un repère galiléen orthonormé direct O; i , j , k de
coordonnées {x, y, z} . La position d’un objet classique est repérée, en première approximation par les coordonnées de son centre de masse. A la limite où ses dimensions spatiales
tendent vers zéro, l’objet considéré devient un point matériel. A chaque instant, un point
matériel est caractérisé par sa position et sa vitesse.
Dans le cadre de la mécanique ondulatoire, la notion de point matériel bien localisé, présentant une vitesse bien définie, disparaît. L’état du système physique formé par
un point matériel est décrit par sa fonction d’onde, ψ (x, y, z) où (x, y, z) représentent les
coordonnées de position du point matériel considéré. Dans ce chapitre, nous allons étudier
les propriétés de la fonction d’onde et préciser comment la connaissance de cette fonction
permet d’obtenir certaines propriétés physiques du système qu’elle décrit.
Pour décrire un système physique formé de deux points matériels, il faut introduire
une fonction de six coordonnées : ψ (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 ) . Les coordonnées (x1 , y1 , z1 ) sont
les coordonnées de position du premier point matériel tandis que (x2 , y2 , z2 ) sont celles
du second. Un système formé par n points matériels est décrit par une fonction d’onde de
3n variables.
Ces fonctions d’onde changent avec le temps t, montrant ainsi une évolution du
système physique. Cependant, dans ce chapitre nous considérons l’état du système à un
instant t, donné et par conséquent, nous n’expliciterons pas la dépendance temporelle de
la fonction d’onde.
Nous limitons, ici, l’étude aux systèmes formés par un seul point matériel de
masse m dont nous "oublions" le spin† .
La fonction d’onde est une fonction complexe des trois variables réelles, x, y, z.
C’est une fonction continue à dérivée continue : on dit qu’elle est de classe C1 . Enfin, la
fonction d’onde est une fonction de carré sommable.
ZZ Z
|ψ|2 d3 x < ∞
(x, y, z) 7→ ψ(x,y,z) ∈ C, ψ est C1 avec
(1.1)
De façon générale, nous utilisons la convention d3 x := dxdydz; en outre, en l’absence ZZZ
de borne spécifiées, les
Z intégrales
Z
Zportent sur la totalité de l’intervalle de variation :
ainsi
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
( ) d3 x signifie
( ) dxdydz.
† Le spin est un moment cinétique intrinsèque auquel est associé un moment magnétique. Le proton,
le neutron et l’électron sont caractérisés par un spin non nul. Ces particules se comportent donc comme
de petits aimants. Nous avons évoqué le spin à diverses reprises dans le fascicule I.
L’espace des états
4
Pour représenter une situation physique, on utilise parfois des modèles qui ne
décrivent pas la réalité en toute exactitude mais une situation simplifiée qui permet d’effectuer les calculs de façon complète. Par exemple, dans certaines conditions, l’énergie
potentielle d’une particule est la fonction V (x) de classe C1 passant de la valeur 0 pour
x < 0 à la valeur V0 pour x > a. La fonction V (x) pourra parfois être remplacée par une
fonction discontinue Y = 0 pour x < 0 et Y = V0 pour x > 0.
Figure 1-1.
L’énergie potentielle présentant alors une discontinuité (non physique), les fonctions d’onde ne présenteront pas nécessairement toute la régularité souhaitée. S’il le faut,
pour traiter de tels modèles nous abandonnerons la continuité de la dérivée pour préserver
la continuité de la fonction d’onde elle-même. La continuité de la fonction d’onde ne sera
abandonnée qu’en dernier ressort.
Que l’on considère les ondes lumineuses ou les ondes de matière, la fonction
→
− →
→
−
−
→
p = ~ k , bien déψ = A ei k · r représente une onde dont les quanta ont une impulsion, −
finie (voir dans le fascicule I, la conclusion du cours de Physique Nucléaire et Atomique).
Il est aisé de vérifier qu’une telle fonction n’est pas une fonction de carré sommable. Cela
signifie que le concept de particule d’impulsion bien définie est un concept limite qui ne
trouve, en toute rigueur, aucune contre-partie dans la réalité. Cette notion est cependant
fort utile ; elle décrit avec une très bonne approximation des situations physiques existant
réellement. Pour ces raisons, nous utiliserons de telles fonctions d’onde bien qu’elles ne
soient pas de carré sommable et ne correspondent, en toute rigueur, à aucune situation
physique susceptible d’être vraiment réalisée.
1.3
Interprétation probabiliste de la fonction d’onde.
Une particule est décrite pas sa fonction d’onde ψ(r) avec r = (x, y, z) . Nous
nous posons la question de savoir où est cette particule. Pour y répondre, il faut faire une
mesure de position.
Précisons la question physique. Nous considérons un volume V. Lors d’une mesure
de position, la particule est-elle trouvée dans le volume V ? La réponse à cette question
est une réponse statistique. Le plus souvent il est impossible d’affirmer quoi que ce soit
avec certitude, avant d’avoir effectué la mesure.
Considérons de multiples mesures de position portant toutes sur une particule
de fonction d’onde ψ. Ces mesures peuvent être effectuées par les répétitions successives
de la même mesure portant sur des particules préparées dans l’état ψ. Elles peuvent être
obtenues en effectuant simultanément les mesures de position sur les particules d’une
population nombreuse, toutes indépendantes les unes des autres et dans le même état
décrit par ψ. Quelle que soit la façon de procéder, on trouve que la proportion de particules
Interprétation probabiliste de la fonction d’onde.
5
dans le volume V, notée PV , est†
ZZZ
PV = Z ZZ V
|ψ|2 d3 x
(1.2)
|ψ|2 d3 x
Une telle propriété traduit le fait que le résultat d’une mesure de position effectuée
sur une particule donnée suit une loi de probabilité : la probabilité de trouver la
particule dans le volume V est PV , donné par l’expression 1.2.
Il faut donc admettre qu’une particule n’est généralement pas localisée, puisqu’on
peut la trouver soit dans V , soit en dehors de V. Les théories classiques (pré-quantiques)
prévoient également que la détermination de la position d’une particule dans des conditions
bien définies ne conduit pas toujours aux mêmes résultats lorsqu’on répète les expériences.
Cependant les raisons en sont très différentes.
Dans le cadre classique, la particule est quelque part ; la dispersion des résultats
tient au fait que les mesures ne sont pas parfaites. On réduit la dispersion en améliorant
la qualité des mesures.
Dans le cadre quantique, même si on parvenait à réaliser des mesures idéales, la
dispersion subsisterait. La seule certitude que l’on ait, c’est de ne pas trouver la particule là
où la fonction d’onde, ψ, est nulle. Cette région de l’espace où ψ est non nulle est appelée
"support de la fonction ψ”. Une particule est d’autant mieux localisée que le support
de sa fonction d’onde est de petite extension. Une telle fonction est appelée "paquet
d’ondes" ou "groupe d’ondes" par opposition à l’onde plane dont le support s’étend sur
tout l’espace.
Il faut s’imaginer qu’une mesure résulte d’une interaction (mystérieuse) entre le
système que l’on étudie et l’appareil de mesure. Cette interaction apparaît comme non
déterministe, dans le sens où la connaissance de la fonction d’onde avant la mesure ne
permet pas de prévoir avec certitude le résultat de la mesure (même si celle-ci est une
mesure idéale)‡ .
Dans le cas d’un volume élémentaire dV entourant le point r, il vient
¯
¯2
¯
¯
¯ψ(r) ¯
dV
dP = ZZ Z
|ψ|2 d3 x
(1.3)
Remarquons que les expressions 1.2 et 1.3 ne sont définies que dans la mesure où
ψ est une fonction de carré sommable.
De nombreuses expériences justifient l’interprétation donnée à la fonction d’onde :
les expériences d’interférence électroniques par exemple.
Considérons le schéma d’une expérience d’interférence semblable à celle déjà décrite précédemment (fascicule I chapitre 5). Les électrons semblent provenir de deux fentes,
S1 et S2 ; ils sont décrits par la superposition de deux ondes de matière. Sur l’écran E, au
voisinage de l’axe de symétrie, il vient ψ = Aeikd1 + Aeikd2 .
† Pour être plus précis il faut dire que presque certainement P
V est d’autant plus voisin de la valeur
donnée dans l’expression 1.2 que le nombre de particules observées est élevé.
‡ Nous verrons que la fonction d’onde évolue suivant des lois déterministes sauf lors d’une mesure. Ce
double comportement est source d’insatisfaction (cf. page vi).
L’espace des états
6
Figure 1-2.
¯2
a
2
2¯
(notations de la
On en déduit |ψ| = |A| ¯1 + eik∆ ¯ où ∆ = d2 − d1 ' z
D
µ
¶
k∆
. En introduisant la longueur d’onde de
figure 1-2). On obtient |ψ|2 = 4 |A|2 cos2
2
´
³
2π
πa
, il vient |ψ|2 ∝ cos2
z . La probabilité de présence est maximale
de Broglie, λ =
k
Dλ
µ
¶
1 λD
λD
, elle est nulle en z = n +
. On règle le courant électronique à une
en z = n
a
2
a
valeur assez faible pour qu’à chaque instant, un seul électron soit présent dans l’appareil.
Chaque électron est décrit par une onde. L’interaction de l’onde avec l’écran provoque
la localisation de l’électron. C’est le phénomène de "réduction du paquet d’ondes".
L’électron se localise sur
suivant une densité de probabilité qui dépend de z,
³ πal’écran
´
z . Chaque électron marque son point d’impact ; au fur et
proportionnelle à cos2
Dλ
à mesure que les électrons atteignent l’écran, la figure d’interférence se construit (figure
1-3).
Figure 1-3.
La figure 1-3 montre la construction progressive des franges d’interférences électroniques lorsque les électrons atteignent l’écran l’un après l’autre. Dans chacune des
figures, le nombre d’électrons ayant atteint l’écran est 100, 3000, 20000, 70000 (d’après
A. Tanamura et al. American journal of Physics, 57, p. 117-120 (1989)).
Dans le cas des interférences lumineuses, on obtient des résultats semblables lorsqu’on opère à très faible intensité. Cependant, le plus souvent, les flux de photons sont
si élevés que la construction des franges d’interférences parait instantanée quoi qu’il n’en
soit rien (une intensité très faible de 10−3 µW dans le domaine visible, correspond à un
flux de photons de l’ordre de 3 109 photons par seconde : trois milliards de photons par
seconde !).
1.4
Densité de présence et de courant
Il est commode de considérer que la fonction ψ décrit un nombre N de parti¯
¯2
¯
¯
cules, toutes dans le même état, et de supposer que ρ(r) = ¯ψ(r) ¯ représente la densité
moyenne, en r, de ces particules, telle qu’elle serait observée lors de mesures répétées.
¯
¯2
¯
¯
Dans ces conditions, dN = ¯ψ (r) ¯ dV est le nombre moyen de particules dans le
volume élémentaire dV (tel qu’on l’observerait lors de mesures répétées). En toute
Densité de présence et de courant
7
rigueur, il faudrait préciser que c’est presque certainement le nombre moyen que l’on observe, avec une erreur négligeable, lors d’une mesure portant sur un nombre de particules
assez grand. Toutes ces précautions alourdissent la formulation des résultats ; elles seront,
le plus souvent sous-entendues.
Le nombre total de particules, toutes indépendantes et décrites par la
ZZZ
|ψ|2 d3 x .
même fonction d’onde ψ, est alors N =
Avec l’interprétation précédente, la proportion de particules (trouvées) dans le
¯
¯2
¯
¯
¯ψ
¯
(r)
dN
= ZZZ
dV. Suivant la loi des
volume dV (lors d’une mesure) est dP =
N
|ψ|2 d3 x
grands nombres, c’est la probabilité pour qu’une particule choisie a priori soit trouvée
dans le volume dV.
→
− →
−
Dans le cas particulier d’une fonction d’onde plane, ψ = A ei k · r on trouve
N = ∞ car la fonction d’onde n’est pas de carré sommable. Cependant la densité de
¯
¯2
dN
¯
¯
= ¯ψ(r) ¯ = |A|2 .
particules est finie et uniforme :
dV
Figure 1-4.
→
− −
i k ·→
r
présente la symétrie plane (la valeur de ψ est
La fonction d’onde ψ = A e
la même en tous les points d’un même plan choisi arbitrairement, orthogonal à k) ; l’onde
ψ représente des particules (indépendantes et identiques) d’impulsion p = ~k, réparties
2
dans tout l’espace avec une densité uniforme |A| (voir la figure 1-4).
Z ZZ
ρd3 x = 1, la densité ρ est appelée "densité de présence" : ρdV
Lorsque N =
est la probabilité pour que, lors d’une mesure, la particule soit trouvée dans le volume
élémentaire dV .
→
v . Ce fluide est constitué
Considérons un fluide classique qui s’écoule à la vitesse −
de particules de masse m. Le nombre de particules par unité de volume est la densité ρ.
L’espace des états
8
→
−
→
v.
On définit la densité de courant de particules J := ρ−
Figure 1-5.
Les particules qui traversent la surface infinitésimale Σ de la figure 1-5 a) pendant
le temps dt sont celles qui sont contenues dans le volume dV. Leur nombre est ρdV =
→
→
→
ρ−
v ·−
n dSdt où −
n est le vecteur unitaire normal à Σ et dS l’aire de Σ. Le flux de
particules sur Σ est le nombre de particules qui traversent l’unité de surface de Σ pendant
→ →
−
n .
l’unité de temps : Φ = J · −
Considérons le volume fermé deZla
Z figure 1-5 b). Le nombre de
ZZparticules sortant
→ −
−
→
−
→
−
ρ v · n dS dt = dt ×
J ·→
n dS où
du volume V, pendant dt est dNexit =
Σ
Σ
V
V
ZZ
est étendue à la surface ΣV qui limite le volume V. Le théorème d’Ostrogradsky
ΣV
conduit à la relation
ZZZ
h−
→i
div J d3 x
(1.4)
´
−
→
−i~ ³
ψ ∇ψ − ψ∇ψ
J (r) =
2m
(r)
(1.5)
dNexit
=
dt
V
→
− −
i k ·→
r
Considérons une onde plane ψ = A e
, fonction d’onde de particules de masse
→
−
→
−
→
→
m. L’impulsion des particules est −
p = ~ k , leur vitesse est donc −
v = ~ k /m. La densité
→
−
→
−
2
de courant correspondant est J := ρ~ k /m avec ρ = |A| . On vérifie la relation
où ψ est le conjugué complexe de ψ. C’est cette définition de la densité de courant
quantique que nous retiendrons dans le cas général, même lorsque la fonction d’onde
n’est pas une onde plane.
Lorsqu’on expérimente sur des nombres élevés de particules, celles-ci constituent
un fluide. La loi des grands nombres nous assure alors que la densité de courant quantique
est identique à la densité de courant observé (avec toutes les précautions d’usage). Par
contre si on considère une seule particule le fluide devient un fluide de probabilité. Sa
répartition dans l’espace, son comportement au cours du temps permettent de visualiser
les propriétés de la particule décrite : probabilité de présence et évolution au cours du
temps.
1.5
L’espace de Hilbert des états physiques
Il est utile de clairement distinguer les propriétés des fonctions d’onde (par exemple
1.1) et l’interprétation physique que l’on en fait (par exemple 1.2 et 1.3).
Un modèle de référence à une dimension : le puits infini
9
Les résultats obtenus en mathématiques montrent que l’ensemble des fonctions
d’onde forme un espace vectoriel (c’est une propriété mathématique). Cet espace, E, est
appelé "espace des états". En effet, la fonction d’onde donne une description
complète du système physique considéré (c’est un postulat de physique) et définit
par conséquent un état physique.
Considérée comme une fonction, la fonction d’onde, r 7→ ψ (r) est notée ψ ou ψ(r) ;
considérée comme un élément d’un espace vectoriel, la même fonction d’onde est notée
|ψi . La figure 1-6 donne deux images utiles et complémentaires de la somme de deux
fonctions d’ondes.
Figure 1-6.
L’espace des états est munis d’un produit scalaire. Etant donné deux états physiques décrits par leur fonction d’onde, ψ et ϕ, on définit le produit scalaire hψ |ϕi :
hψ |ϕi :=
Z ZZ
ψ(r) ϕ(r) d3 x
(1.6)
où ( ) est le conjugué complexe de ( ) .
On remarque que les propriétés suivantes sont satisfaites
hψ |ϕi = hϕ |ψi
hψ |ϕ1 + aϕ2 i = hψ |ϕ1 i + a hψ |ϕ2 i et hψ1 + aψ2 |ϕi = hψ1 |ϕi + a hψ2 |ϕi
quel que soit le nombre complexe a,
hψ |ψi ≥ 0 avec hψ |ψi = 0 ⇔ ψ = 0
Munis de ce produit scalaire, l’espace des états est un espace de Hilbert. Ce
serait sans grand intérêt pour le physicien si le produit scalaire ainsi défini n’était pas
étroitement relié aux propriétés physiques, en particulier aux prédictions des résultats de
mesure comme nous le verrons au chapitre suivant.
1.6
Un modèle de référence à une dimension : le puits infini
Considérons une particule de masse m, dont la fonction d’onde est fonction de la
seule variable x. Nous supposons que la particule est piégée dans la région x ∈ [0, L] . Cela
L’espace des états
10
signifie que dans une mesure de position la particule est certainement trouvée dans cette
région. D’après ce qui précède on en déduit la condition ψ (x) = 0 pour x < 0 ou x > L.
Pour fixer les idées, considérons une particule chargée, un électron e− par exemple.
Créons un potentiel électrostatique suivant le schéma de la figure 1-7 a). L’énergie potentielle, V (x), de la particule dépend de sa position. Le graphe de V (x) est représenté
sur la figure 1-7 b) où nous avons utilisé l’approximation de la figure 1-1 pour représenter
les sauts d’énergie potentielle entre les régions I et II d’une part et II et III d’autre part.
C’est généralement légitime pour a << λ < L où λ est la longueur d’onde de de Broglie
dans la région II (rappelons que, p étant l’impulsion d’une particule, sa longueur d’onde
hP
).
de de Broglie est λ =
p
Figure 1-7.
Dans les régions I et III l’énergie potentielle est donc V0 , tandis qu’elle est nulle
(par convention) dans la région II. Une telle configuration constitue un puits d’énergie
potentielle, souvent appelé "puits de potentiel" par abus de langage.
Une particule classique d’énergie cinétique Ec et d’énergie potentielle V possède l’énergie E = Ec + V. De façon générale l’énergie cinétique est positive ou nulle :
Ec = E − V ≥ 0. Si l’énergie de la particule satisfait les relations 0 < E < V0 , les régions
I et III qui correspondrait à Ec < 0, lui sont inaccessibles. La particule classique est alors
piégée dans la région II.
La situation est différente en mécanique ondulatoire. Dans le cas 0 < E < V0 ,
nous verrons qu’une onde évanescente est présente dans les régions I et III où la fonction
d’onde tend exponentiellement vers zéro lorsqu’on s’éloigne du puits. L’énergie E étant
fixée, lorsque V0 → ∞, l’onde évanescente disparaît et la fonction d’onde devient nulle
dans les régions I et II : ψ (x) = 0 pour x < 0 ou x > L. On est alors en présence d’un
"puits infini " (figure 1-7 c). Par continuité la fonction d’onde, ψ, s’annule sur les bords
du puits, à l’intérieur en x = 0 ou x = L (i.e. pour x → 0+ ou x → L− ).
On introduit les fonctions un (x) où n = 0, 1, 2, ...

/ [0, L]
 0
rpour x³∈
un (x) =
2
nπx ´

sin
pour x ∈ [0, L]
L
L
(1.7)
Les fonctions un et ψ peuvent être considérées comme des fonctions de x/L. Compte
tenu des conditions aux limites imposées en x = 0 et x = L, les résultats obtenus en
mathématiques concernant les fonction de L2 (0, 1) permettent d’affirmer que ψ est une
Un modèle de référence à une dimension : le puits infini
11
combinaison linéaire des fonctions un † :
ψ (x) =
∞
X
an un (x)
(1.8)
n=1
On peut démontrer que si l’on imposait en outre la continuité de la dérivée de ψ, les
coefficients an seraient nuls. La fonction ψ serait alors identiquement nulle. La particule
décrite ne serait nulle part ! Nous devons donc abandonner cette condition pour décrire
une particule piégée dans le puits infini.
Les fonctions ψ qui décrivent une particule piégée dans le puits infini forment un
espace vectoriel, Ep . De ce point de vue on écrit 1.8 sous la forme
|ψi =
∞
X
an |un i
(1.9)
n=1
{|un i} apparaît comme une base de Ep . Remarquons que Ep est inclus dans l’espace E des
fonctions de carré sommable. Ep représente l’ensemble des états accessibles compte tenu
des conditions aux limites imposées. Alors que E est un espace très riche, il arrive souvent
que l’espace des états accessibles soit de petite dimension. C’est dans l’espace des états
accessibles que nous étudions les problèmes physiques.
Lorsqu’on considère les problèmes à une dimension, la définition du produit scalaire donnée par la relation 1.6 est remplacée par la définition suivante :
Z +∞
ψ (x) ϕ (x) dx
ψ = ψ (x) , ϕ = ϕ (x) ; hψ |ϕi :=
(1.10)
−∞
On peut alors calculer le produits scalaire hun |um i :
où δ nm
Z
Z
³ nπx ´
³ mπx ´
2
sin
sin
dx = δ nm
L
L
−∞
0 L
½
1 pour n = m
.
est le symbole de Kronecker δ nm :=
0 pour n 6= m
La base {|un i} apparaît comme une base orthonormée.
Les états |ψi et |ϕi se développent sur la base {|un i} :
hun |um i =
+∞
un (x) um (x) dx =
|ψi =
∞
X
L
an |un i et
n=1
|ϕi =
∞
X
bn |un i
(1.11)
(1.12)
n=1
Les propriétés du produit scalaire conduisent aux expressions
= hun |ψi , bn = hun |ϕi
Z +∞
∞
X
ψ (x) ϕ (x) dx =
an bn
hψ |ϕi : =
an
−∞
(1.13)
(1.14)
n=1
On verra en annexe (page 15 ) un exemple dans lequel le formalisme précédent
est mis en oeuvre pour obtenir la décomposition d’un paquet d’onde.
† Cette propriété a été utilisée lors de l’étude du rayonnement à l’équilibre thermodynamique, lorsque
nous avons introduit la notion de mode d’une cavité à une dimension (voir le chapitre 3 du fascicule I).
L’espace des états
12
1.7
Bases continues à une dimension.
Considérons les fonctions d’ondes les plus générales, ψ (x) définies sur tout R. Le
produit scalaire de deux états est donné par la relation 1.10.
1
eipx/~ . A l’instar de l’optique, une telle
Définissons la fonction up (x) := √
2π~
fonction représente des particules d’impulsion p, bien définie. L’onde la plus générale est
de la forme
Z +∞
Z +∞
1
ipx/~
e
Λ (p) √
dp =
Λ (p) up (x) dp
ψ (x) =
(1.15)
2π~
−∞
−∞
L’existence de la décomposition ci-dessus est une conséquence des propriétés mathématiques des fonctions d’onde.
La relation 1.15 s’interprète comme la décomposition de ψ (x) sous la forme d’une
combinaison linéaire des fonctions up (x) , les coefficients de cette décomposition étant les
quantités Λ (p) . L’indice discret, n, de l’équ. 1.12 est devenu le paramètre continu p, tandis
∞
R +∞
P
( ) est devenue l’intégrale −∞ ( ) dp.
que la somme
n=1
L’ensemble des fonctions {up (x)} apparaît donc comme une base de l’espace des
fonctions d’onde. Chaque vecteur de cette base est repéré par l’indice continu p. Pour
insister sur cette structure d’espace vectoriel, on écrira la relation 1.15 sous la forme
Z +∞
Λ (p) |up i dp
|ψi =
(1.16)
−∞
R +∞ 1 i(q−p)x/~
e
dx n’est pas défini au sens des
Le produit scalaire hup |uq i = −∞
2π~
fonctions. Cependant, on peut le définir au sens des distributions en posant
¶
Z +∞
Z +∞ µZ +∞
1 i(q−p)x/~
e
hup |uq i G(q) dq :=
dq
G(q) dx
2π~
−∞
−∞
−∞
¶
Z +∞ µ
R +∞ 1 i(q−p)x/~
e
dx
G(q) dq. En effet, sous cette dernière forme,
au lieu de
−∞ 2π~
−∞
l’intégrale ne serait pas définie ; c’est la raison pour laquelle on échange l’ordre des intégrations pour donner un sens à cette
quantité.
¶
µ
Z +∞
R +∞
1 i(q−p)x/~
e
dq
G(q)
dx = G(p). On en
On démontre la relation
−∞
2π~
−∞
déduit
hup |uq i = δ (p − q)
(1.17)
où δ (p − q) est la fonction généralisée de Dirac† .
On démontre alors les relations suivantes
Z
Z +∞
Λ (p) |up i dp et |ϕi =
|ψi =
−∞
Λ (p) = hup |ψi =
hψ |ϕi =
Z
+∞
Z
+∞
−∞
+∞
−∞
Γ (p) |up i dp ⇒
1
√
e−ipx/~ ψ (x) dx
2π~
Λ (p) Γ (p) dp
(1.18)
(1.19)
(1.20)
−∞
† Se reporter au cours de mathématiques pour les propriétés de la fonction de Dirac, δ. Rappelons
R +∞
R +∞
δ (u − λ) du = 1, −∞
f (u) δ (u − λ) du = f (λ) et δ (u − λ) = δ (λ − u) .
seulement les relations : −∞
Bases continues à une dimension.
13
On reconnaît dans les relations 1.15 et 1.19 l’expression d’une transformée de Fourier et
de sa transformée de Fourier inverse.
Un parallèle peut être établi entre les bases discrètes {|un i} avec n = 1, 2, ... et
les bases continues {|uλ i} avec λ ∈ (−∞, +∞) .
n, m ∈ N
←→
λ, µ ∈ R
un (x), |un i
←→
uλ (x), |uλ i
δ nm
←→
δ (λ − µ)
P
n∈N
←→
( )n
R +∞
−∞
(1.21)
( )(λ) dλ
On vérifiera que les correspondances 1.21 sont celles établies précédemment et
rappelées ci-dessous (où p et q sont des indices continus).
équ.
n, m ∈ N
1.11 :
hun |um i = δ nm
←→
P
|ψi = P an |un i
|ϕi = bn |un i
←→
1.12 :
1.13 :
1.14 :
an = hun |ψi
hψ |ϕi =
∞
P
an bn
n=1
équ.
hup |uq i = δ (p − q)
: 1.17
R +∞
|ψi = −∞ Λ (p) |up i dp
R +∞
|ϕi = −∞ Γ (p) |up i dp
←→
←→
p, q ∈ R
Λ (p) = hup |ψi
hψ |ϕi =
R +∞
−∞
Λ (p) Γ (p) dp
: 1.18
(1.22)
: 1.19
: 1.20
En utilisant la définition de la fonction généralisée de Dirac, δ (x − λ) , il vient
ψ (x) =
Z
+∞
−∞
ψ (λ) δ (x − λ) dλ
Cette expression s’interprète comme la décomposition de ψ (x) sur la base des fonctions
de Dirac δ (x − λ) . Les coefficient de la décomposition s’expriment en fonction de ψ; ce
sont les quantités ψ (λ) .
δ (x − λ) est représenté par la limite d’une fonction positive, fε (x), satisfaisant la
R +∞
relation −∞ fε (x)dx = 1, dont le support est un intervalle de largeur ε qui contient le
point d’abscisse λ tandis que ε tend vers zéro (figure 1-8).
L’espace des états
14
Figure 1-8.
On peut considérer que δ (x − λ) est la fonction d’onde d’une particule qui est
très bien localisée en x = λ. Ici encore, la fonction d’onde δ (x − λ) n’est pas une fonction
de carré sommable. Ce n’est même pas une "vraie" fonction ! Cependant pour les mêmes
1
eipx/~ parmi les fonctions d’onde, nous
raisons qui nous ont fait accepter up (x) = √
2π~
acceptons δ (x − λ) .
L’état correspondant est noté |δ λ i . On vérifie la relation hδ λ |δ µ i = δ (λ − µ) .
On établit aisément les relations analogues à celles du tableau 1.22. Ce faisant on
vérifie la correspondance 1.21.
Les expressions précédentes se généralisent sans difficulté pour des fonctions
d’onde de l’espace à 3 dimensions :
une dimension
trois dimensions
eipx/~
up (x) = √
2π~
→
δ (x − λ)
→
Z
+∞
( ) dx
−∞
→
eip·r/~
up (r) =
(2π~)3/2
³
´
δ r−λ
Z ZZ
( ) d3 x
³
´
où l’on a posé r = (x, y, z) , λ = (λx , λy , λz ) et δ r − λ := δ (x − λx ) δ (y − λy ) δ (z − λz ) .
1.8
Les unités
Nous donnons les unités des diverse grandeurs introduites :
nombre de particules : N, dN, dNexit
produit scalaire : hψ |ϕi
probabilité :PV , dP
fonction de Dirac : δ (u)
→
−
vecteur d’onde : k
pulsation : ω
termes de phase : ωt, k · r
→
→
→
→
→
→
→
unités
1
1
1
1/u
m−1
s−1
1
Annexe
15
" 1 " représente un nombre pur, sans dimensions.
Dans les modèles à une dimension et dans les modèles à trois dimensions, les
unités sont différentes. Cela tient en particulier à la modification du produit scalaire qui
est toujours un nombre pur, sans dimension.
En outre, lorsqu’on passe de trois dimensions à une seule, la densité volumique
de particules (en m−3 ) devient la densité linéaire de particule (en m−1 ) tandis que le flux
devient le nombre de particules qui passent en un point donné par unité de temps (en
s−1 ) au lieu du nombre de particules qui traversent une unité de surface dans l’unité de
temps (en m−2 s−1 ). Dans les modèles à une dimension la densité de courant (en abrégé
le "courant") s’identifie au flux de particules.
modèle à trois dimensions
modèle à une dimension
fonction d’onde : ψ (r) , ϕ (r)
fonction d’onde : ψ (x) , ϕ (x)
hψ |ϕi :=
ZZ Z
ψ (r) ϕ(r) d3 x
´
→ −i~ ³
−
ψ∇ψ − ψ∇ψ
courant : J =
2m
fonction d’onde : ψ (r)
hψ |ϕi
densité : ρ = |ψ|2
→
−
densité de courant : J
flux : Φ
→
→
→
→
→
unités
m−3/2
1
m−3
m−2 s−1
m−2 s−1
hψ |ϕi :=
courant : J =
Z
ψ(x) ϕ(x) dx
¢
−i~ ¡
ψ∂x ψ − ψ∂x ψ
2m
fonction d’onde : ψ (x)
hψ |ϕi
2
densité linéaire : ρ = |ψ|
courant : J
flux : Φ = J
→
→
→
→
→
unités
m−1/2
1
m−1
s−1
s−1
On vérifiera sans difficulté que les dimensions et les unités des diverses grandeurs
se déduisent des définitions posées.
Annexe
Nous étudions ici la décomposition d’un paquet d’ondes sur une base discrète de
l’espace des états et, chemin faisant, nous détaillons la façon dont on passe d’un problème
physique, portant sur des grandeurs dimensionnées, à un problème mathématique où seuls
interviennent des nombres purs.
½
∞ pour X ∈
/ [0, L]
On considère un puits infini à une dimension : V (X) =
0 pour X ∈ [0, L]
où X est l’abscisse du point considéré.
Nous changeons la représentation de l’espace en introduisant la variable sans
X
dimension x = α . Nous voulons que l’intervalle [0, L] soit représenté par l’intervalle
L
X
[0, 4] par exemple. Dans ce cas nous posons x := 4 .
L
2
Etant donnée une fonction d’onde ϕ (X) , nous posons ϕ (X) = √ ψ (x) . La
L
fonction ψ ainsi√défini est donc une grandeur sans dimension (nombre pur). L’introduction
du facteur 2 = 4 sera justifiée plus loin.
Chapitre 1 : Annexe
16
Nous postulons que la valeur numérique du produit scalaire est indépendante de
X
la représentation utilisée. En effectuant le changement de variable x := 4 , il vient
L
hϕ1 |ϕ2 i =
RL
0
ϕ1 (X) ϕ2 (X) dX =
R4
0
ψ1 (x) ψ2 (x) dx = hψ1 |ψ2 i
Remarquons que l’introduction du facteur 2 dans la définition de ψ (x) permet de conserver
2ξ
la forme du produit scalaire. Si nous avions posé ϕ (X) = √ ψ (x) , nous aurions obtenu
L
R4
hϕ1 |ϕ2 i = hψ1 |ψ2 i = 0 |ξ|2 ψ1 (x) ψ2 (x) dx.
L
La probabilité de présence sur dx est la probabilité de présence sur dX = dx,
4
¯
¯2
¯ √2
¯
2
2
ψ
(x)
¯
¯
|ψ (x)|
|ϕ (X)|
L
L
dX =
dx.
dx =
c’est
hϕ |ϕi
hψ |ψi 4
hψ |ψi
Nous avons établi ainsi une correspondance entre les deux représentations qui
permet de traiter les problèmes physiques en termes mathématiques. Remarquons que les
formules précédentes s’obtiennent à partir des expressions générales en posant formellement L = 4.
Considérons la fonction ψ (x), donnée qui représente un paquet d’ondes de support
[1, 3] dans le puits :
½
1 + cos (πx) pour x ∈ [1, 3]
ψ(x) =
(A1)
/ [1, 3]
0 pour x ∈
La fonction ψ (x) satisfait les conditions aux limites ψ (0) = 0 = ψ (4), ainsi que
les conditions de régularité requises.
La fonction ψ se décompose donc sur la base des fonctions un (x)
³ nπx ´
 1

pour x ∈ [0, 4]
 √ sin
4
2
un (x) =


/ [0, 4]
0 pour x ∈
n=∞
X
ψ (x) =
n=1
an un (x) ⇔ |ψi =
(A2)
n=∞
X
n=1
an |un i
La base {|un i} est orthonormée, on en déduit l’expression des coefficients an :
hum |un i = δ nm ⇒
ak
=
Z
0
4
1
√ sin
2
ak = huk |ψi =
µ
kπx
4
¶
ψ(x)dx
Z
+∞
uk (x) ψ(x) dx
−∞
Annexe
17
Avec ψ(x) =
½
1 + cos (πx) pour x ∈ [1, 3]
, il vient
/ [1, 3]
0 pour x ∈
ak
=
Z
3
1
ak
=
On note |ψN i =











µ
¶
kπx
(1 + cos (πx)) dx
4
¶
µ
¶
µ
1
3
√ cos
kπ − cos
kπ
32 2
4
4
pour k 6= 4
π
k (k2 − 16)
1
√ sin
2
0 pour k = 4
k=N
P
k=1
ak |uk i . La fonction ψN (x) est alors

µ
¶
k=N
P
kπx
1


√
ak
sin
pour x ∈ [0, 4]

4
2
k=1
ψN (x) =



/ [0, 4]
0 pour x ∈
Nous approximons ψ par la série tronquée, ψN (x). Les graphiques ci-dessous
montrent comment évolue la précision, dans l’exemple considéré, lorsqu’on augmente le
nombre, N, des termes pris en compte.
ψ3 = a1 u1 (x) + a3 u3 (x) car a2 = 0.
ψ5 = ψ3 + a5 u5 (x) car a4 = 0.
P
ψ10 = k=10
k=1 an un (x) est une somme de 5 termes non nuls car a2k = 0.
L’erreur, |ψ10 − ψ| , n’excède pas 0, 02 = 1% du maximum de ψ.
(1.23)
18
Chapitre 1 : Annexe
P
ψ100 = k=100
k=1 an un (x) est une somme de 50 termes non nuls car a2k = 0.
L’erreur, |ψ100 − ψ| , n’excède pas 2 10−4 .
La précision croît avec le nombre de termes pris en considération.
Chapitre 2
LES OBSERVABLES
2.1
Préalables
Rappelons, en préalable les principales définitions concernant les opérateurs li-
néaires.
∂2
∂2
∂2
+ 2 + 2.
2
∂x
∂y
∂y
Le laplacien est un "opérateur " qui agit sur les fonctions, c’est-à-dire qu’il transx, y,¤ z en une autre fonction de ces mêmes variables.
forme une fonction des variables
£
Par exemple ∆ x2 y3 + 7xy 2 = 2y3 + 6yx2 + 14x : le laplacien a transformé la
fonction x2 y3 + 7xy 2 en la fonction 2y3 + 6yx2 + 14x
Le laplacien est un "opérateur linéaire", i.e. ∆ [f1 + af2 ] = ∆ [f1 ] + a∆ [f2 ]
où f1 et f2 sont deux fonctions et a un nombre complexe constant, arbitraire. On vérifie
cette propriété sur l’exemple choisi avec f1 = x2 y3 , f2 = xy 2 et a = 7.
Commençons par un exemple : le laplacien ∆ :=
De façon générale nous considérons l’espace des états, E, et les opérateurs linéaires
agissant sur cet espace. Nous utilisons la notation vectorielle où |ψi représente la fonction
d’onde ψ (r) .
Soit A un opérateur linéaire agissant sur E. Par définition, A satisfait les relations
|ψi ∈ E ⇒ A |ψi ∈ E avec A( |ψ1 i + a |ψ2 i ) = A |ψ1 i + aA |ψ2 i
quel que soit le nombre complexe, a.
Lorsqu’il existe, l’opérateur inverse de A est noté A−1 . Ces opérateurs satisfont
la relation AA−1 = 1 = A−1 A.
L’opérateur A étant donné, on appelle "vecteur propre" tout vecteur |ψi satisfaisant la relation
A |ψi = a |ψi
où a est un nombre complexe appelé "valeur propre".
Exemples
∂
1- Considérons l’opérateur p̂x := −i~
et la fonction ψ = f (y, z) eikx . On
∂x
∂
vérifie la relation −i~ ψ = ~k ψ. Sous forme vectorielle, cette relation s’écrit p̂x |ψi =
∂x
~k |ψi où |ψi représente l’état physique décrit par la fonction d’onde ψ = f (y, z) eikx . Le
vecteur |ψi est un vecteur propre de l’opérateur p̂x , associé à la valeur propre ~k. On dit
∂
aussi que f (y, z) eikx est une "fonction propre" de l’opérateur p̂x := −i~ .
∂x
2- Remarquons la validité, Rpour toute fonction d’onde ψ, des relations
R +∞
+∞
xδ
(x
−
a) ψ(x,y,z) dx = aψ(a,y,z) = −∞ aδ (x − a) ψ(x,y,z) dx. On en déduit
−∞
xδ (x − a) = aδ (x − a) .
Les observables
20
Nous définissons l’opérateur x̂ au moyen de la relation x̂ψ(r) := xψ (r) . L’égalité
précédente s’écrit encore sous la forme x̂δ (x − a) = aδ (x − a) . La fonction δ (x − a)
apparaît comme une fonction propre de l’opérateur x̂ pour la valeur propre a. Sous forme
vectorielle on représente par |δ a i l’état décrit par la ”fonction d’onde ” δ (x − a) . L’égalité
précédente s’écrit sous la forme x̂ |δ a i = a |δ a i . L’état |δ a i est un état propre de l’opérateur
x̂, associé à la valeur propre a.
L’espace des états est un espace de Hilbert, munis d’un produit scalaire hϕ |ψi.
Dans ces conditions on définit l’opérateur adjoint de A, que l’on note A† :
­
hϕ |A ψi = A† ϕ |ψi
On peut démontrer les relations
¡ † ¢†
A
=A,
(A + λB)† = A† + λB † et
†
(AB) = B † A†
où A et B sont des opérateurs tandis que λ est un nombre complexe arbitraire.
Un opérateur U satisfaisant les relations U U † = U † U = 1 est dit "unitaire".
Exemple
∂
Considérons l’opérateur p̂x = −i~ , introduit précédemment.
∂x
!
µ
¶
ZZ ÃZ +∞
∂ψ
ϕ(r̂) −i~
dx dydz. En intégrant par
Il vient hϕ |p̂x ψi =
∂x (r̂)
−∞
partie, on trouve
ÃZ
!
µ
¶
Z
h
ix=+∞
∂ψ
ϕ(r̂) −i~
dx = −i~ϕ(r̂) ψ
+ i~
∂x (r̂)
x=−∞
−∞
+∞
+∞
−∞
µ
¶
∂
ϕ
ψdx
∂x (r̂)
La fonction ψ étant de carré sommable elle décroît lorsque x → ±∞ de telle sorte que
x=+∞
[−i~ϕψ]x=−∞ = 0. On obtient donc
hϕ |p̂x ψi =
Z Z ÃZ
!
µ
¶
­
∂ϕ
−i~
ψdx dydz := p̂†x ϕ |ψi
∂x
−∞
+∞
∂
. Dans le cas considéré il vient p̂†x = p̂x . Un tel opérateur, pour
∂x
lequel A = A† , est dit ”hermitique” ou ”auto-adjoint”.
avec p̂†x = −i~
On démontre les propriétés suivantes :
• Les opérateurs, ∆ et x̂ définis ci-dessus sont des opérateurs hermitiques. Ces
propriétés peuvent être vérifiées directement en suivant la même méthode que pour p̂x
ci-dessus.
• Les valeurs propres d’un opérateur hermitique sont réelles. En effet, soit un
opérateur hermitique A = A† . Formons ­hu |A ui où |ui est un vecteur propre de A pour
la valeur propre a; Il vient hu |A ui := A† u | ui (c’est la définition de A† ). Or A = A† ,
d’où hu |A ui = hAu |ui . Cependant A |ui = a |ui. On en déduit hu |a ui = ha u |ui . Les
propriétés du produit scalaire fournissent les relations a hu |ui = hu |a ui et a hu |ui =
ha u |ui . On en déduit donc a = a.
Opérateurs observables
2.2
21
Opérateurs observables
2.2.1
Définitions et propriétés mathématiques
On appelle ”opérateur observable” un opérateur O, hermitique tel que l’espace
des états admette pour base un ensemble de vecteurs propres de O. Cependant, pour
montrer que O est un opérateur observable il n’est généralement pas nécessaire de trouver
explicitement une telle base. Il suffit de montrer que toute fonction d’onde se décompose
en une somme de fonctions propres de O.
Nous avons démontré ci-dessus que p̂x est un opérateur hermitique qui admet
pour fonctions propres les fonctions f (y, z) eipx/~ . D’autre part nous avons vu au chapitre précédent que l’espace des états admet pour base les états |up i de fonction d’onde
¶3/2
µ
1
eip·r/~ avec p = (px , py , pz ) . De telles fonctions sont de la forme
up (r) =
2π~
f (y, z) eipx/~ ; ce sont donc des fonctions propres de p̂x . Par conséquent l’opérateur p̂x
est un opérateur observable.
∂
∂
et p̂z := −i~
sont
De même on démontre que les opérateurs p̂y := −i~
∂y
∂z
des opérateurs observables. L’opérateur x̂ et les opérateurs ŷ et ẑ sont également des opérateurs observables.
On appelle "spectre de l’observable" O, l’ensemble des valeurs propres de O.
C’est l’ensemble des valeurs propres associées à la base de E, formée de vecteurs propres
de l’observable O. L’opérateur O étant hermitique son spectre est constitué de valeurs
propres réelles.
Le spectre de O peut être discret ; les valeurs propres peuvent alors être repérées
au moyen de l’indice entier n. Le spectre est de la forme {a1 , a2 , ..., an , ..} .
Le spectre de O peut aussi être continu ; les valeurs propres a (λ) , sont alors
repérées au moyen d’un indice continu λ.
Exemple
→2
−
¢
1 ¡ 2
p̂
~2
:=
p̂x + p̂y2 + p̂z2 = −
∆. Un tel opérateur,
Considérons l’opérateur
2m
2m
2m
agissant sur les fonctions d’onde des particules de masse m, est appelé "opérateur d’énergie
cinétique".
¶3/2
µ
1
eip·r/~ sont des fonctions propres
On vérifie que les fonctions up (r) =
2π~
→2
−
p2
p̂
de Êcin :=
pour les valeurs propres
dépendant de l’indice continu, positif, arbi2m
2m
2
traire p . Ainsi, Êcin étant considéré comme un opérateur agissant dans E, son spectre
est continu.
Considérons le puits infini à une dimension. A une dimension, l’opérateur énergie
~2 d2
~2
∆ = −
. Les vecteurs de base de l’espace
cinétique Êcin devient Êcin = −
2m
2m dx2
des états accessibles Ep sont les vecteurs |un i de fonction d’onde un (x) données par la
relation 1.7 où n ∈ N. On vérifie que ces fonctions satisfont les relations Êcin un (x) =
~2 ³ nπ ´2
un (x) . Le spectre de l’opérateur Êcin , considéré comme agissant dans l’espace
2m L
~2 ³ nπ ´2
des états Ep , est constitué des valeurs propres
dépendant de l’entier n : c’est
2m L
un spectre discret.
Il peut arriver que le spectre soit mixte, formé par la réunion d’un ensemble de
Les observables
22
valeurs discrètes et d’un ensemble de valeurs continues. Nous en verrons un exemple lors
de l’étude du puits fini de potentiel.
Considérons une observable, O, et l’une de ses valeurs propres λ. Soit Eλ l’ensemble des vecteurs propres de O pour la valeur propre λ. On démontre que Eλ forme
un espace vectoriel, sous-espace de l’espace des états. C’est le "sous-espace propre"
associé à la valeur propre λ.
La dimension de Eλ est "l’ordre de dégénérescence" de la valeur propre λ. Si
le sous-espace est de dimension 1, on dit que la valeur propre n’est pas dégénérée.
On démontre que deux sous espaces propres associés à des valeurs propres
différentes sont orthogonaux. En effet, soient |ψa i et |ψb i les vecteurs propres de l’obO |ψb i =
servable O, associés aux valeurs propres a et b. Il vient O |ψa i = a |ψa i et
hψ
|aψ
i
=
hψ
|Oψ
i
;
b |ψb i. Nous formons
nous
utilisons
la
définition
de
l’adjoint
de
b
a
b
a
¯
®
­
O : hψb |Oψa i = O† ψb |ψa i. Or O = O† ; par conséquent ¯O† ψb = |Oψb i = b |ψb i ; On
en déduit hψb |aψa i = hbψb |ψa i . En utilisant les propriétés du produit scalaire on trouve
a hψb |ψa i = b hψb |ψa i . Cependant b est réel car c’est une valeur propre d’un opérateur
hermitique; il vient a hψb |ψa i = b hψb |ψa i . Lorsque les valeurs propres a et b sont différentes on en déduit hψb |ψa i = 0. Par conséquent, tout vecteur de Ea est orthogonal à
tout vecteur de Eb où Ea et Eb sont les sous-espaces propres associés respectivement aux
valeurs propres différentes a et b.
Remarques :
1- Le produit d’opérateurs est associatif, i.e. A(BC )=(AB )C, mais il n’est
pas commutatif : le plus souvent AB 6= BA.
Par conséquent (A + B)2 = A2 + B 2 + AB + BA 6= A2 + 2AB + B 2 (le plus
souvent).
2- On définit le ”commutateur ” des deux opérateurs A et B :
[A, B] := AB − BA
On démontre les relations suivantes, souvent utilisées :
[A, BC] = B [A, C] + [A, B] C et [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B
³ ´
V̂ ψ
(r)
3- Etant donnée une fonction V (r) , on définit l’opérateur V̂ par la relation
∂V
:= V (r) × ψ (r) . Dans ces conditions on démontre la relation [p̂x , V ] = −i~
.
∂x
Etant donné une observable A, il lui est associée une base de vecteurs propres de
l’espace des états. Supposons que cette base
Psoit discrète, formée des vecteurs |un i . Tout
vecteur |ψi admet la décomposition |ψi = Cn |un i . En regroupant, dans la décomposin
tion précédente, les vecteurs d’un même sous espace propre, il vient
X
|ψi =
|ϕ i avec A |ϕ i = a |ϕ i et a 6= a 0 pour
6=
0
(2.1)
Remarquons que a 6= a 0 implique hϕ |ϕ 0 i = 0 pour 6= 0 . Le vecteur |ϕ i peut donc
être considéré comme la projection orthogonale de |ψi sur le sous-espace propre Ea .
Cette décomposition sera utilisée par la suite, dans l’exposé de la théorie de la mesure.
Réciproquement, supposons que tout vecteur, |ψi , de l’espace des états se décompose sous la forme 2.1, en une somme de vecteurs propres d’un opérateur hermitique A.
On démontre que dans ce cas A est une observable.
Opérateurs observables
23
2.2.2
Le principe de correspondance
Les propriétés précédentes sont des propriétés mathématiques. Maintenant vient
un postulat physique très important connu sous le nom de principe de correspondance† .
Ce principe s’énonce en deux propositions
• A toute grandeur physique mesurable correspond un opérateur
observable.
• L’observable quantique s’obtient
à partir de la grandeur classique corres
→
−

→ r̂ = (x̂, ŷ, ẑ)
 r = (x, y, z)
pondante en utilisant la correspondance
V (r)
→ V̂

→
 p = (p , p , p ) → −
p̂ = (p̂x , p̂y , p̂z ) = −i~∇
x y z
→
−
→
−
où les divers opérateurs r̂ , V̂ et p̂ ont été définis ci-dessus dans un repère direct, orthonormé et galiléen.
Exemples
A l’énergie cinétique d’une particule de masse m correspond l’opérateur
Êcin
−2
→
~2
p̂
=−
∆.
=
2m
2m
A l’énergie potentielle V (r) correspond l’opérateur V̂ défini par la relation
³ ´
V̂ ψ
(r)
= V (r) ψ (r) .
→ −
−
→ −
→
→
−
Au moment cinétique L = r ∧ p correspond L̂ = r̂ ∧ p̂ dont les composantes
sont les opérateurs L̂x = ŷ p̂z − z p̂y , L̂y = z p̂x − xp̂z et L̂z = x̂p̂y − ŷ p̂x .
Une difficulté surgit dans certains cas. Si nous cherchons l’opérateur quantique
qui correspond à la quantité classique Q = xpx nous trouvons plusieurs possibilités car
1
Q = xpx = px x = (xpx + px x) : a) Q = xpx → x̂p̂x = Q̂1 , b) Q = px x → p̂x x̂ = Q̂2 ,
2
1
1
c) Q = (xpx + px x) → (x̂p̂x + p̂x x̂) = Q̂3 .
2
2
Les opérateurs Q̂1 , Q̂2 et Q̂3 ne sont pas égaux ; il faut donc choisir.
³
´
Vérifions par exemple la relation Q̂1 6= Q̂2 . Dans ce but, formons Q̂1 − Q̂2 ψ (r) .
Il vient
¶
µ
¶
µ
∂
∂
∂
Q̂1 ψ (r) = x̂p̂x ψ = x̂ (p̂x ψ) = x̂ −i~ ψ = x −i~ ψ = −i~x ψ
∂x
∂x
∂x
∂
∂
(xψ (r)) = −i~ψ (r) − i~x ψ (r)
Q̂2 ψ (r) = p̂x x̂ψ (r) = p̂x (x̂ψ (r)) = −i~
∂x
∂x
³
´
On en déduit Q̂1 − Q̂2 ψ (r) = Q̂1 ψ (r) − Q̂2 ψ (r) = i~ψ (r). Cette relation
étant vérifiée quelle que soit la fonction d’onde ψ il vient Q̂1 − Q̂2 := x̂p̂x − p̂x x̂ = i~.
La quantité x̂p̂x − p̂x x̂ := [x̂, p̂x ] est le commutateur de x̂ et p̂x . Nous avons donc
démontré la relation [x̂, p̂x ] = i~ .
De façon générale la difficulté que nous signalons ici surgit lorsqu’on cherche
l’opérateur quantique associé à la quantité classique ab alors que les opérateurs A et
B associés à a et b ne commutent pas. Lorsque [A, B] := AB − BA 6= 0, on admet
† Le passage de la théorie classique à la théorie quantique peut également être assuré par d’autres
méthodes que celle exposée ici.
Les observables
24
généralement qu’il convient d’exprimer ab en fonction des variables de position et des
composantes de l’impulsion et de retenir la quantité complètement symétrisée relativement
aux variables qui ne commutent pas. Ainsi l’opérateur quantique associé à xpx sera pris
1
sous la forme (x̂p̂x + p̂x x̂) = Q̂3 complètement symétrique. En fin de compte, c’est
2
l’expérience qui permet d’affirmer que la théorie ainsi construite est acceptable.
Parmi les observables, l’hamiltonien joue un rôle important car c’est lui qui régit
l’évolution, au cours du temps, des systèmes physique considérés (voir le chapitre suivant). L’hamiltonien est l’opérateur associé à l’énergie† . En l’absence de champ
→
→
p , d’une particule de masse m et de vitesse −
v , est
magnétique l’impulsion classique, −
→
−
2
p
→
−
; il lui correspond
égale à sa quantité de mouvement m v . L’énergie cinétique est donc
2m
~2
∆ que nous avons déjà introduit. L’hamiltonien, H, s’exprime
l’opérateur Êcin = −
2m
sous la forme
→2
−
p̂
~2
+ V̂ = −
∆ + V(r)
H=
2m
2m
ou V(r) est l’énergie potentiel de la particule considérée.
→
−
→
−
En présence d’un champ magnétique, B , dérivant du potentiel vecteur A (c’ est→
−
→
−
→
−
1 →2
π2
−→ h i
→
→
→
v =
π = m−
v = −
p − qA,
à-dire tel que B = rot A ), il vient Ecin = m−
où −
2
2m
la charge de la particule étant notée q. La correspondance p → −i~∇ est maintenue,
µ
→¶2
−
→
−
p̂ − q Â
+ V̂ .
l’opérateur hamiltonien s’en trouve modifié : H =
2m
2.3
Les mesures en mécanique quantique.
2.3.1
La théorie de la mesure dans le cas discret
Nous allons tout d’abord énoncer les postulats de la mesure. La justification de
ces postulats doit être trouvée dans les multiples mesures effectuées depuis trois quarts
de siècle et qui, jamais, n’ont infirmé la théorie présentée ici.
Nous avons vu qu’à toute grandeur physique mesurable correspond un opérateur
observable.
Lorsqu’on effectue une mesure, le résultat est certainement l’une des
valeurs propres du spectre de l’observable correspondante. C’est un nombre réel.
La liste des résultats possibles est donc déterminée par la nature de la grandeur que l’on
mesure.
Le résultat présente, quant à lui, une indétermination. La mesure est une interaction entre le système physique étudié et l’appareil de mesure. C’est cette interaction
qui détermine le résultat. Dans le domaine quantique, seule, la probabilité de chacun
des résultats possibles peut être connue. Elle dépend de l’état du système sur lequel on
effectue la mesure (c’est-à-dire de sa fonction d’onde). Ces probabilités sont accessibles
expérimentalement. En effet, en répétant la même mesure sur une population nombreuse
de systèmes dans le même état, |ψi , on détermine la proportion d’occurrences de chacune
des valeurs propres ; cette proportion est presque certainement voisine de la probabilité a
priori de cette valeur propre.
† Plus précisément, l’hamiltonien est l’opérateur quantique qui correspond à la fonction de Hamilton
de la mécanique analytique.
Les mesures en mécanique quantique.
25
Soit A l’observable associée à la mesure et |ψi l’état du système sur lequel on
effectue la mesure. On décompose |ψi sous la forme donné par la relation 2.1 :
|ψi =
X
|ϕ i avec A |ϕ i = a |ϕ i et a 6= a 0 pour
6=
0
(2.2)
L’interaction du système étudié et de l’appareil de mesure provoque une modification de l’état du système. Immédiatement après la mesure, l’état du système
est l’un des vecteurs |ϕ i ; la probabilité d’un tel événement est hϕ |ψi / hψ |ψi .
Si l’on poursuit la mesure le résultat est alors a . La probabilité d’un tel résultat est
donc
hϕ |ϕ i
hϕ |ψi
=
P (a ) =
hψ |ψi
hψ |ψi
La dernière égalité tient aux propriétés du produit scalaire et au fait que hϕ |ϕ 0 i = 0
pour 0 6= .
La valeur de P (a ) ne dépend pas de la norme de |ψi . En effet, supposons que
l’état soit décrit par la fonction d’onde ψ0 (r) = ξ × ψ (r) où ξ est un nombre complexe
¯ ®
0 ¯ 0
¯ 0®
P
ψ
hϕ
0
0
|ϕ i avec |ϕ i = ξ × |ϕ i et par conséquent ­ 0 ¯¯ 0 ® =
arbitraire. Il vient ¯ψ =
ψ ψ
hξϕ |ξψi
hϕ |ψi
ξξ hϕ |ψi
=
= P (a ) . Quelle que soit la mesure, deux états décrits
=
hξψ |ξψi
hψ |ψi
ξξ hψ |ψi
par deux fonctions d’ondes proportionnelles donnent les mêmes résultats avec les mêmes
probabilités. On en déduit que deux fonctions d’onde proportionnelles décrivent
le même état physique.
fonctions propres de A :
On utilise souvent une base orthonormalisée, {|un i} deP
hum |un i = δ nm . Le vecteur |ψi admet la décomposition |ψi = Cn |un i . Le carré de sa
n
P
P
norme est hψ |ψi = C n Cn = |Cn |2 .
n
n
P
Considérons un état |ψi normalisé : hψ |ψi = C n Cn = 1.
• Admettons que ak n’est pas dégénéré. Il vient |ϕk i = Ck |uk i et hϕk |ϕk i =
|Ck |2 . On en déduit P (ak ) = |Ck |2 . Si la valeur ak a été observée, l’état du système
immédiatement après la mesure est |uk i .
• Admettons que ak est dégénéré. Pour fixer les idées nous supposons une dégénérescence d’ordre 2 où |u5 i et |u6 i sont les deux vecteurs propres de A associés à la
même valeur propre a = a5 = a6 . Toutes les autres valeurs propres sont différentes de a.
La projection de |ψi sur le sous-espace propre Ea est le vecteur |ϕi = C5 |u5 i + C6 |u6 i . Il
vient hϕ |ϕi = |C5 |2 + |C6 |2 . On en déduit P (a) = |C5 |2 + |C6 |2
2.3.2
L’expérience de Stern et Gerlach
Considérons l’expérience de Stern et Gerlach étudiée au chapitre 6 du fascicule
I (paragraphes 6-2 et 6-3). Lors d’une mesure, la projection sur l’axe Oz du spin, Sz ,
d’un atome d’argent peut prendre l’une des deux valeurs : ±~/2; ce sont les valeurs
Sz . A chacune de ces valeurs propres est associé un vecteur propre
propres de l’observable
½
~/2
↔ |+i
†
. Au sortir du four, l’atome d’argent est dans l’état
normalisé :
−~/2 ↔ |−i
|ψi = C+ |+i + C− |−i , c’est la forme la plus générale possible de |ψi . On en déduit
† Par
soucis de simplification, nous admettons sans discussion que le spectre de Sz n’est pas dégénéré.
Les observables
26
2
2
hψ |ψi = |C+ | +|C− | . L’interaction avec le dispositif (écran inclus) constitue une mesure
de Sz . Les résultats possibles sont donnés dans le tableau ci-dessous
Mesure n◦ 1 :
1ère mesure de Sz
état initial : |ψi = C+ |+i + C− |−i
résultat
probabilité
vecteur propre
2
|C+ |
~
|+i
2
|C+ |2 + |C− |2
2
|C− |
~
−
|−i
2
|C+ |2 + |C− |2
A chacun des résultat possibles correspond un point d’impact sur l’écran.
Après la mesure de Sz , nous sélectionnons les atomes dans l’état |+i . Nous mesurons alors la projection de leur spin suivant Oy. Les résultats possibles sont encore
±~/2 car l’isotropie de l’espace nous assure que rien ne distingue la direction Oz de
Oy. A chacune de ce valeurs propres correspond un vecteur propre normala direction
½
~/2
↔ |αi
. Il faut clairement distinguer les vecteurs {|+i , |−i} et les veclisé :
−~/2 ↔ |βi
teurs {|αi , |βi} ; chacun de ces ensembles forme une base de l’espace des états du spin de
l’atome d’argent, mais le premier ensemble est formé de vecteurs propres de Sz , tandis
que le second ensemble est formé de vecteurs propres de Sy .
Le vecteur |+i, état du système à l’issue de la première mesure, se décompose sur
2
2
la base {|αi , |βi} sous la forme |+i = a |αi + b |βi avec |a| + |b| = 1 (car |+i , |αi et |βi
sont normalisés avec hα |βi = 0). La mesure de Sy donne les résultats suivants :
Mesure n◦ 2 :
mesure de Sy
état initial : |+i = a |αi + b |βi
résultat probabilité vecteur propre
~
|a|2
|αi
2
~
2
|b|
−
|βi
2
~
Nous sélectionnons les mesures dont le résultat est − . A l’issue de la seconde
2
mesure l’état du système est donc |βi . Nous effectuons alors une mesure de Sz . Pour en
prédire les résultats, nous décomposons l’état du système, |βi , sur la base des vecteurs
propres de Sz (c’est-à-dire |±i) : |βi = c+ |+i + c− |−i . Les vecteurs |βi , |+i et |−i sont
normalisés, les vecteurs |+i et |−i sont, en outre, orthogonaux. Les résultats de la mesure
sont donc les suivants
Mesure n◦ 3 : 2ème mesure de Sz
état initial : |βi = c+ |+i + c− |−i
résultat probabilité vecteur propre
~
|c+ |2
|+i
2
~
|c− |2
−
|−i
2
Si nous ne préjugeons pas de la valeur des coefficients† a, b, c+ et c− , il est
légitime de supposer que le résultat de la seconde mesure de Sz , fournit soit l’une soit
1
1
théorie du spin 1/2 conduit aux expressions |+i = √ (|αi − i |βi) et |βi = √ (i |+i + |−i) .
2
2
Les deux résultats possibles de la dernière mesure sont donc équiprobables.
† La
Les mesures en mécanique quantique.
27
l’autre des deux valeurs ±~/2 bien que la valeur ~/2 ait déjà été sélectionnée à l’issue
d’une première mesure de Sz . Sur un jet contenant de nombreux atomes d’argent, selon
toute vraisemblance, les deux valeurs doivent être observée. C’est bien le cas.
2.3.3
La théorie de la mesure dans le cas continu
Considérons le cas d’une observable A dont le spectre est continu. L’observable
x̂, associée à la mesure de l’abscisse d’une particule ponctuelle et l’observable p̂x associée
à la mesure de la composante de son impulsion suivant l’axe Ox, en sont deux exemples.
Soit {|up i} une base de l’espace des états formée de vecteurs propres de A. L’indice
p est un indice continu que nous supposons, pour fixer les idées, susceptible de prendre une
valeur arbitraire dans R. Nous admettons que la base a été orthonormalisée : huq |up i =
δ (p − q) . La valeur propre associée au vecteur |up i est notée λp : A |up i = λp |up i.
L’état du système est décrit par le vecteur |ψi qui admet un développement sur
la base {|up i} , de la forme
Z +∞
|ψi =
C(p) |up i dp
−∞
En utilisant les propriétés du produit scalaire ainsi que l’orthonormalisation
de la base
R +∞
{|up i} , on démontre que le carré de la norme de |ψi est hψ |ψi = −∞ |C (p)|2 dp. Nous
supposons que |ψi est normalisé : hψ |ψi = 1.
Sur la figure 2-1 nous avons représenté le graphe de la fonction p 7→ λp .
Nous effectuons une mesure. Le résultat observé ne conduit pas à une valeur
précise de λ, mais à un intervalle de valeurs de λ.
Figure 2-1.
Nous considérons le cas de l’intervalle infinitésimal [λ0 , λ0 + dλ] . Pour que le
résultat de la mesure appartienne à cet intervalle il faut que p appartienne à l’intervalle
[p0 , p0 + dp] où p0 et dp sont définis sur la figure 2-1 a). La probabilité de cet intervalle
est alors |C (p0 )|2 dp.
Pour obtenir la probabilité de l’éventualité λ ∈ [λ1 , λ2 ] , il faut alors intégrer la
probabilité élémentaire précédente sur les valeurs de p ∈ I[λ1 ,λ2 ] où l’intervalle I[λ1 ,λ2 ] est
défini sur la figure 2-1 b).
Considérons un problème à une dimension où la fonction d’onde est ψ (x) . Nous
normalisons la fonction ψ en posant ψ 0 = ξψ où ξ est un nombre complexe choisi de telle
­ ¯ ®
1
.
sorte que ψ0 ¯ψ0 = 1. Il vient par exemple ξ = p
hψ |ψi
Les observables
28
0
Z
+∞
ψ0 (λ) δ (x − λ) dλ, ce que l’on écrit sous forme vectoNous posons ψ (x) =
−∞
¯ ® Z +∞ 0
ψ (λ) |δ λ i dλ. Nous avons vu que {|δ λ i} s’interprète comme une base
rielle ¯ψ0 =
−∞
orthonormalisée de vecteurs propre de x̂ pour les valeurs propres λ ∈ R. Effectuons une
mesure de position, la probabilité P(λ∈[x,x+dx]) pour que le résultat appartienne à l’in¯
¯2
tervalle élémentaire [x, x + dx] est, d’après ce qui précède, P(λ∈[x,x+dx]) = ¯ψ0 (x)¯ dx =
|ψ (x)|2
dx. C’est l’expression 1.3 dans le cas des problèmes à une dimension.
hψ |ψi
La fonction d’onde s’écrit aussi sous la forme d’une intégrale de Fourier : ψ (x) =
Z +∞
1
eipx/~ dp (voir l’expression 1.15). Rappelons que l’état |up i , décrit par la
Λ (p) √
2π~
−∞
1
eipx/~ , est un état propre de l’opérateur impulsion p̂x pour la valeur
fonction d’onde √
2π~
propre p. En outre, les vecteurs {|up i} forment une base continue, orthonormée, de l’espace
|Λ (p)|2
dp est la probabilité pour
des états : hup |uq i = δ (p − q) . D’après ce qui précède,
hψ |ψi
que l’impulsion de la particule décrite par ψ, appartienne à l’intervalle [p, p + dp] .
2.3.4
Valeurs moyenne, écart quadratique moyen
Lors d’une mesure, il est souvent suffisant de connaître la moyenne des résultats
possibles et l’écart quadratique moyen de leur distribution.
Considérons une observable A et un
P état physique |ψi. Suivant la relation 2.2,
nous décomposons |ψi sous la forme |ψi = |ϕn i avec A |ϕn i = an |ϕn i . Chaque valeur
†
an peut être observée avec la probabilité
P P (an ) . La valeur moyenne des observations,
P (an ) an . On démontre les résultats suivants
notée hAi est, par définition hAi :=
(annexe 1 page 32) :
hAi :=
P
hψ |Aψi
hϕ |ϕ i
an P (an ) =
avec P (an ) = n n
hψ
|ψi
hψ |ψi
n
(2.3)
Rappelons les propriétés de la moyenne.
L’état |ψi étant donné, les moyennes considérées ci-dessous sont toutes des moyennes
prises sur l’état |ψi . On démontre aisément les relations
hA + Bi = hAi + hBi et hξ Ai = ξ hAi
où A et B sont deux observables tandis que ξ est un nombre complexe arbitraire.
2
2
Le carré de l’écart quadratique moyen‡ , noté (∆A) est la moyenne de (a − hAi)
où a est le résultat de la mesure. Soit {|un i} une base de vecteurs propres de A telle que
† Avant toute mesure, à chaque résultat possible, a , est associée une probabilité a priori, P (a ). La
n
n
P
P (an ) an est appelé "espérance mathématique".
quantité
PLorsqu’on répète l’expérience de nombreuses
pn an est la moyenne des observations. Or,
fois, la proportion de résultats a = an est pn La quantité
selon la loi des grands nombres, pn est presque certainement très proche de P (an ) . Nous ne distinguerons
donc pas l’espérance mathématique qui se rapporte à des probabilités et la moyenne qui se rapporte à
des observations.
‡ Dans le langage des probabilités on utilise le terme "écart-type". Le carré de l’écart-type est la
"variance" de la loi de probabilité considérée. Si on se réfère à des observations, on utilise l’expression
"écart quadratique moyen". Dans le présent cours il n’est pas nécessaire de distinguer ces deux notions car
nous nous réfèrons à des observations assez nombreuses pour que la loi des grands nombres nous assure,
presque certainement, que l’écart quadratique moyen est pratiquement égal à l’écart type.
Les relations d’indétermination.
29
2
A |un i = an |un i . On vérifie la relation (A − hAi) |un i = (an − hAi) |un i et (A − hAi) |un i =
2
2
(an − hAi) |un i . Ainsi {|un i} est une base de vecteurs propres de (A
¯ − hAi) . EnEutilisant
P
¯
2
2
2
le résultat précédent il vient (∆A) = (an − hAi) ×P (an ) = hψ ¯(A − hAi) ψ / hψ |ψi .
On démontre en outre (voir l’annexe 1 page 32)
E ­ ®
D
(∆A)2 = (A − hAi)2 = A2 − hAi2
L’écart quadratique moyen, ∆A, est une quantité non négative qui croît avec la
dispersion des résultats de la mesure. On aurait pu construire beaucoup d’autres indicateurs de dispersion. L’écart quadratique moyen présente certaines propriétés qui le font
préférer aux autres, parmi celles-ci, les dimensions physiques et les unités de ∆A qui sont
les mêmes que celles de an et de hAi .
Lorsque ∆A est nul, |ψi est un état propre de A pour la valeur propre hAi. En
P
(an − hAi)2 P (an ) est nulle ; comme c’est une somme de termes non
effet, la quantité
négatifs, cela signifie que chaque terme, (an − hAi)2 P (an ) , est nul. Les seuls cas que l’on
observe sont ceux pour lesquels P (an ) 6= 0 (les éventualités de probabilité nulle ne se
réalisent pas !). Ce sont donc des cas pour lesquels an − hAi = 0. Toutes les observations,
i.e. tous les an , sont les mêmes. Or les an sont tous différents, cela signifie donc qu’il n’y a
qu’une seule observation, ak par exemple. Par conséquent P (ak ) = 1 et P (an ) = 0 pour
n 6= k. L’état quantique s’écrit donc |ψi = |ϕk i . C’est un état propre de A.
2.4
Les relations d’indétermination.
La discussion de l’expérience de Stern et Gerlach ci-dessus montre que certaines
grandeurs, Sz et Sy en l’occurrence, ne peuvent pas être définies simultanément. C’est
cette question que nous voulons étudier ici.
Considérons deux observables A et B dont les spectres sont {an } et {bm } . L’espace
des états admet une base de vecteurs propres de A et une base de vecteurs propres de B.
1- Considérons le cas où ces bases sont identiques. Chaque vecteur de cette base
est vecteur propre de A et vecteur propre de B. On peut donc le désigner sous la notation
|an , bm i , ce qui signifie A |an , bm i = an |an , bm i et B |an , bm i = bm |an , bm i . Cependant il
peut arriver que plusieurs vecteurs de la base considérée soient vecteurs propres de A et B
pour les valeurs propres an et bm . Nous devons donc disposer d’un indice supplémentaire,
r, pour désigner tous ces vecteurs. Pour cette raison, nous supposons que la base est de
la forme {|an , bm , ri} .
Quel que soit le vecteur de base considéré, on vérifie la relation AB |an , bm , ri =
an bm |an , bm , ri = bm an |an , bm , ri = BA |an , bm , ri . On en déduit la valeur du commutateur AB − BA := [A, B] = 0.
Réciproquement on peut démontrer que la commutation des observables A et
B, i.e. [A, B] = 0, implique que l’on peut trouver une base de l’espace des états, formée de vecteurs propres communs à A et B. Par conséquent cette base peut être notée
{|an , bm , ri} . Il en est de même si un ensemble de vecteurs propres de B constitue une
base sans que B ne soit nécessairement une observable.
|ψi =
PConsidérons un état |ψi , vecteur propre de A et vecteur propre de B : par exemple
Cr |an , bm , ri . Un tel vecteur satisfait les relations A |ψi = an |ψi et B |ψi =
bm |ψi .
r
Les observables
30
En utilisant la théorie de la mesure, il apparaît qu’une mesure de A donne le
résultat certain a = an et laisse l’état inchangé. Si on effectue alors une mesure de B, on
trouve certainement bm . Après cette seconde mesure l’état est encore |ψi . L’état |ψi est
donc un état dans lequel les valeurs de A et B sont toutes deux très bien définies.
Exemple : Considérons les observables ŷ et p̂x . On vérifie la relation [ŷ, p̂x ] = 0.
Il existe donc des fonctions d’onde† qui sont fonctions propres de ŷ et p̂x , la fonction
ψ = δ (y − a) eipx/~ par exemple.
Une telle fonction d’onde représente une particule dont l’ordonnée, y, et l’impulsion px suivant Ox, sont parfaitement bien définies : y = a et px = p. Cependant, l’abscisse
de la particule est complètement indéterminée.
2- Considérons maintenant le cas où les observables A et B ne commutent pas.
Nous posons
[A, B] = iC
On vérifie que l’opérateur C, ainsi défini, est hermitique.
On démontre la relation
∆A ∆B ≥
1
hCi
2
Cette relation est satisfaite quel que soit l’état |ψi sur lequel ont été calculées les diverses
quantités. Nous donnons en annexe, page 33 , la démonstration de cette propriété.
Exemple : Considérons les observables x̂ et p̂x . On vérifie la relation [x̂, p̂x ] =
i~ (cf. démonstration page 23). Dans ces conditions il vient ∆x ∆px ≥ ~/2 . Aucune
particule ne peut donc avoir sa position et son impulsion, toutes deux, parfaitement bien
définies, relativement à un même axe arbitraire donné.
La relation ∆x ∆px ≥ ~/2 et les relations de même nature concernant les axes Oy
et Oz sont connues sous le terme de "relations d’indétermination de Heisenberg ".
Dans le cas général, lorsque C est un opérateur, il n’est pas exclu que pour un
état |ψi particulier on ait simultanément ∆A = 0 et ∆B = 0. Dans ce cas, A et B sont
simultanément bien définis. Ceci se produit nécessairement pour hCi = 0.
Les relations d’indétermination, ∆x ∆px ≥ ~/2, jouent un rôle important à l’échelle
atomique, mais sont sans grand effet à l’échelle macroscopique.
Considérons un petit objet macroscopique, une poussière de dimension de l’ordre
de 1 µm, de masse m ∼ 10−15 g. L’indétermination sur sa position est donnée : ∆x =
~
= m∆v. L’indéter10−3 µm. L’indétermination sur son impulsion est donc ∆p =
2∆x
~
∼ 5 10−11 m s−1 , ce qui est complètement
mination sur sa vitesse est donc ∆v =
2m∆x
négligeable à l’échelle macroscopique. Avec des objets plus massifs l’indétermination de
la vitesse est encore plus petite. Pour cette raison on a pu considérer pendant longtemps
que la position et l’impulsion d’un objet matériel pouvaient être définis simultanément.
Dans le domaine microscopique, les relations d’indétermination jouent un rôle
essentiel. Le plus souvent l’inégalité y est remplacée par une égalité entre ordres de
grandeurs : ∆x ∆px ∼ ~ .
Exemple 1 : L’atome d’hydrogène a pour dimension un rayon de l’ordre de a =
0, 5Å. C’est l’ordre de grandeur de l’indétermination sur la position de l’électron. Il s’en
† On
peut même choisir de telles fonctions pour former une base de l’espace des états.
Les relations d’indétermination.
31
~
suit une indétermination sur l’impulsion ∆p ∼ . Les systèmes stables sont ceux dont
a
l’énergie est minimale ; on peut donc admettre que l’impulsion, p, de l’électron satisfait la
(∆p)2
. L’énergie cinétique
relation 0 < |p| . ∆p et que l’énergie cinétique est de l’ordre de
2m
est égale à l’opposé de l’énergie totale d’un système de particules soumises à des forces
d’interaction inversement proportionnelles à r2 où r est la distance entre les particules :
c’est le théorème du viriel qui s’applique aux forces de Coulomb. L’énergie est donc de
(∆p)2
~2
p2
∼
∼−
∼ −14 eV pour m = me ' 9 10−31 kg. Cette
l’ordre de E = −
2m
2m
2ma2
expression doit être comparée à l’énergie du niveau fondamental −13, 6 eV. On ne peut
espérer un meilleur accord qualitatif compte tenu de la grossièreté des approximations
effectuées.
Exemple 2 : une onde plane de longueur d’onde λ, onde lumineuse ou onde de de
Broglie suivant le cas, tombe normalement à un écran E (figure 2-2 a)). Celui-ci est percé
d’un trou de diamètre d. On obtient ainsi une figure de diffraction. Sur la figure 2-2 a),
nous avons représenté l’intensité de l’onde, I, en fonction de la direction d’observation.
L’onde plane s’interprète statistiquement comme un flux de particules. Celles
qui passent par le trou sont déviées. La plupart d’entre elles se dirigent dans toutes les
directions à l’intérieur du cône de demi angle au sommet α.
Figure 2-2.
Les particules incidentes ont une impulsion p. Au niveau du diaphragme, dans la
direction zz 0 de la figure 2-2, l’impulsion des particules présentent une indétermination
∆pz ∼ αp. Sur l’axe zz 0 , l’indétermination sur la position des particules au niveau du
diaphragme est ∆z ' d/2. La relation ∆z ∆pz ∼ ~ devient dαp ∼ 2~ avec p = 2π~/λ.
λ
On en déduit l’ordre de grandeur πdα/λ ∼ 1 soit 3α ∼ . L’expression exacte, donnée
d
λ
par la théorie de la diffraction des ondes par un trou circulaire est α = 1, 22 . Ici encore,
d
un raisonnement grossier, conduit à une estimation convenable de l’ordre de grandeur de
l’angle de diffraction.
Ainsi, si on cherche a préciser la position de la particule au niveau du diaphragme,
il faut en réduire le diamètre. Ce qui accroit l’angle de diffraction, α, et par conséquent
l’indétermination sur la composante de l’impulsion parallèle à l’écran.
Chapitre 2 : Annexes
32
2.5
Conclusion
Pour conclure, évoquons le cas de mesures simultanées. Supposons que nous disposions de deux appareils de mesure, destinés à mesurer sur le même système, deux
grandeurs dont les observables associées, A et B, ne commutent pas.
Effectuons la mesure de A suivi immédiatement de la mesure de B. Le résultat
possible de cette double mesure est un couple de valeurs (a, b) , où a (resp. b) est une valeur
propre de A (resp. B) résultat éventuel de la première mesure (resp. seconde mesure).
Répétons cette opération de nombreuses fois et notons les résultats des mesures avec leur
probabilité, P (a, b) .
Intervertissons l’ordre des mesures. Le résultat possible de la double mesure, celle
de B suivie de celle de A est encore notée (a, b) où a est le résultat de la seconde mesure
(celle de A) et b le résultat de la première mesure (celle de B). La probabilité de ce résultat
est noté P 0 (a, b) .
On vérifie aisément la relation P (a, b) 6= P 0 (a, b) , sauf dans des cas exceptionnels. L’ordre dans lequel s’effectue les mesures A et B influe donc sur le résultat (plus
précisément sur la statistique des résultats possibles). Dans ce cas, il n’est pas possible
d’effectuer les deux mesures simultanément. Cependant rien n’empêche de brancher les
deux appareils en même temps. Il se produit alors une interaction complexe entre le système étudié et les deux appareils de mesure mais cette interaction ne constitue pas une
mesure et ne peut pas être décrite au moyens des postulats précédents.
La situation est différente lorsque les mesures correspondent à des observables
qui commutent. Dans ce cas on a P (a, b) = P 0 (a, b) ; l’ordre dans lequel on effectue les
mesures n’influe pas sur le résultat. Les mesures peuvent être effectuées simultanément.
Lorsque les observables commutent, les mesures "compatibles".
Annexe 1 : Démonstrations
P
hψ |Aψi
P (ak ) ak =
.
hψ |ψi
k
Pour démontrer
cette propriété, nous considérons le développement de |ψi sous
P
|ϕk i avec A |ϕk i = ak |ϕk i et ak 6= a pour k 6= . Par définition
la forme |ψi =
1- hAi :=
k
P hϕk |ϕk i
P
ak .
hAi := P (ak ) ak , en utilisant la théorie de la mesure, il vient hAi =
k
k hψ |ψi
P
P
D’autre part hψ |Aψi = hψ |ak ϕk i = ak hϕn |ϕk i . Cependant, |ϕk i et |ϕn i sont des
k
k,n
vecteurs propres de l’observable A pour des valeurs propres différentes
P lorsque n 6= k,
ces deux vecteurs sont donc orthogonaux. On en déduit hψ |Aψi = ak hϕk |ϕk i et par
hψ |Aψi P hϕk |ϕk i
=
ak := hAi .
conséquent
hψ |ψi
k hψ |ψi
E ­ ®
D
2- ∆A2 := (A − hAi)2 = A2 − hAi2
2
k
2
On développe (A − hAi) = A2 − 2 hAi A + hAi . Cependant A est un opérateur
tandis que hAi est un scalaire (c’est même un nombre réel si A est hermitique). On utilise
les propriétés des valeurs moyennes : hλi = λ et hA + λBi = hAi + λ hBi quels que soient
les opérateurs A et B et le scalaire λ. Il vient
D
E ­ ®
­ ®
A2 − 2 hAi A + hAi2 = A2 − 2 hAi hAi + hAi2 = A2 − hAi2 .
D
E ­ ®
2
2
Par conséquent (A − hAi) = A2 − hAi .
Annexe
33
1
|hCi|
2
Soit A et B deux observables et |ψi un état physique normalisé, donné une fois
pour toutes. Je pose δA := A − hAi et δB = B − hBi où hAi est la moyenne de A et hBi
la moyenne de B.
3- C := −i [A, B] ⇒ ∆A ∆B ≥
3-a. Les opérateurs
A et B étant hermitiques, leur valeur moyenne est réelle.
­
En effet hAi = hψ |Aψi = A† ψ |ψi or A = A† d’où hAi = hAψ |ψi . Les propriétés du
produit scalaire donnent : hAi = hAψ |ψi = hψ |Aψi. Dans cette dernière expression on
reconnaît hAi. D’où la relation hAi = hAi.
A est hermitique et hAi est réel.
On en déduit que A − hAi := δA est un opérateur hermitique. Remarquons en
passant que tout vecteur propre de A pour la valeur propre a, est vecteur propre de δA
pour la valeur propre a − hAi .
On vérifie aisément la relation AB − BA := [A, B] = [δA, δB] := δA δB − δB δA.
3-b. Nous définissons l’opérateur C := −i [A, B] . On en déduit
[A, B] = iC = [δA, δB] . On vérifie¡ en outre, que¢ C est un opérateur hermitique. En
effet C = −i (AB − BA) ⇒ C † = i B † A† − A† B † . Or A et B sont hermitiques. On en
déduit C † = i (BA − AB) := −i [A, B] = C. La valeur moyenne de C est donc réelle.
3-c. Nous définissons |θi = |(A + λB) ψi où λ est un nombre complexe. Nous
formons hθ |θi :
hθ |θi = hAψ + λBψ |Aψ + λBψi = hAψ |Aψi + hAψ |λBψi + hλBψ |Aψi + hλBψ |λBψi .
En utilisant¯ les ®propriétés du produit scalaire et l’hermiticité
¯
® de A et B, on trouve :
hθ |θi = hψ ¯A2 ψ + λ hψ |ABψi + λ hψ |BAψi + λλ hψ ¯B 2 ψ
Considérons
¯
® le cas λ = iX où X est réel. Il¯vient®
hθ |θi = hψ ¯A2 ψ + iX hψ |(AB − BA) ψi + X 2 hψ ¯B 2 ψ . Avec [A, B] = iC on obtient
¯
¯
­ ®
®
® ­ ®
hθ |θi = hψ ¯A2 ψ − X hψ |Cψi + X 2 hψ ¯B 2 ψ = A2 − hCi X + B 2 X 2 := f (X) .
Les coefficients
le coefficient de X 2 est
¯ 2 ® f (X) sont réels. En outre,
­ 2 ® du polynôme
2
positif ou nul car B = hψ ¯B ψ = hBψ |Bψi = k |Bψi k . La relation hθ |θi ≥ 0
f (X) est positif ou nul pour tout X. Par conséquent il vient
implique ­que ®le­ polynôme
®
hCi2 − 4 A2 B 2 ≤ 0. Une relation similaire est valide en effectuant la substitution
®­
®
­
A → δA, B →DδB, C = −iE[A, B] → −i [δA, δB] = C. On obtient hCi2 −4 δA2 δB 2 ≤ 0
­
®
2
avec δA2 = (A − hAi) = ∆A2 où ∆A est l’écart quadratique moyen sur les mesures
­ 2®
2
de A et de même δB = ∆B 2 . On trouve donc hCi − 4∆A2 ∆B 2 ≤ 0, soit encore
∆A ∆B ≥
1
|hCi|
2
Annexe 2 : Exemple de mesure
Nous considérons le puits infini du paragraphe 1.8, page 15. A l’extérieure du
puits, la fonction d’onde est nulle. Nous nous intéressons donc seulement aux fonctions
d’onde dans le puits (X ∈ [0, L])
Dans le puits l’énergie potentielle est nulle ; l’énergie totale est donc l’énergie
d
p̂2
où p̂ = −i~
est l’opérateur impulsion. L’hamiltonien s’écrit sous la
cinétique
2m
dX
2
2
~ d
.
forme Ĥ = −
2m dX 2
Chapitre 2 : Annexes
34
p̂2
ϕ (X) = Eϕ (X) où m est
2m
la masse de la particule et E l’énergie de l’état décrit par la fonction d’onde ϕ (X) . Cette
~2 d2 ϕ
= Eϕ. Nous distinguons
relation est une équation différentielle du second ordre, −
2m dX 2
3 cas
√
√
1- E < 0 : ϕ (X) = Ae 2mE X/~ + Be− 2mE X/~ .
La continuité
de ϕ¸ (X) en X = 0 implique A + B = 0, soit
·
1√
2mE X . La continuité de ϕ (X) en X = L implique alors l’une
ϕ (X) = 2A sinh
~
des deux conditions A = 0 ou E = 0. Dans les deux cas ϕ (X) ≡ 0. Il n’y a donc pas de
particule possédant une énergie négative. Ce résultat est identique à celui de la mécanique
classique où l’énergie cinétique n’est
jamais négative.
√
√
2mE X/~
2- E > 0 : ϕ (X) = Aei 2mE X/~ + Be−i
. ¸La continuité de ϕ (X) en
·
√
1
X = 0 implique A + B = 0, soit ϕ (X) = 2iA sin
2mE X . La continuité en X = L
¸
· ~
1√
2mE L = 0. On ne peut accepter la
implique l’une des deux conditions A = 0 ou sin
~
condition A = 0 pour décrire une
· particule¸car, dans ce cas ϕ (X) ≡ 0 (la particule n’est
1√
2mE L = 0 est, par contre, acceptable. L’énergie,
nulle part !). La condition sin
~
√
1
E, est alors telle que
2mE L = kπ où k est un entier arbitraire. L’énergie dépend
~
π2 ~2
. La fonction propre correspondante est alors
donc d’un indice entier : Ek = k2
2m L2 ·
·
¸
¸
1√
X
ϕk (X) = 2iA sin
2mEk X = 2iA sin kπ
.
L
~
Nous n’imposons pas la continuité de la dérivée de ϕk (X) en X = 0 ou X = L,
cela conduirait à ϕk (X) ≡ 0.
Les états propres de l’énergie satisfont la relation
On choisit le coefficient A de telle sorte que l’ensemble des fonctions
r
·propres
¸
X
2
sin kπ
forme une base orthonormée de l’espace des états : ϕk (X) → vk (X) =
.
L
L
Ces fonctions forment une base parce que l’hamiltonien est une observable.
Nous introduisons la variable sans
√ dimension x = X/L et nous effectuons le chanL
ϕ (X) . Le puits est caractérisé par l’intervalle
gement de fonction ϕ (X) → ψ (x) =
2
x ∈ [0, 4]. Les fonctions v (X) deviennent les fonctions u (x) définies par les relations A2,
page 16. Celles-ci constituent une base de l’espace des fonctions d’onde (l’hamiltonien est
une observable).
Les fonctions d’onde les plus générales se décomposent sous la forme
X
ψ (x) =
cn un (x)
La fonction ψ, définie par les relations A1 page 16 admet les coefficients de développement
apair = 0 et pour les premiers termes aimpair il vient :
k=
ak =
1
1, 3581
3
−0, 97009
5
0, 45271
7
−8, 8190 × 10−2
Cette fonction satisfait la relation hψ |ψi =
R3
1
9
−3, 4824 × 10−2
(1 + cos (πx))2 dx = 3.
...
Annexe
35
Mesurons l’énergie de la particule. Il vient, par exemple,
|a1 |2
ha1 u1 |a1 u1 i
|1, 3581|2
=
P roba(E = E1 ) =
. On trouve P roba(E = E1 ) =
' 0, 61.
hψ |ψi
3
3
Immédiatement après la mesure, le système est dans l’état |u1 i avec la probabilité 0, 61.
Considérons maintenant un appareil qui ne mesure pas l’énergie mais qui sélectionne suivant un premier canal les particules d’énergie E1 , suivant un second canal celles
telles que E3 ≤ E ≤ E7 et suivant un troisième canal les particules telles que E7 < E.
Cette mesure n’est pas une mesure de l’énergie. L’appareil se contente de filtrer et d’orienter les particules selon qu’elles appartiennent à l’une ou l’autre des trois catégories. Nous
décomposons |ψi sous la forme
|ψi =(a1 |u1 i) + (a3 |u3 i + a5 |u5 i + a7 |u7 i) +
(
∞
P
ak |uk i).
k=9
Nous posons |θ1 i = a1 |u1 i , |θ2 i = a3 |u3 i + a5 |u5 i + a7 |u7 i et |θ 3 i =
∞
P
ak |uk i .
k=9
Immédiatement après la mesure le système est dans l’un des trois états possibles |θ1 i , |θ2 i ou |θ3 i . La probabilité pour que le système se trouve dans l’état |θ2 i
¢2 ´
¡
1³
hθ 2 |θ2 i
=
= 0, 38. Si nous mesurions
0, 970092 + 0, 452712 + 8, 8190 × 10−2
est
hψ |ψi
3
l’énergie nous trouverions une valeur comprise ente E3 et E7 , bornes incluses. Cependant
le système n’est pas dans l’état |u3 i , |u5 i ou |u7 i mais dans l’état |θ2 i où l’énergie présente
une certaine indétermination : |θ2 i = a3 |u3 i + a5 |u5 i + a7 |u7 i .
3- E = 0 : ϕ (X) = AX + B où A et B sont deux constantes d’intégration. La
continuité de ϕ (X) en X = 0 et X = L implique ϕ (X) ≡ 0. Il n’existe donc pas de
particule d’énergie cinétique nulle. On comprend ce résultat à la lumière des relations
d’indétermination. La particule étant localisée dans le puits (∆X ≤ L/2), elle présente un
~
spectre d’impulsion qui ne peut se réduire à une seule valeur car ∆p ≥ . L’impulsion n’est
L
donc pas nulle et l’énergie cinétique non plus : il est impossible d’immobiliser une particule
dans un puits d’énergie potentielle. Ce résultat est spécifique de la théorie quantique, il
ne se retrouve pas dans le cadre de la théorie classique.
36
Chapitre 2 : Annexes
Chapitre 3
EVOLUTION TEMPORELLE D’UN ÉTAT.
A partir de maintenant, lorsqu’aucune ambiguïté n’est à craindre, nous abandonnons l’accent circonflexe sur les opérateurs dépendant de la position, ainsi x̂ sera noté x
− ´ sera noté V, V (r) où V(r) .
et plus généralement V̂ = V³ →
r̂
3.1
Introduction
Considérons une onde plane décrivant une particule libre, de masse m, d’impulsion
→
−
−
→
p = ~ k et d’énergie E = ~ω :
ψ = Ae−i(ωt−k·r)
(3.1)
→
−
p2
. Nous
L’énergie du système considéré est l’énergie cinétique de la particule,
2m
disposons donc de deux expressions différentes de l’énergie. En mécanique quantique, la
→
−
p2
grandeur
devient un opérateur. Appliqué à la fonction d’onde, il donne :
2m
³ −
→´2
→2
−
~k
−~2
p̂
ψ :=
∆ψ =
ψ = Eψ.
2m
2m
2m
La quantité E = ~ω apparaît lorsqu’on dérive par rapport au temps :
∂ψ
∂ψ
−~2
i~
= ~ω ψ. En identifiant les deux expressions obtenues il vient i~
=
∆ψ.
∂t
∂t
2m
Cette équation est satisfaite pour toute combinaison linéaires d’ondes de la forme 3.1 :
c’est l’équation d’évolution de la fonction d’onde la plus générale associée à une particule
libre de masse m.
Supposons maintenant que l’énergie potentielle du système, V (r) , dépende de
la position, r, de la particule. L’énergie est alors la somme de l’énergie potentielle et de
→
−
p2
+ V (r) est appelée "fonction
l’énergie cinétique de la particule. La quantité H =
2m
de Hamilton". En mécanique quantique cette fonction devient l’opérateur hamiltonien :
→2
−
p̂
−~2
+ V. Appliqué à une fonction d’onde, il donne Ĥψ(r) =
∆ψ(r) + V(r) ψ. Si
Ĥ :=
2m
2m
le système est dans un état d’énergie, E, bien définie, la pulsation de sa fonction d’onde
est ω = E/~, celle-ci est donc de la forme ψ (t, r) = A(r) e−iωt ; c’est aussi une fonction
propre de l’hamiltonien : Ĥψ(r) = Eψ(r) . Par conséquent, on obtient les relations
∂
∂
ψ = ~ωψ = Eψ = Ĥψ, soit i~ ψ = Ĥψ(r) . Dans le cas général, c’est une équation
∂t
∂t
de ce type qui régit l’évolution de la fonction d’onde d’un système, même lorsqu’il n’est
pas dans un état propre de l’énergie.
i~
Evolution temporelle d’un état.
38
3.2
Evolution d’un état.
3.2.1
Equation d’évolution, hamiltonien
Pour décrire l’évolution temporelle d’un système physique, on admet qu’il existe
un opérateur hamiltonien, Ĥ, observable tel que l’équation d’évolution se présente
sous la forme
d
∂
i~ ψ = Ĥψ ⇔ i~ |ψi = Ĥ |ψi
(3.2)
∂t
dt
Cette équation est parfois appelée "équation de Schrödinger dépendante du temps" par
opposition à l’équation aux valeurs propre de l’hamiltonien, Ĥ |ψi = E |ψi , que
l’on appelle aussi "équation de Schrödinger indépendante du temps".
On remarquera que dans la première égalité 3.2 ci-dessus, ψ est considérée comme
∂
. Par contre, dans la
une fonction des 4 variables t, x, y et z, ce qui justifie le symbole
∂t
seconde égalité on considère que |ψi représente un état physique qui varie au cours du
d
temps et est donc seulement fonction du temps, ce qui explique la notation
(voir la
dt
figure 3-1).
Figure 3-1.
L’hamiltonien s’obtient à partir de l’expression classique de l’énergie, en utilisant
le principe de correspondance (voir le chapitre précédent).
En l’absence de champ magnétique, si le système est formé de N particules de
masse m1 , m2 , , mk , etc., mN , il vient
ψ = ψ(t;
r1 ,r2 , ,rk , etc,...,rN )
et Ĥ =
P
k
−
~2
∆k + V̂
2mk
où V̂ est l’énergie potentielle : V̂ ψ = V(t; r1 ,r2 , ,rk , etc,...,rN ) × ψ(t; r1 ,r2 , ,rk , etc,...,rN ) ; tandis que ∆k est l’opérateur de Laplace relatif aux seules coordonnées de rk = (xk , yk , zk ) :
µ 2
¶
∂
∂2
∂2
∆k ψ =
+
+
ψ.
∂xk
∂yk
∂zk
En principe, V̂ est un opérateur qui ne dépend pas du temps. Cependant l’énergie
potentielle d’un système physique est fonction des positions des diverses particules et des
champ imposés (champs électriques par exemple). Lorsque ces champs varient avec le
temps, le système est convenablement décrit en introduisant un opérateur V̂ dépendant
du temps. C’est de cette façon que l’on décrit, par exemple, l’évolution d’un atome dans
le champ d’une onde électromagnétique. Dans ce cours, nous ne considérons pas ce type
de situations.
3.2.2 Solution de l’équation d’évolution
L’équation d’évolution est une équation aux dérivées partielles du premier ordre
relativement au temps. Par conséquent, étant donnés les conditions initiales |ψi(t0 ) = |ψ0 i,
la solution de l’équation d’évolution 3.2 est unique. Pour l’obtenir on opère ainsi :
Evolution d’un état.
39
1- On considère une base de l’espace des états, formée de vecteurs propres de Ĥ.
Cette base existe car Ĥ est une observable. Soit {|un i} une telle base, orthonormée :
hum |un i = δ mn et
Ĥ |un i = En |un i
Pour des valeurs n et m différentes, les vecteurs |un i et |um i sont différents ; par contre il
n’est pas exclu que En = Em dans le cas où certaines valeurs de l’énergie sont dégénérées.
2- On décompose |ψ0 i sur la base {|un i} :
X
|ψ0 i =
an |un i avec an = hun |ψ0 i
n
3- On considère la solution de l’équation d’évolution, |ϕn i(t) qui satisfait la condition initiale |ϕn i(t0 ) = |un i .
On vérifie aisément la relation |ϕn i(t) = e−iEn (t−t0 )/~ |un i . En effet, pour
t = t0 la condition initiale est satisfaite et, en outre,
Ĥ |ϕn i(t) = e−iEn (t−t0 )/~ Ĥ |un i = En e−iEn (t−t0 )/~ |un i = En |ϕn i(t)
d
|ϕ i = En e−iEn (t−t0 )/~ |un i = En |ϕn i(t) .
dt n (t)
d
Par conséquent Ĥ |ϕn i(t) = i~ |ϕn i(t) . La solution au problème posé étant
dt
unique, |ϕn i(t) = e−iEn (t−t0 )/~ |un i est la solution cherchée.
or i~
4- Chacune des composantes an |un i de |ψ0 i évolue au cours du temps et devient
an |ϕn i(t) . En additionnant les fonctions an |ϕn i(t) on obtient |ψi(t)
t0
→
an |un i →
P ↓
|ψ0 i = an |un i →
n
t
|ψi(t)
an |ϕn i(t) :=
↓
P
= an |ϕn i(t) :=
En effet, on vérifie que |ψi(t)
n
an e−iEn (t−t0 )/~ |un i
↓
P
an e−iEn (t−t0 )/~ |un i
(3.3)
n
P
:= an e−iEn (t−t0 )/~ |un i satisfait l’équation d’évon
d
lution, i~ |ψi(t) = Ĥ |ψi(t) ainsi que les conditions initiales, |ψi(t0 ) = |ψ0 i .
dt
Considérons la fonction d’onde ϕn (t, r) = e−iEn (t−t0 )/~ un (r) avec Ĥ un (r) =
En un (r) . Une telle fonction est la solution de l’équation d’évolution qui satisfait la condition initiale ϕn (t0 , r) = un (r) . Nous remarquons que l’on obtient ϕn (t, r) en multipliant
ϕn (t0 , r) par le scalaire e−iEn (t−t0 )/~ . Or nous avons vu que deux fonctions d’onde proportionnelles décrivent le même état physique (paragraphe 2.3.1 page 25). La fonction d’onde
ϕn (t, r) représente donc à chaque instant le même état physique : on dit que l’état est
stationnaire, la fonction d’onde ϕn (t, r) est appelée "fonction d’onde stationnaire".
On vérifie aisément que |ϕn i(t) := e−iEn (t−t0 )/~ |un i forme une base orthonormée
de l’espace des états. On en déduit
X
|an |2 = hψ |ψi(t0 )
hψ |ψi(t) =
n
La norme de la fonction d’onde reste constante au cours du temps.
Evolution temporelle d’un état.
40
3.2.3
Mesure de l’énergie, grandeur conservative
A l’instant t, nous mesurons l’énergie. Le résultat est E, c’est un élément Ek , du
spectre de Ĥ. Pour déterminer la probabilité de Ek nous devons décomposer |ψi(t) sous la
P
forme |ψi(t) = |θ k i(t) où |θ k i(t) est vecteur propre de Ĥ pour la valeur propre Ek avec
k
Ek 6= E pour k 6= .
P
Pour ce faire, dans le développement |ψi(t) = an e−iEn (t−t0 )/~ |un i nous regroun
pons tous les termes de même énergie.
Admettons par exemple que le développement de |ψi(t) se limite aux quatre premiers termes. Supposons en outre, que E1 = E2 = E3 := E1 est dégénéré d’ordre 3, tandis
que E4 := E2 n’est pas dégénéré. Dans ces conditions |ψi(t) = |θ 1 i(t) + |θ2 i(t) avec
|θ1 i(t) = e−iE1 (t−t0 )/~ (a1 |u1 i + a2 |u2 i + a3 |u3 i) et |θ2 i(t) = e−iE2 (t−t0 )/~ a4 |u4 i .
La probabilité de trouver E = Ek est donnée par la théorie de la mesure exposée
au chapitre précédent :
P[E=E1 ] =
hθ1 |θ1 i(t)
hψ |ψi(t)
=
|a1 |2 + |a2 |2 + |a3 |2
|a4 |2
et P[E=E2 ] =
hψ |ψi(t0 )
hψ |ψi(t0 )
On constate que les diverses probabilités des résultats d’une mesure d’énergie
sont indépendantes du temps, que Ek soit dégénéré ou non.
h
i
Etant donnée une observable A qui commute avec l’hamiltonien, A, Ĥ = 0, on
démontre (voir l’annexe page 44) que les probabilités des divers résultats de la mesure de
A sont indépendantes du temps. Une telle grandeur est dite "conservative".
3.3
Evolution des valeurs moyennes de grandeurs observables
Nous considérons le cas d’une particule soumise à l’hamiltonien Ĥ dont la fonction
d’onde est ψ (t, r) . Cette fonction d’onde satisfait l’équation d’évolution
i~
∂ψ
= Ĥψ
∂t
(3.4)
3.3.1
Préalable
Considérons l’opérateurA et formons la quantité hψ |Aψi . Admettons que A dédA
= Ȧ. Formons la dérivée de hψ |Aψi par rapport au temps.
pende du temps, et posons
dt
Il vient
ZZZ
d
d
hψ |Aψi =
ψAψd3 x
dt
dt
¶
¶
µ
ZZZ
ZZ Z
ZZZ µ
∂
∂
ψ Aψdx +
ψ d3 x
ψȦψd3 x +
ψA
=
∂t
∂t
∂ψ
= −iĤψ/~, on trouve
∂t
ZZZ ³
ZZZ
Z ZZ
³
´
´
d
i
−i
hψ |Aψi =
ψȦψd3 x +
ψA Ĥψ d3 x
Ĥψ Aψdx +
dt
~
~
¯ E −i
¯
E
iD
¯
¯
=
Ĥψ |Aψi + hψ ¯Ȧψ +
hψ ¯AĤψ
~
~
En utilisant l’équation d’évolution 3.4,
Evolution des valeurs moyennes de grandeurs observables
41
¯
E
D
¯
or Ĥ est hermitique car c’est une observable, on en déduit Ĥψ |Aψi = hψ ¯ĤAψ , et
par conséquent
¯ E
¯h
i E
d
1
¯
¯
hψ |Aψi =
hψ ¯ A, Ĥ ψ + hψ ¯Ȧψ
dt
i~
d
Remarquons que A = 1 implique hψ |ψi = 0. On retrouve le résultat précédent :
dt
la norme de la fonction d’onde est une constante (paragraphe 3.2.3).
3.3.2 Evolution d’une valeur moyenne, théorème d’Ehrenfest
hψ |Aψi
.
Considérons une observable, A, dont la valeur moyenne est hAi =
hψ |ψi
1
d hAi
d
=
hψ |Aψi =
Nous avons vu que hψ |ψi est une constante, on en déduit
hψ |ψi dt
dt
¯ E
¯h
i E
¯
¯
hψ ¯Ȧψ
1 hψ ¯ A, Ĥ ψ
+
soit encore
hψ |ψi
hψ |ψi
i~
iE D E
1 Dh
d hAi
=
A, Ĥ + Ȧ
dt
i~
Appliquons cette relation au cas d’une particule de masse m soumise à l’énergie
→2
−
h
i
p̂
+ V. Posons A = x. On vérifie la relation x, Ĥ =
potentielle V (r) . Dans ce cas Ĥ =
2m
·
¸
h
i
p̂x2
p̂x
p̂x
p̂x
x,
[x, p̂x ] + [x, p̂x ]
, avec [x, p̂x ] = i~ on obtient x, Ĥ = i~ . On en
=
2m
2m
2m
m
1
d hxi
=
hp̂x i
déduit
dt
m
hp̂x i = m
−
→
d hxi
d hri
et plus généralement hp̂i = m
dt
dt
(3.5)
La particule étant décrite par un paquet d’onde de petite extension, hri = hri(t)
d hri
représente la "position" de la particule à l’instant t. On assimile alors
à la vitesse,
dt
→
−
v de la particule telle qu’elle est décrite dans la théorie classique (préquantique) du point
−→
→
p . La relation 3.5 est donc
matériel† . De même hp̂i est assimilé à l’impulsion classique, −
→
−
→
−
la relation classique p = m v .
h −
→ i
Considérons maintenant le cas A = p̂x . En utilisant les relations p̂x , p̂ 2 = 0 et
∂V
[p̂x , V ] = −i~
on obtient
∂x
−
→
¿
À
D
E
∂V
d hp̂x i
dhp̂i
=−
= − ∇V
et plus généralement
dt
∂x
dt
D
E
→
−
En assimilant − ∇V à la force classique, F , on retrouve le principe fondamental
de la dynamique :
−
→
D
E
→
−
d2
dhp̂i
= m 2 hri = F := − ∇V
(3.6)
dt
dt
† Remarquons que les opérateurs x et p̂ ne dépendent pas du temps dans la mesure où, quel que soit
x
l’instant considéré, ce sont les mêmes opérations qui permettent de passer de ψ à xψ et de ψ à p̂x ψ. Par
contre hxi et hp̂x i sont des fonctions du temps parce que ces quantités dépendent de la fonction d’onde
qui est elle-même une fonction du temps.
Evolution temporelle d’un état.
42
Les résultats démontrées dans ce paragraphe sont connus sous le nom de "théorème d’Ehrenfest".
3.3.3 Limite classique de la théorie quantique
−
→
En théorie classique, la force, Fc , qui s’exerce sur un corpuscule dépend
´de sa
³
−
→
.
position, rc . Elle se déduit de l’énergie potentielle par la relation Fc(rc ) = − ∇V
(rc )
Les équations du mouvement satisfaites par rc s’écrivent
³
´
d2
m 2 rc = − ∇V
dt
(rc )
(3.7)
En général
D la
E quantité
³ hri
´ ne satisfait pas les équations du mouvement classique,
. Dans ce cas les équations 3.6 sont identiques aux
sauf lorsque − ∇V = − ∇V
(hri)
équations 3.7 (sous réserve de substituer hri à rc ). Ceci ne se produit que dans le cas où
V (r) est une fonction des coordonnées de r, du second degré au plus.
Supposons que la fonction d’onde soit un paquet d’ondes ψ (t, r) de "petite" extension spatiale. Plus précisément, supposons qu’à chaque instant, le support de ψ soit
contenu dans la sphère de centre hri = hri(t) et de rayon ρ(t) . Il vient
ZZ Z
Z ZZ
D
E
− ∇V = −
ψ(t,r) ψ(t,r) ∇V(r) d3 x
ψ(t,r) ψ (t,r) d3 x. Les intégrales triples
/
s’étendent seulement au volume V de la sphère précédente, car la fonction ψ est nulle à
l’extérieure. L’extension spatiale du paquet d’ondes est dite "petite" dans la mesure où,
à chaque instant, ∇V(r) ' ∇V
(hri) pour kr − hrik ≤ ρ.
ZZ Z
ZZZ
Dans ces conditions il vient
On en déduit
V
ψ(t,r) ψ(t,r) ∇V(r) d3 x ' ∇V(hri)
D
E ³
´
∇V ' ∇V
ψ(t,r) ψ(t,r) d3 x.
V
(hri)
et par conséquent, hri satisfait pratiquement les équations classique du mouvement.
Les équations classiques du mouvement d’une particule, apparaissent donc comme
les équations satisfaites par les valeurs moyennes des coordonnées de la particule, à la
limite où celle-ci est décrite par un paquet d’onde de "petite" extension spatiale. Remarquons que cette condition est précisément celle qui permet d’assimiler la particule à un
point matériel.
On comprend pourquoi, pendant si longtemps, la mécanique classique du point
matériel n’a pas été mise en défaut.
3.4
La densité de courant
Rappelons que la densité de particules, ρ, et la densité de courant, J, ont été
définies précédemment (paragraphe 1.4 page 6) :
´
→ −i~ ³
−
ψ∇ψ − ψ∇ψ
ρ (t, r) = ψψ et J =
2m
ZZZ
Nous considérons un volume V qui, à l’instant t, contient N particules : N (t) =
ρ d3 x. Le nombre de particules, dNexit , qui quittent le volume V pendant le temps
V
dt peut être calculé de deux manières : ZZ Z
d
1- (dNexit )V = − N × dt = dt ×
dt
qui ont quitté le volume V.
V
−
∂ρ 3
d x. C’est le nombre de particules
∂t
La densité de courant
2- (dNexit )ΣV = dt ×
43
ZZ
ΣV
−
J ·→
n dΣ : c’est le flux de particules qui traverse la
surface ΣV limitant le volume V. L’intégrale de surface se transformeZZ
enZ une intégrale de
h i
div J d3 x.
volume au moyen de la formule d’Ostrogradsky : (dNexit )ΣV = dt ×
On déduit de ce qui précède la relation
ZZZ µ
h i ∂ρ ¶
div J +
d3 x = (dNexit )ΣV − (dNexit )V .
∂t
V
V
Si aucune particule n’est ni créée, ni annihilée, celles qui quittent le volume V sont celles
qui traversent la surface ΣV quel que soit le volume V considéré. Dans ce cas il vient
h i
∂ρ
+ div J = 0
∂t
(3.8)
Une telle relation exprime la conservation du nombre de particules.
du
Nous allons montrer que l’équation d’évolution assure la conservation
µ
¶
∂ρ
1 −~
∂ψ
∂ψ
∂ψ
nombre de particules. En effet,
=
ψ+ψ
=
∆ψ + V ψ .
avec
∂t
∂t
∂t
∂t
i~ 2m
¢
∂ρ
~ ¡
=
∆ψ ψ − ψ ∆ψ .
On en déduit
∂t
2im
´ −i~ ¡
h i −i~ ³
¢
∇· ψ∇ψ − ψ∇ψ =
ψ∆ψ − ψ∆ψ =
D’autre part on calcule div J =
2m
2m
∂ρ
−
. La relation 3.8 est donc satisfaite.
∂t
Considérons une population nombreuse de particules toutes identiques et indépendantes, décrites par la fonction d’onde ψ. Nous pouvons nous représenter une telle
population comme un fluide de densité ρ (t, r), animé d’un courant J (t, r) (N.B. il faudrait utiliser "densité de courant" de préférence à courant). A un instant donné ce fluide
remplit l’espace comme le ferait un nuage constitué de goutelettes d’eau. Au cours du
temps les particules de fluide se déplacent, le nuage se déforme tandis que le nombre
de particules reste constant. La densité du fluide représente la densité moyenne de particules. Cette image constitue l’interprétation hydrodynamique de la mécanique
ondulatoire.
Lorsqu’on décrit une seule particule, le fluide devient un fluide de probabilité de
présence.
L’interprétation hydrodynamique d’un fluide de particules (lorsque celles-ci sont
nombreuses) ou d’un fluide de probabilité (lorsqu’on décrit une seule particule) est un
moyen commode pour se représenter un état physique. En réalité, un tel fluide n’existe
pas car les particules quantiques ne sont pas localisées avant qu’on ne mesure leur position.
Lorsqu’on considère des particules de charge q, les densités de charge et de courant qui apparaissent dans les équations de Maxwell comme source du champ électromagnétiques sont respectivement qρ et q J, comme pour un fluide chargé dont la densité
volumique de particules serait ρ et la densité de courant J.
Lorsque J dépend du temps, le système rayonne de l’énergie électromagnétique
sous forme d’ondes. Ce n’est pas le cas lorsque J est constant.
Considérons, à l’instant t = 0, un état propre de l’énergie. Au cours du temps, lors
de son évolution, cet état reste un état propre de l’énergie (voir ci-dessus, page 39, la notion
~2
∆un + V un = En un (r).
d’état stationnaire) : ψ = Ae−iEn t/~ un (r) avec Ĥun (r) := −
2m
Chapitre 3 : Annexes
44
µ
¶
−i~ ∂ψ
En
∂ψ
∂ψ
∂J
∂ψ ∂ψ
=
∇ψ + ψ∇
−
∇ψ − ψ∇
=
ψ.
avec
∂t
2m ∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
i~
∂J
→
−
= 0 . On en déduit que dans un état propre de l’énergie, le système ne
On trouve
∂t
rayonne aucune énergie électromagnétique.
Formons
Le modèle de Bohr décrit l’atome d’hydrogène comme un électron en mouvement
circulaire autour du proton, tandis que celui-ci peut être considéré comme pratiquement
immobile à l’origine d’un repère galiléen. Dans le cadre de l’ancienne théorie des quanta,
un tel modèle fournit les premières explications concernant la quantification des énergies
et le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène. Cependant, d’après les lois de l’électromagnétisme, l’atome devrait rayonner, perdre de l’énergie, et l’électron devrait se retrouver
rapidement au contact du proton. Or il n’en est rien : les résultats précédents expliquent
pourquoi, sur son niveau d’énergie fondamentale, l’atome ne rayonne pas.
Annexe 1 : grandeur conservative
h
i
Admettons que le commutateur A, Ĥ est nul. Il y a donc une base de vec-
teurs propres communs à A et Ĥ. Les vecteurs de cette base† sont notés |an , E , ri avec
A |an , E , ri = an |an , E
P, ri et Ĥ |an , E , ri = E |an , E , ri . A l’instant initial t0 , l’état
Cn, ,r |an , E , ri . Le vecteur |an , E , ri est un vecteur propre de
du système est |ψ0 i =
n, ,r
t, le vecteur e−iE (t−t0 )/~ |an , E , ri .
l’hamiltonien, Ĥ; il évolue pour devenit à l’instant
P
Cn, ,r e−iE (t−t0 )/~ |an , E , ri. Regroupons
A l’instant t, l’état du système est |ψi(t) =
n, ,r
tous les vecteurs qui admettent la même valeur propre de A :
X
X
|ϕn i(t) avec |ϕn i(t) =
Cn, ,r e−iE (t−t0 )/~ |an , E , ri .
|ψi(t) =
n
,r
Le vecteur |ϕn i apparaît comme une décomposition sur une base de vecteurs orthonor¯2 P
P¯
maux. On en déduit hϕn |ϕn i = ¯Cn, ,r e−iE (t−t0 )/~ ¯ = |Cn, ,r |2 . Ainsi hϕn |ϕn i est
,r
,r
indépendant du temps. Il en est de même pour hψ |ψi(t) car nous avons démontré que la
norme de |ψi est constante. Par conséquent, la probabilité de an est une constante car
hϕ |ϕ i
P (an ) = n n . On dit que A est une grandeur conservative. La moyenne de A, l’écart
hψ |ψi
quadratique moyen sur la mesure de A sont des constantes. En particulier si, à un instant
quelconque, |ψi est un vecteur propre de A, il reste vecteur propre de A pour la même
valeur propre.
Annexe 2 : Un exemple d’évolution
Nous considérons le puits de potentiel étudié en annexe des chapitre précédents
(page 15 et suivantes et page 33).
Nous supposons qu’à l’instant T = 0 la fonction d’onde est la fonction ϕ0 (X).
Cette fonction se décompose sur la base des fonctions propres de l’hamiltonien vn (X) :
X
ϕ0 (X) =
ak vk (X)
k
† Voir
les notations page 29.
Annexe
45
La fonction vk est associée à la valeur propre Ek = k2 ×
π 2 ~2
(voir la section 2.5 page
2m L2
33) : Ĥ vk (X) = Ek vk (X) .
D’après les résultats généraux, à l’instant T, la fonction d’onde est
ϕ (T, X) =
X
2
ak e−in
ωT
vk (X) avec ω =
k
π2~
2m L2
√
√
L
L
π X
= x,
ϕ (T, X) = ψ (t, x) et
vk (X) = uk (x) . Il vient
Nous posons ωT = t,
8 L
2
2
X
2
ψ (t, x) =
ak e−iπn t/8 uk (x) avec
k
µ
¶
1
kπx


pour x ∈ [0, 4]
 √ sin
4
2
uk (x) =



/ [0, 4]
0 pour x ∈
On vérifie que la base {|uk i} est formée de vecteurs orthonormalisés :
hun |uk i :=
Z
4
un (x) uk (x) dx = δ nk .
0
La fonction ϕ0 (X) que nous considérons est celle qui correspond à la fonction
ψ (0, x) définieµ par ¶les relations
µ
¶ A1 page 16. Pour une telle fonction il vient
1
3
√ cos
kπ − cos
kπ
32 2
4
4
ak =
pour k 6= 4 et a4 = 0 (voir le paragraphe 1.8).
π
k (k2 − 16)
10
P
2
ak e−iπn t/8 uk (x) avec
Nous considérons l’approximation ψ (t, x) ' ψ10 =
k=1
apair = 0 et aimpair donné dans le tableau ci-après :
k=
ak =
1
1, 3581
3
−0, 97009
5
0, 45271
7
−8, 8190 × 10−2
9
−3, 4824 × 10−2
ψ10 (t, x) est une approximation convenable de ψ (t, x). On peut s’en convaincre
qualitativement, pour t = 0, en considérant le graphique 1.23 de la page 17 représentant
ψ10 (0, x). On peut aussi considérer le problème de la qualité de l’approximation ψ (t, x) '
ψ10 (t, x) en remarquant que ψ10 (t, x) est amputé des composantes de l’énergie En pour
n > 10 et en posant la question : ”Quelle est la probabilité, P, pour qu’une mesure
de l’énergie, donne l’une des valeurs En avec n > 10 ?”. L’énergie étant une grandeur
conservative, la valeur de P ne dépend pas du temps. Nous effectuons donc le calcul à
l’instant initial. Les postulats de la mesure étudiés au chapitre 2 page 19 conduisent au
résultat
∞
10
X
X
1
1
×
×
|ak |2 = 1 −
|ak |2 = 1, 7 10−4
P =
hψ |ψi
hψ |ψi
k=11
k=1
Cette probabilité étant assez petite, on peut considérer que ψ (t, x) est convenablement représenté par ψ 10 (t, x) .
2
Nous représentons à divers instants |ψ10 (t, x)| ; cette quantité est pratiquement
proportionnelle à la densité de présence de la particule.
Chapitre 3 : Annexes
46
t=0
t=2
t = 0,3
t = 1,6
t = 0,5
t = 0,7
t = 1,3
t=1
t = 0,8
On constate une évolution (périodique) de la localisation de la particule dans le
puits.
R 2,5
1,5
R 2,5
Par exemple, la probabilité de 1, 5 < x < 2, 5 est P (t) = R 4
|ψ10 (t, x)|2 dx
1,5
.
R4
2
|ψ
(t,
x)|
dx
10
0
0
|ψ (t, x)|2 dx
|ψ (t, x)|2 dx
'
Un calcul explicite donne
t=
P (t) =
0
0, 92
0,5
0, 34
1
0, 039
A l’instant initial, t = 0, la particule est presque certainement dans l’intervalle
considérée (1 − P = 1 − 0, 92 = 0, 08 << 1). A l’instant t = 1 la particule a pratiquement
quitté cet intervalle (P = 0, 039 << 1) .
Deuxième partie
Modèles à une dimension.
47
Rappels
Nous avons vu l’importance de l’hamiltonien en mécanique quantique. Cet opérateur est l’observable associée à l’énergie et de plus c’est lui qui régit l’évolution temporelle
des systèmes étudiés. Pour ces raisons, dans les exemples qui suivent, nous étudions le
spectre de l’hamiltonien et les fonctions propres correspondantes. Nous nous attachons à
donner l’interprétation physique des résultats obtenus et à souligner les différences entre
la théorie classique et la théorie quantique.
Par la suite, nous nous limitons à l’étude des modèles à une dimension.
L’espace est généralement rapporté à un repère galiléen où les trois coordonnées
x, y et z sont les coordonnées de position. Dans le cas des problèmes à une dimension, une
seule variable, x par exemple, suffit à décrire les positions. Ceci se produit, par exemple,
lorsqu’on étudie un fin pinceau de particules qui se déplace suivant l’axe Ox ou encore
lorsque le problème considéré présente la symétrie plane.
Certaines propriétés seront utilisées à diverses reprises dans l’étude des modèles
à une dimension. Il est utile de les rappeler avant d’entreprendre l’étude des premiers cas
traités.
• a) Rappelons que, dans les problèmes à une dimension, les fonctions d’onde
sont des fonctions complexes de la variable réelle de position, x, que ce sont des fonctions
continues, dont les dérivées sont continues. Cependant lorsque les modèles utilisés ne
représentent pas des situations physiques réelles† , il peut arriver qu’il faille abandonner
la continuité de la dérivée et même, en dernier ressort, la continuité de la fonction elle
même.
• b) Les fonctions d’onde sont des fonctions de carré sommable. Cependant, nous
acceptons parmi ces fonction d’onde les fonctions généralisées de Dirac δ (x − a) ainsi
que les fonctions de la forme Aeikx qui décrivent correctement des états physique idéaux,
respectivement une particule localisée en x = a et une particule d’impulsion ~k, bien
définie. En aucun cas nous n’acceptons les fonctions d’onde dont le module diverge pour
x → +∞ ou x → −∞.
• c) Rappelons que dans les problèmes à une dimension, le produit scalaire de
deux états |ϕi et |ψi de fonction d’onde ϕ (x) et ψ (x) admet pour expression
hϕ |ψi :=
Z
+∞
ϕ (x) ψ (x) dx.
−∞
† Par exemple lorsque l’énergie potentielle est discontinue, avec une discontinuité infinie (voir le puits
infini page 11).
Rappels
50
• d) Rappelons enfin l’expression de l’opérateur impulsion p̂x et de l’opérateur
"énergie cinétique", Êc , d’une particule de masse m :
p̂x = −i~
d
p̂2
~2 d2
, Êc = x = −
dx
2m
2m dx2
Les opérateurs p̂x et Êc sont des opérateurs autoadjoints. Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté,
l’opérateur p̂x sera noté p̂, et même, plus simplement, p.
• e) Nous allons considérer divers modèles dont l’étude demande la solution d’une
équation du second ordre à coefficients constant de la forme
−
d2 F (x)
= K F (x)
dx2
où K est un scalaire réel indépendant de x. Rappelons sans démonstration l’expression
de la solution générale d’une telle équation.
1. K < 0. On pose K = −γ 2 . La solution est de la forme
F = Aeγx + Be−γx
où A et B sont des constantes.
2. K > 0. On pose K = k2 . La solution est de la forme
F = Aeikx + Be−ikx
où A et B sont des constantes.
Chapitre 4
LA PARTICULE LIBRE ET LA MARCHE DE POTENTIEL.
4.1
La particule libre
Considérons une particule libre, de masse m, à une dimension. Son énergie se
p̂2
.
réduit à l’énergie cinétique. L’opérateur hamiltonien est donc Ĥ = Êc =
2m
4.1.1 Solution de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien
L’équation aux valeurs propres de l’énergie s’écrit Ĥ |ψi = E |ψi soit :
−
~2 d2
ψ (x) = E ψ (x)
2m dx2
On distingue deux cas :
1. E < 0. La solution de l’équation s’écrit sous la forme
ψ (x) = Aeγx + Be−γx
1√
−2mE. Les coefficients A et B sont des constantes d’intégration.
~
Lorsque x → +∞, la fonction Be−γx s’annule tandis que |Aeγx | devient infini, sauf
pour A = 0. Les fonctions d’onde étant bornées nous devons poser A = 0.
Lorsque x → −∞, la fonction Aeγx s’annule tandis que |Be−γx | devient infini, sauf
pour B = 0. Les fonctions d’onde étant bornées nous devons poser B = 0.
La seule fonction d’onde convenable est donc la fonction d’onde ψ (x) = 0. Une telle
fonction d’onde ne représente pas une particule qui serait présente quelque part sur
Ox. On en déduit que E < 0 n’appartient pas au spectre de l’hamiltonien.
Ce résultat est conforme au résultat classique qui donne une valeur positive ou nulle
à l’énergie cinétique.
avec γ =
2. E > 0. La solution se met sous la forme
ψ (x) = Aeikx + Be−ikx
1√
2mE tandis que A et B sont des constantes d’intégration arbitraires.
~
La solution la plus générale apparaît comme la superposition des deux solutions
uD (x) et uG (x) :
avec k =
uD (x) := Aeikx et
uG (x) = Be−ikx .
On constate que E étant positif arbitraire il existe toujours deux fonctions propres
indépendantes uD et uG , admettant E pour valeur propre. Le spectre de Ĥ est donc
continu et dégénéré d’ordre 2 pour E > 0. En anticipant sur l’interprétation de
La particule libre et la marche de potentiel.
52
uD (x) et uG (x) donnée au paragraphe suivant, soulignons que cette dégénérescence
est liée à la possibilité de disposer de deux sources de particules : l’une située en
x = −∞, produit un flux de particules se dirigeant vers les x positifs, l’autre source
située en x = +∞ produit un flux de particules se dirigeant vers les x négatifs (voir
aussi la discussion paragraphe 5.1.3, page 68).
Une base orthonormalisée de fonctions propres de Ĥ peut être prise sous la forme
1
eipx/~ , la valeur propre correspondante de l’énergie est E = p2 /2m. Reup (x) = √
2π~
d
marquons que up (x) est aussi une fonction propre de l’impulsion, p̂ = −i~ . Nous en
dx
déduisons que p̂ et Ĥ commutent, ce que l’on peut vérifier directement.
4.1.2 Interprétation des états propres de l’énergie
a) Interprétons la fonctions uD (x) := Aeikx :
d
uD (x) satisfait la relation p̂ uD (x) := −i~ uD (x) = ~kuD (x) . C’est une foncdx
tion propre de l’impulsion. Cette fonction d’onde représente donc des particules d’impul√
2π
2π~
=
sion pD = ~k = 2mE ; la longueur d’onde de deBroglie associée est λ =
|pD |
k
L’interprétation hydrodynamique permet d’associer à la fonction d’onde uD (x) :=
ikx
Ae
un
fluide de particules, indépendantes et dans le même état physique d’impulsion
√
2mE. La densité linéaire des particules est |A|2 ; la répartition des particules est donc
~k
2 ~k
=
uniforme. Dans ce modèle, le flux de particules en un point est ΦD = |A|
où
m
m
r
2E
représente la vitesse des particules. Ce flux se dirige vers les x > 0.
m
b) Interprétons uG (x) = Be−ikx de la même façon.
√
La fonction uG (x) représente des particules d’impulsion pG = −~k = − 2mE ;
2π
2π~
=
|pG |
k
Le fluide correspondant de l’interprétation hydrodynamique présente une densité linéaire uniforme, |B|2 et un flux de particule, ΦG , dirigé vers les x < 0, égal à
r
2E
2
ΦG = − |ΦG | = − |B|
.
m
la longueur d’onde de de Broglie associée est λ =
soit
On peut faire le bilan du flux de particules en un point. Φ = ΦD +ΦG = |ΦD |−|ΦG |
r
´
2E ³ 2
|A| − |B|2
m
Nous pouvons calculer le courant J en un point quelconque :
¶
µ
¡
¢
dψ dψ
−i~
−
ψ = ~k AA − BB = Φ
ψ
J :=
2m
dx
dx
Φ=
On retrouve un résultat déjà mentionné : dans les problèmes à une dimension, le flux de
particule est identique au courant J (voir page 15).
La particule libre
53
Etant donnée une fonction d’onde, remarquons que l’expression du flux (du courant) en un point se calcule sans qu’il soit nécessaire de connaître la fonction d’onde
partout. Par contre, pour affirmer que l’impulsion est bien définie, il faut connaître la
fonction d’onde partout. Toute référence à une particule qui aurait une impulsion précise
dans telle région limité de l’espace est dénuée de sens en mécanique ondulatoire car la
particule qui a une impulsion précise, p, occupe tout l’espace : sa fonction d’onde est
Aeipx/~ . Par contre tout état présente un courant bien défini en chaque point.
A
B
x
Figure 4-1.
Sur la figure 4-1, on a schématisé les ondes et leur courant
Interférences
Considérons l’expression ψ (x) = Aeikx + Be−ikx . Cette fonction d’onde est la
superposition de deux fonctions d’onde dont les courants sont de sens opposés. Chacune
des ondes uD (x) = Aeikx et uG (x) = Be−ikx présente une densité linéaire uniforme mais
leur superposition fait apparaître une figure d’interférences. Nous posons AB = |AB| eiθ .
La densité de présence associée à l’onde ψ (x) est
ρ = |ψ (x)|2 = |A|2 + |B|2 + 2 |AB| cos (2kx + θ) . La présence du terme d’interférences,
2 |AB| cos (2kx + θ) , est caractéristique du comportement ondulatoire des phénomènes
étudiés. Ses effets sont bien connus, en optique par exemple.
4.1.3
ψ
2
A=B
ψ
2
λ/2
A=B
λ/2
x
x
frange sombre
frange brillante
Figure 4-2.
frange noire
frange brillante
Pour des corpuscules, on pourrait s’attendre à ce que les densités s’additionnent
comme pour les automobiles sur une autoroute où le nombre de voiture par kilomètre, ρc ,
est égale à la somme du nombre de voiture par kilomètre qui se dirigent dans un sens et du
2
2
nombre de voitures par kilomètre qui se dirigent en sens contraire (ρc = |A| + |B| ). Ce
n’est pas le cas. La mécanique ondulatoire nous enseigne ainsi que le concept de corpuscule
est un modèle dont la pertinence est limitée. Remarquons que le terme d’interférence est
nul en moyenne sur une longueur λ/2. Par conséquent, il ne peut pas être observé si le
pouvoir séparateur des instruments disponibles n’est pas suffisant : le terme d’interférence
ne modifie pas le nombre moyen de particule par unité de longueur, il modifie seulement
la répartition des particules qui se retrouvent de préférence sur une frange brillante, aux
points d’abscisse x, tels que cos (2kx + θ) = 1.
4.1.4 Evolution d’un paquet d’onde
Considérons la fonction d’onde d’une particule qui à l’instant t = 0 est donnée
sous la forme ψ (0, x) = ψ0 (x) . Nous décomposons ψ0 (x) sur la base des fonctions up (x) ,
La particule libre et la marche de potentiel.
54
fonctions propres de Ĥ pour la valeur propre
ψ0 (x) =
Z
p2
:
2m
f (p) up (x) dp
La relation d’orthonormalisation, hup |uq i = δ (p − q), permet de calculer f(p) :
Z
Z
1
√
e−ipx ψ0 (x) dx
f (p) = up (x) ψ0 (x) dx =
2π~
A l’instant t, quelconque, la fonction d’onde a pour expression :
Z
Z
p2
1
−iEp t/~
eipx dp
up (x) dp = f (p) e−i 2m~ t √
ψ (t, x) = f (p) e
2π~
Figure 4-3.
Sur la figure 4-3 nous avons représenté l’évolution d’un paquet d’onde : la fonction
f (p) ainsi que la densité de présence à divers instants. On constate que le centre du paquet
d’onde se déplace ; en termes classique cela signifie que la particule se déplace. La vitesse
correspondante est la "vitesse de groupe" du paquet d’ondes.
L’étalement du paquet d’ondes varie aussi avec le temps. Dans un premier temps
le paquet se ressert pour atteindre un étalement minimal à l’instant 4θ. Il commence alors
à s’étaler, ce qui n’aura plus de cesse.
Bien que la figure 4-3 ne concerne qu’un paquet d’ondes particulier les résultats
mis en évidence sont très généraux.
Considérons le cas d’un paquet d’ondes dont l’expression est de la forme ψ (t, x) =
|f(p)| eiΦ(p,t,x) dp. Nous supposons que |f(p)| présente un maximum très net pour la
valeur p = p0 . La contribution principale à l’intégrale qui définit ψ (t, x) provient donc des
valeurs p ≈ p0 . La phase Φ varie rapidement avec p sauf lorsque t et x prennent des valeurs
dΦ
= 0; dans un tel cas la phase est dite "stationnaire". La contribution à
telles que
dp
l’intégrale est négligeable si p est très différent de p0 ; elle est également négligeable si la
phase n’est pas stationnaire pour p = p0 . Dans ce cas, en effet, intégrer |f(p)| eiΦ(p,t,x) au
voisinage de p0 revient à supposer que |f(p)| ' |f(p0 )| ' constante, tandis que l’intégrale
de l’exponentielle est négligeable dans la mesure où elle se réduit à l’intégrale d’un sinus
et d’un cosinus sur plusieurs périodes. La fonction |ψ (t, x)| présente donc un maximum
R
La marche de potentiel
55
µ
¶
dΦ
= 0. Cette condition définit une relation entre x et t que l’on écrit sous la
pour
dp p0
forme x = x(t). Le point géométrique dont l’abscisse est x = x(t) à chaque instant t est
situé dans la région où la densité de présence est maximale. La vitesse de ce point est
la vitesse de groupe vg .
px
p2
t+
+ ξ.
Dans le cas de la particule libre il vient f (p) = |f (p)| eiξ et Φ = −
2m~
~
µ ¶
µ ¶
µ ¶
x
dξ
p0
p0
dξ
dΦ
t+ +
=−
= 0 soit x = t −
. La vitesse
On en déduit
dp p0
m~
dp p0
m
dp p0
~
de groupe est donc
p0
vg =
m
La quantité p0 est ce que l’on croyait être l’impulsion de la particule avant l’introduction de la théorie quantique. vg est donc ce que l’on croyait être la vitesse de la
particule. Effectivement, si la région où l’on a des chances de trouver la particule est assez
petite pour qu’on puisse l’assimiler à un point, la vitesse de déplacement de ce point est
assimilé à la vitesse de la particule et c’est précisément vg .
vitesses de phase” du paquet d’onde. Considérons
On introduit parfois ”les
R
la fonction d’onde ψ (t, x) = |f (p)| eiΦ(p,t,x) dp. Cette fonction apparaît comme la superposition d’ondes |f (p)| eiΦ(p,t,x) dont la phase est Φ (p, t, x) . Considérons un point
géométrique qui se déplace de dx pendant le temps dt. Le paramètre p étant donné, la
∂Φ
∂Φ
dx +
dt. Imposons que la phase reste constante sur
variation de la phase est dΦ =
∂x
∂t
∂Φ
∂Φ
dx +
dt = 0. Les quantités dx et dt satisfont alors
le point considéré. Cela implique
∂x
∂t
la relation
∂Φ ∂Φ
dx
=−
/
vΦ =
dt
∂t ∂x
La vitesse, vΦ , de déplacement de ce point est la ”vitesse de phase”. Dans le cas de la
px
p2
p
t+
. Remarquons
+ ξ et par conséquent vΦ =
particule libre il vient Φ = −
2m~
2m
~
qu’il n’y a qu’une seule vitesse de groupe pour un paquet d’ondes mais qu’il y a autant
de vitesse de phase que de valeur de p dans le spectre de la fonction d’onde (une infinité
en général).
4.2
La marche de potentiel
Considérons une particule de masse m soumise à l’énergie potentielle
½
0 pour x < 0 : région I
V (x) =
V0 pour x > 0 : région II
Une telle "marche de potentiel" peut être réalisée par le montage suggéré figure
4-4 pour des électrons, à la limite où leurs longueurs d’onde de de Broglie sont très
supérieures à a.
La marche de potentiel permet de décrire divers systèmes physiques en première
approximation : la surface d’un métal par exemple. Dans le métal, on peut considérer, en
première approximation, que les électrons de conduction sont mis en commun et constituent un gaz d’électrons susceptibles de se déplacer librement. Les électrons restent piégés
dans le métal car il ne possèdent pas une énergie cinétique suffisante pour s’échapper.
La particule libre et la marche de potentiel.
56
La région I de la figure 4-4 représente alors le métal tandis que la région II représente
l’extérieur du métal. L’énergie des électrons étant E (avec E < V0 ), le seuil en fréquence
de l’effet photoélectrique est ν 0 , tel que E + hP ν 0 = V0 .
V(x)
V0
Énergie potentielle
Région I : x < 0
−
e
Région II : x > 0
x
−
e
a
−
+
Figure 4-4.
L’hamiltonien du système est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :
p̂2
+ V (x)
Ĥ =
2m
L’équation aux valeurs propres de l’énergie s’écrit Ĥψ = Eψ. On distingue les deux cas
E > V0 et E < V0 . Pour chacun des cas il faut étudier la solution dans la région I et dans
la région II et assurer le raccordement entre les expressions de la solution obtenues pour
chacune des régions.
4.2.1
Le cas E > V0 .
a) Les solutions de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien
L’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien prend deux formes différentes
selon que l’on considère la région I : x < 0 ou la région II : x > 0 :

~2 d2 ψ


2 2
= E ψ pour x < 0
−
~ d ψ
2m
dx2
+ V (x)ψ = E ψ →
−
2 2
2

2m dx
 − ~ d ψ + V0 ψ = E ψ pour x > 0
2m dx2
Posons k =
1√
1p
2mE et k0 =
2m (E − V0 ) . Il vient
~
~
½
ψI (x) = Aeikx + Be−ikx pour x < 0
0
0
ψ=
ψII (x) = Ceik x + De−ik x pour x > 0
Les diverse ondes et leur courant sont schématisés ci-dessous :
La marche de potentiel
57
A
C
B
D
x
Figure 4-5.
La fonction d’onde est continue : On en déduit ψI (0) = ψII (0) soit
A+B =C +D
La dérivée de la fonction d’onde est continue :
µ
d
ψ
dx I
¶
=
(0)
µ
d
ψ
dx II
¶
soit
(0)
k (A − B) = k0 (C − D)
Les 4 coefficientsA, B, C et D sont reliés entre eux par deux équations. Les coefficients B et C peuvent donc s’exprimer en fonction de A et D. Nous définissons les
fonctions uD et uG correspondant respectivement au cas D = 0 et au cas A = 0. On
trouve
uD (x) =
uG (x) =
avec
½
½
A eikx + RA e−ikx pour x < 0
0
T A eik x pour x > 0
T 0 D e−ikx pour x < 0
0
0
D e−ik x + R0 D eik x pour x > 0
k − k0
k + k0
k0 − k
R0 = 0
k +k
R=
2k
k + k0
2k0
T0 = 0
k +k
T =
Remarquons que R et T sont réels dans le cas considéré.
Les solutions uD et uG sont respectivement proportionnelles aux coefficients arbitraires A et D. La solution générale est la superposition des deux fonctions : u = uD + uG
pour des valeurs de A et D a priori arbitraires, mais adaptées aux conditions physiques
imposées.
A
R’D
TA
RA
x
a)
T’D
D
x
b)
Figure 4-6.
Les courants correspondants aux diverses composantes de uD et uG sont représentés sur la figure 4-6. L’interprétation des solutions uD et uG s’en déduit.
La particule libre et la marche de potentiel.
58
b) L’interprétation physique
La fonction uD (x) représente une onde incidente issue de la région I : ψ i = Aeikx . Le
2 ~k
, il est positif. Cette onde donne naissance, dans la région I, à l’onde
courant est |A|
m
−ikx
ψR = AR e
, réfléchie en x = 0. Le courant correspondant se dirige vers les x négatifs,
0
2 ~k
. Une onde est transmise dans la région II : ψT = AT eik x . Le courant
il vaut − |AR|
m
0
2 ~k
.
correspondant est positif : |AT |
m
Les coefficients R et T sont les "coefficients de réflexion et de transmission
en amplitude".
L’état physique décrit par uD est engendré par une source de particules (un canon
à électrons par exemple) située dans la région x < 0.
L’interprétation hydrodynamique nous permet d’assimiler le système décrit par
2
uD à un fluide dont la densité linéaire moyenne de particule est |A| dans le courant
2
2
incident, |AR| dans le courant réfléchi et |AT | dans le courant transmis. Le nombre de
particules incidentes qui atteint le point d’abscisse x = 0 pendant l’unité de temps est
2 ~k
. Le nombre de particules qui quitte
le courant associé au flux incident : Φi = |A|
m
0
2 ~k
le point d’abscisse x = 0 pendant l’unité de temps est ΦT = |AT |
dans le courant
m
2 ~k
dans le courant réfléchi. On vérifie directement la relation
transmis et ΦR = |AR|
m
0
k
1 = |R|2 + |T |2 . On en déduit Φi = ΦR + ΦT . Cette relation signifie que le nombre
k
de particules reste constant : il n’y a pas de particules qui disparaissent ni de particules
qui apparaissent en x = 0, car toutes les particules qui y parviennent en repartent : il y a
conservation du nombre de particules.
Dans le cadre classique, la particule possède l’énergie cinétique E dans la région
I. Cette énergie cinétique est suffisante pour que la particule passe dans la région II où
l’énergie cinétique de la particule est E − V0 > 0. Aucune particule n’est réfléchie. Le
phénomène de réflexion est donc un phénomène typiquement ondulatoire.
Il est possible de mettre en évidence une analogie avec l’optique. Dans chacune
2π
2π
des régions on peut définir une longueur d’onde : λI =
et λII = 0 . L’indice du milieu
k
k
k0
λI
= . On en déduit
II par rapport au milieu I est définis comme en optique : n :=
λII
k
1−n
2
R=
.Ces coefficient sont précisément les coefficients de réflexion et de
et T =
1+n
1+n
transmission en amplitude d’une onde lumineuse au passage d’un dioptre sous l’incidence
normale.
L’analogie avec l’optique se poursuit lorsqu’on étudie la densité linéaire moyenne
de particules décrites par la fonction d’onde uD (voir la figure 4-7)
¡
¢
ρ = |uD |2 = |A|2 1 + R2 + 2R cos (2kx) .
La marche de potentiel
59
R > 0 ( i.e. k > k’’ )
A
RA
ρ = uD 2
TA
λ/2
2
A 2(1+R)2
2
A (1-R)
x
Figure 4-7.
La superposition des ondes incidente et réfléchie construit une figure d’interférences sur fond sombre, d’interfrange λ/2 = π/k.
0
La fonction uG (x) représente une onde incidente issue de la région II : ψ0i = De−ik x .
~k0
, il est négatif. Cette onde donne naissance, dans la région II, à
Le courant est − |D|2
m
0
0
l’onde ψR = DR0 eik x , réfléchie en x = 0. Le courant correspondant se dirige vers les x
0
0
2 ~k
. Une onde est transmise dans la région I : ψ0T = DT 0 e−ik x .
positifs, il vaut |DR0 |
m
~k
.
Le courant correspondant est négatif : − |DT 0 |2
m
L’état physique décrit par uG est engendré par une source de particules située
dans la région x > 0.
Ici encore on vérifie la conservation du nombre de particules, tandis que l’analogie
avec l’optique peut-être établie comme dans le cas précédent de la fonction uD .
4.2.2
Le cas 0 < E < V0 .
a) Les solutions de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien
L’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien prend deux formes différentes
selon que l’on considère la région I : x < 0 ou la région II : x > 0.

2 2

 − ~ d ψ = E ψ pour x < 0
2 2
~ d ψ
2m
dx2
+ V (x)ψ = E ψ →
−
2 2
ψ
~
d

2m dx2
 −
+ V0 ψ = E ψ pour x > 0
2m dx2
Posons k =
1√
1p
2mE et γ =
2m (V0 − E) . Il vient
~
~
ψ=
½
ψI (x) = Aeikx + Be−ikx pour x < 0
ψII (x) = αeγx + βe−γx pour x > 0
La fonction d’onde est bornée. Cela implique α = 0; en effet si ce n’était pas le
cas |ψ| deviendrait infini pour x → ∞.
La fonction d’onde est continue : On en déduit ψI (0) = ψII (0) soit
A+B =β
La particule libre et la marche de potentiel.
60
La dérivée de la fonction d’onde est continue :
µ
d
ψ
dx I
¶
=
(0)
µ
d
ψ
dx II
¶
soit
(0)
ik (A − B) = −γβ
De ce qui précède on déduit l’expression de ψ :
ψI (x) = Aeikx + RAe−ikx ,
R=
ik + γ
,
ik − γ
τ=
ψII (x) = τ Ae−γx
avec
2ik
ik − γ
b) L’interprétation physique
Dans la région I, la fonction d’onde est la superposition de l’onde ψi = Aeikx et
de l’onde ψr = RAe−ikx .
2 ~k
, venues de la
L’onde ψi décrit un flux de particules de courant positif |A|
m
région x = −∞ et se dirigeant vers la marche de potentiel. Une telle onde représente
l’onde "incidente".
2 ~k
négatif et se
L’onde ψr représente un flux de particule de courant − |B|
m
dirigeant donc vers la région x = −∞; l’onde ψr est l’onde "réfléchie". Le coefficient R
est le coefficient de réflexion en amplitude. Le coefficient de réflexion en nombre
de particules est le rapport du nombre de particules réfléchies
au nombre de particules
¯ ¯2
¯B ¯
2
2
incidentes dans le même temps. Ici, c’est le rapport ¯¯ ¯¯ = |R| . Calculons |R| en
A
2
utilisant l’expression de R; il vient |R| = 1 . L’onde subit donc une réflexion totale dans
la mesure où toute particule incidente est réfléchie.
Les ondes incidente et réfléchie construisent une figure d’interférences dans la région I. La densité de présence est ρI = |ψI |2 . Posons R = |R| eiθ , il vient
ρI = 2 (1 + cos (2kx − θ)) . La réflexion étant totale, le minimum de ρI correspond à une
frange noire. Dans la région x < 0 on observe donc une alternance de franges brillantes et
π
λ
=
de frange noires. L’interfrange est
2
k
2
A
RA
Ψ =ρ
onde évanescente
x
λ/2
Dans la région II, la fonction d’onde est ψII = τ Ae−γx . En utilisant l’expression
1.5 (voir aussi page 15) on vérifie aisément que le courant est nul. La densité de présence
décroît de façon exponentielle quand x → ∞. L’onde présente dans la région II est appelée
"onde évanescente".
La marche de potentiel
61
Dans la théorie classique, aucune particule ne peut passer dans la région II si
son énergie cinétique dans la région I est inférieure à V0 (soit E < V0 ). Ici la situation
est différente et ressemble à la situation que l’on rencontre en optique où le mécanisme
de réflexion totale sur un dioptre engendre une onde évanescente dans le milieu le plus
réfringent.
iγ
.
On peut aussi remarquer la relation e−γx = ei(iγx) et définir l’indice n =
k
Lorsqu’une onde électromagnétique tombe sur un métal, celui-ci peut être décrit au moyen
d’un indice complexe. L’onde électromagnétique pénètre dans le métal où son amplitude
décroît exponentiellement avec de la profondeur de pénétration. L’onde dans le métal est
une onde évanescente. On retrouve ici un résultat similaire.
Remarques
1. Les particules produites avec l’énergie E < V0 ne peuvent être produites que dans
la région I: x < 0.
2. Considérons la densité de présence en x > 0. On vérifie que celle-ci tend vers zéro à
la limite V0 → ∞. Ainsi dans la région II, la fonction d’onde est elle nulle dans ce
cas.
Dans ces conditions la continuité de la fonction d’onde peut être assurée en posant
A + B = 0. Par contre si on impose aussi la continuité de la dérivée il vient A − B =
0. La fonction d’onde serait alors identiquement nulle. Pour traiter "le mur" de
potentiel correspondant à V0 = ∞, on abandonne donc cette dernière condition pour
privilégier la continuité de la fonction d’onde. La solution s’écrit ψI = cte × sin kx
avec ψII = 0.
3. Le cas E < 0 peut être étudié sans difficulté. La seule solution est ψ = 0. Aucune
particule ne peut donc présenter une énergie négative.
4.2.3
Conclusion
Le spectre de l’hamiltonien est donc un spectre continu borné inférieurement ; les
valeurs propres sont arbitraires dans l’intervalle [0, ∞] . Elles ne sont pas dégénérées pour
E ∈ [0, V0 ] . Les valeurs propres de H̃ sont dégénérées d’ordre 2 pour E > V0 .
A l’instar de la mécanique classique, la mécanique ondulatoire prévoit que les
particules d’énergie assez grande (E > V0 ) peuvent passer de la région I à la région
II.
Dans le cas contraire (E < V0 ), la mécanique ondulatoire prévoit, conformément
à la mécanique classique, que les particules issues de la région I sont toutes réfléchies par
la marche de potentiel et n’engendrent aucun courant dans la région II.
La particule libre et la marche de potentiel.
62
mécanique ondulatoire
V(x)
courant
E > V0
V0
onde évanescente
E < V0
x
mécanique classique
E > V0
E < V0
e
−
e
−
e
e
−
−
a
−
+
Figure 4-8.
A la différence de ce que prévoit la mécanique classique, dans le cas E > V0 , toutes
les particules issues de la région I (resp. II) ne sont pas transmises dans la région II (resp.
I) : certaines d’entre-elles sont réfléchies. La proportion de particules réfléchies est le rap2
port du courants de particules réfléchies au courant de particules incidentes, soit |R| .
La proportion de particules transmises est le rapport des courants correspondants, soit
k0
|T |2 k0 /k. La relation |R|2 + |T |2
= 100% := 1 peut être vérifiée directement. Elle
k
exprime la conservation du nombre de particules au passage de l’une des régions à l’autre.
Dans le cas E < V0 , il n’est pas impossible de trouver des particules dans la région
II où existe une onde évanescente que ne prévoit pas la mécanique classique.
La mécanique ondulatoire apparaît donc comme compatible avec la mécanique
classique du point matériel ; elle présente cependant de fortes analogies avec l’optique (on
utilise parfois l’expression ”optique électronique”, pour décrire le fonctionnement d’un
microscope électronique par exemple).
Chapitre 5
LA BARRIÈRE ET LE PUITS DE POTENTIEL.
5.1
La barrière de potentiel
Considérons une particule à une dimension de masse m soumise à l’énergie potentielle V (x) :
½
0
pour |x| > a
V (x) =
V0 pour |x| < 0
avec V0 > 0.
V (x)
V0
Région : II
Région : I
-a
Région : III
a
x
Figure 5-1.
Les fonctions propres de l’énergie satisfont l’équation
~2 d2 ψ
= Eψ
2m
dx2
~2 d2 ψ
−
+ V0 ψ = Eψ
2m dx2
−
pour |x| > a
pour |x| < a
Nous distinguons les deux cas E > V0 et E < V0 .
5.1.1
Le cas E > V0 .
a) Les solutions de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien
La solution de l’équation aux valeurs propres de l’énergie est donnée ci-dessous
pour chacune des trois régions indiquées figure 5-1
√
x < −a :
ψI = Aeikx + Be−ikx
avec k = p2mE / ~
0
0
−a < x < a : ψII = Ceik x + De−ik x avec k0 =√ 2m (E − V0 ) / ~
ikx
−ikx
x>a :
ψIII = F e + Ge
avec k = 2mE / ~
La fonction ainsi définie est bornée. Nous devons nous assurer de sa continuité et
de celle de sa dérivée.
La barrière et le puits de potentiel.
64
La continuité de la fonction d’onde impose ψ I (−a) = ψII (−a) (continuité en
x = −a) et ψII (a) = ψIII (a) (continuité en x = a) :
Ae−ika + Beika
0
0
Ceik a + De−ik a
0
0
= Ce−ik a + Deik a
= F eika + Ge−ika
dψII
dψI
=
La continuité de la dérivée impose
dx
dx
¸
et
x=−a
dψIII
dψII
=
dx
dx
¸
:
x=a
³
´
¢
¡
0
0
k Ae−ika − Beika = k0 Ce−ik a − Deik a
³
´
¡
¢
0
0
= k F eika − Ge−ika
k0 Ceik a − De−ik a
Les six constantes d’intégration A, B, C, D, F et G sont reliées entre elles par 4 équations.
Il est possible d’exprimer B, C, D et F en fonction de A et G. La solution générale est
la superposition des deux fonctions uD et uG correspondant respectivement aux valeurs
G = 0 et A = 0.
On trouve
uD (x) =
½
A eikx + RA e−ikx pour x < −a
0
T A eik x pour x > a
0
0
uD (x) = Aα eik x + Aβ e−ik x pour −a < x < a
½ 0
T G e−ikx pour x < −a
0
0
uG (x) =
G eik x + R0 G e−ik x pour x > a
0
0
uG (x) = Gα0 eik x + Gβ 0 e−ik x pour −a < x < a
Les quatre équations de raccordement permettent de calculer les coefficients R, T, R0
et T ainsi que les coefficients α, β, α0 et β 0 . On trouve par exemple
0
T =
e−2ika
cos (2k0 a) − i
k2 +k02
2k k0
sin (2k0 a)
(5.1)
La solution générale, fonction propre de l’énergie pour la valeur propre E > V0 , est
ψ (x) = uD (x) + uG (x) pour des valeurs de A et B arbitraires, a priori, mais adaptées
aux conditions physiques imposées.
b) Interprétation physique
La fonction d’onde uD (x) représente une onde incidente, issue de la région I.
Cette onde est partiellement réfléchie et partiellement transmise dans la région III. La
fonction d’onde uG représente une onde issue de la région III qui est partiellement réfléchie
et partiellement transmise dans la région I. Les coefficients R et T sont les coefficient
de réflexion et de transmission en amplitude de l’onde uD , tandis que R0 et T 0 sont les
coefficients de réflexion et de transmission associés à l’onde uG (voir la figure 5-2)
La barrière de potentiel
65
G
A
T’ A
TA
R’ G
RA
II
Région I
III
Région I
uD
II
III
uG
Figure 5-2.
~k
~k
, le flux transmis dans la région III est |T A|2
. Le
m
m
2
coefficient de transmission en intensité est le rapport de ces deux flux, il vaut |T | . De
même, le coefficient de réflexion en intensité est |R|2 . La relation |R|2 + |T |2 = 1 peut
être vérifiée à partir de l’expression de R et T. Elle assure la conservation du nombre de
particules : le nombre de particules qui pénètrent dans la barrière est égal aux nombre de
particules qui en sortent pendant le même temps.
De même, on peut démontrer la conservation du nombre de particules à l’interface
entre deux régions voisines. Entre les régions I et II par exemple, on écrit que le nombre
de particules qui atteignent le point d’abscisse x = −a pendant le temps dt est égal
au nombre de particules qui s’éloignent de ce même point pendant le même temps :
~k0
~k
~k0
2 ~k
+ |β|2
= |RA|2
+ |α|2
.
|A|
m
m
m
m
Nous donnons ci-dessous (figure 5-3) la représentation de la densité de présence
d’une particule dont la fonction d’onde est uD (x) : ρ(x) = |uD (x)|2 .
2
Le flux incident est |A|
αA
A
RA
ρ(x)
TA
βA
x
-a
a
Figure 5-3.
On remarquera la continuité de ρ et de sa dérivée, conséquences des conditions
de passage en x = −a et x = a. Dans la région II la densité de présence maximale est
supérieure à la densité maximale dans la région I, cependant le courant y est inférieur au
courant incident car k0 < k.
L’expression 5.1 du coefficient de transmission montre que celui-ci est toujours
inférieur ou égal à l’unité. Pour |T |2 = 1 la transmission est totale ; le coefficient de
réflexion est alors nul. Ceci se produit pour 2k0 a = N π, où N est un entier. En introduisant
λ0
λ0 , longueur d’onde de de Broglie dans la région II, il vient 2a = N . C’est une condition
2
semblable que l’on impose aux couches antireflet ; dans ce cas ce sont des ondes lumineuses
qui sont concernées et non des ondes de matière mais l’analogie méritait d’être soulignée.
La barrière et le puits de potentiel.
66
Lorsque la transmission est totale, la barrière introduit, sur l’onde incidente, un
déphasage en x = a, mais n’en modifie pas l’amplitude.
5.1.2
Le cas 0 < E < V0 .
a) Les solutions de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien
La solution de l’équation aux valeurs propres de l’énergie est donnée ci-dessous
pour chacune des trois régions indiquées figure 5-1
√
x < −a :
ψI = Aeikx + Be−ikx
avec k = p2mE / ~
−a < x < a : ψII = Ceγx + De−γx
avec γ = √ 2m (V0 − E) / ~
ikx
−ikx
x>a :
ψIII = F e + Ge
avec k = 2mE / ~
La fonction ainsi définie est bornée. Nous devons nous assurer de sa continuité et
de celle de sa dérivée. Les équations de passage sont
Ae−ika + Beika
Ceγa + De−γa
¢
¡ −ika
− Beika
ik Ae
¢
¡
γa Ceγa − De−γa
= Ce−γa + Deγa
= F eika + Ge−ika
¡
¢
= γa Ce−γa − Deγa
¡
¢
= ik Aeika − Be−ika
Ici encore nous distinguons les deux solutions uD correspondant à G = 0 et uG
correspondant à A = 0.
La solution générale, fonction propre de l’énergie pour la valeur propre E > V0 , est
ψ (x) = uD (x) + uG (x) pour des valeurs de A et B arbitraires, a priori, mais adaptées
aux conditions physiques imposées.
La fonction d’onde uD (x) décrit un courant positif, de particules incidentes issues
de la région I tandis que uG (x) décrit des particules issues de la région III :
uD (x) =
½
Aeikx + AR e−ikx pour x < a
AT eikx pour x > a
uD (x) = Aαeγx + Aβe−γx
Le coefficient de transmission, T, se déduit de l’expression 5.1 ci-dessus en effec¢
1¡ θ
e + e−θ
tuant la substitution ik0 → γ et en utilisant la relation cos (iθ) = cosh θ :=
2
¢
i¡ θ
e − e−θ :
ainsi que sin (iθ) = i sinh θ =
2
T =
e−2ika
2
2
−γ
cosh (2γa) − i k 2kγ
sinh (2γa)
b) L’effet tunnel
Dans le cadre de la théorie classique, l’énergie cinétique des particules dans la
région I est E. Cette valeur est insuffisante pour que les particules issues de la région
I passent dans la région II où leur énergie potentielle, V0 , serait supérieure à E. Les
particules sont toutes réfléchies. La situation est différente dans le cadre de la mécanique
La barrière de potentiel
67
ondulatoire où la barrière de potentiel présente un coefficient de transmission non nul.
Cet effet est appelé "effet tunnel ".
L’image véhiculée par cette dénomination est la suivante. Pour qu’un véhicule
passe un col de montagne sur son élan, il faut qu’il possède, au pied de la montagne,
une énergie cinétique, E, supérieure (ou égale) à l’énergie potentielle, V0 , qu’il aura au
sommet du col. A cette seule condition le véhicule pourra passer sur l’autre versant de la
montagne. Si ce n’est pas le cas (pour E < V0 ), le véhicule peut atteindre l’autre versant
de la montagne en empruntant un tunnel.
Figure 5-4.
La figure 5-4 donne une représentation de la densité de présence, ρ (x) , d’une
particule décrite par la fonction d’onde uD (x) . Dans la région I, l’onde est la superposi2 ~k
tion d’une onde incidente dont le courant est |A|
et d’une onde réfléchie de courant
m
~k
~k
, le courant transmis dans la région III est alors |AT |2
. La conservation du
− |AR|2
m
m
2
2
nombre de particules s’écrit encore |R| + |T | = 1.
Dans la région II, intermédiaire, règne une onde évanescente. On vérifie aisément
l’absence de tout courant.
c) Microscopie à effet tunnel†
Nous avons vu qu’une marche de potentiel est susceptible de décrire la surface
d’un métal (voir page 56). Deux solides métalliques voisins peuvent être décrits par deux
marches de potentiel qui se raccordent. L’ensemble constitue une barrière de potentiel.
On applique une différence de potentiel entre les deux solides métalliques de façon à créer
un courant électrique (figure 5-5 b). Le courant traverse la barrière par effet tunnel. Son
intensité est très sensible à l’épaisseur, 2a, de la barrière.
Figure 5-5.
† STM
ou "scanning tunneling microscopy" en Anglais.
La barrière et le puits de potentiel.
68
Dans le microscope à effet tunnel, l’un des conducteurs (ou semiconducteur)† est
une surface horizontale à étudier tandis que le second conducteur est une pointe verticale,
en or, platine ou tungstène, dont l’extrémité est constituée par un atome (dans le cas
idéal).
Cette pointe est solidaire de céramiques piézoélectriques qui peuvent lui faire
subir des déplacements verticaux de très faible amplitude ainsi qu’un balayage horizontal
dont l’amplitude peut être de l’ordre de quelques nanomètres à quelques micromètres.
La pointe est située à une distance de l’ordre de quelques angströms de la surface
métallique que l’on souhaite étudier.
Pointe
i
i
Conducteur
Figure 5-6.
Entre la pointe et la surface on applique une différence de potentiel de l’ordre
de quelques millivolts à quelques volts. Il apparaît un très faible courant électrique (de
l’ordre de ou inférieur au nanoampère). Dans le mode de fonctionnement le plus courant,
on balaye alors la zone à étudier en déplaçant verticalement la pointe pour maintenir le
courant constant. La position horizontale de la pointe étant résolue avec une précision de
l’ordre de 10−2 nm et les déplacements verticaux avec une précision de l’ordre de 10−3 nm,
on obtient une topographie précise de la surface étudiée.
Les précautions à prendre sont nombreuses : il faut amortir les vibrations mécaniques du microscope, prévenir l’oxydation de la pointe, éviter le dépôt d’un film d’eau
sur la pointe et la surface à étudier, etc. La réalisation de la pointe, le contrôle de sa
position à la précision requise (mieux que le nanomètre), l’amplification et la mesure de
très faibles intensités (etc.) sont des opérations techniquement délicates aussi, bien que
l’idée en fut plus ancienne‡ , ce n’est qu’en 1983 que le premier appareil a été réalisé par
G. Binning et H. Roher au laboratoire de recherche d’IBM à Zürich, ce qui leur valut le
prix Nobel de physique en 1986.
Le microscope à effet tunnel permet la construction d’objets atome par atome.
C’est le microscope à effet tunnel qui, en 1990, permit à des chercheurs d’IBM d’ouvrir
l’histoire des "nanotechnologies " en dessinant les trois lettres I B M avec 35 atomes de
xénon sur une surface de nickel.
5.1.3 Conclusion
On peut démontrer qu’aucune solution n’existe pour E < 0.
Le spectre de l’hamiltonien est donc un spectre continu. Les valeurs propres sont
positives et dégénérées d’ordre 2. Cette dégénérescence d’ordre 2 est directement liée à la
possibilité de disposer de deux sortes de sources différentes :
la première, située dans la région I, produit des particules d’énergie E se dirigeant
vers les x positifs (courant incident positif),
la seconde, située dans la région III, engendre un courant incident négatif (particules se dirigeant vers les x négatifs).
† Pour
étudier la surface d’un isolant, on utilise le microscope à forces atomiques.
première observation de l’effet tunnel entre deux métaux séparés par du vide fut rapporté par
Young and al. en 1971. Cependant, les problèmes techniques ne permirent pas, à l’époque, la construction
d’images à l’échelle atomique.
‡ La
Le puits de potentiel
69
Pour la marche de potentiel, dans le cas étudié page 59, aucune source dans la
région x > 0 ne peut produire des particules d’énergie E < V0 se dirigeant vers les x
négatifs. La valeur, E, de l’énergie n’est donc pas dégénéré dans ce cas.
5.2
Le puits de potentiel
Considérons une particule à une dimension de masse m soumise à l’énergie potentielle V (x) :
½
0
pour |x| > a
V (x) =
(5.2)
V0 pour |x| < a
avec V0 < 0.
Région : I
Région : II
-a
Région : III
x
a
V0
Figure 5-7.
Comme pour la barrière de potentiel, notre but est l’étude du spectre de l’hamiltonien et des fonctions propres associés.
On distingue deux cas selon que E est supérieur ou inférieur à 0.
5.2.1
Le cas E > 0.
Lorsque l’énergie est positive, on étudie les fonctions propres de l’énergie comme
pour la barrière. Les résultats sont similaires. La seule différence réside dans le fait que k0
est maintenant supérieur à k.
αA
A
ρ(x)
TA
βA
RA
x
-a
a
Figure 5-8.
La solution générale, fonction propre de l’énergie pour la valeur propre E > 0, est
ψ (x) = uD (x) + uG (x) pour des valeurs de A et B arbitraires, a priori, mais adaptées
aux conditions physiques imposées.
La barrière et le puits de potentiel.
70
5.2.2
Le cas V0 < E < 0.
La forme de la fonction d’onde dans les diverses régions est la suivante
√
x < −a :
ψI = Aeγx + Be−γx
avec γ = p−2mE / ~
−a < x < a : ψII = Ceikx + De−ikx avec k = √ 2m (E − V0 ) / ~
x>a :
ψIII = F eγx + Ge−γx
avec γ = −2mE / ~
La fonction d’onde est bornée. Cette condition impose B = F = 0. On en déduit
ψ I = Aeγx , ψII = Ceikx + De−ikx , ψIII = Ge−γx
(5.3)
Les conditions de continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée fournissent 4
équations :
¢
¡ −ika
− Deika ¢
en x = −a : Ae−γa = Ce−ika + Deika , γAe−γa = ik Ce
¡
Ge−γa = Ceika + De−ika , −γGe−γa = ik Ceika − De−ika
en x = a :
Nous sommes en présence d’un système linéaire de 4 équations à 4 inconnues (A, C, D
et G). En règle général la solution est A = C = D = G = 0 sauf si le déterminant, ∆,
associé au système est nul. Dans ce cas, les quatre équations ne sont pas indépendantes.
La solution A = C = D = G = 0 n’est pas acceptable dans la mesure où elle décrit une
particule qui n’est nulle part ! Les solutions acceptables existent donc dans le seul cas
∆=0:
¯
¯ −ika
¯
¯ e
−e−γa
eika
0
¯
¯
−γa
¯
¯ ike−ika −ikeika
−γe
0
¯
¯
∆ = ¯ ika
−ika
−γa ¯ = 0
e
0
−e
e
¯
¯
¯ ikeika
−ike−ika 0
γe−γa ¯
Les quantités γ et k sont des fonctions de E. La condition ∆ = 0 peut donc être considérée
comme une équation que E doit satisfaire. Ainsi seules certaines valeurs de E seront
éventuellement acceptables. Le cas échéant, dans la région V0 < E < 0, le spectre de
l’énergie sera discret.
Pour étudier le spectre de l’énergie nous pourrions expliciter l’équation ∆ = 0, en
chercher les solutions et étudier les fonctions propres correspondantes. Nous emploierons
cependant une méthode différente.
5.2.3 L’opérateur parité.
Définissons l’opérateur parité P : Pψ (x) := ψ (−x)
a) P est hermitique
On vérifie que P estRun opérateur hermitique.
R∞
∞
En effet hϕ |Pψi := −∞ ϕ(x) Pψ(x) dx := −∞ ϕ(x) ψ(−x) dx. Effectuons le changement de variable x = −u. Il vient
´
R∞
R∞ ³
hϕ |Pψi = −∞ ϕ(−u) ψ (u) du = −∞ Pϕ(u) ψ (u) du = hPϕ |ψi .
Nous avons donc démontré l’hermiticité de P, c’est-à-dire la relation hϕ |Pψi =
hPϕ |ψi .
b) P est une observable
Pour vérifier que P est un opérateur observable, il faut vérifier que toute fonction
d’onde est une somme de fonctions propres de P. L’équation aux valeurs propres de P
s’écrit : Pψ (x) = λ ψ (x) . En utilisant la définition de P il vient ψ (−x) = λ ψ (x) soit
encore P [ψ (−x)] = λP [ψ (x)] ce qui s’écrit ψ (x) = λ ψ (−x) . On en déduit
ψ (x) = λ ψ (−x) = λ2 ψ (x) ⇒ λ2 = 1
Le puits de potentiel
71
L’opérateur P étant hermitique, ses valeurs propres sont réelles ; par conséquent λ = ±1.
Pour λ = 1 l’équation aux valeurs propres de P s’écrit ψ (−x) = ψ (x) : les
fonctions paires sont donc les fonctions propres de l’opérateur parité pour la valeur propre
λ = 1.
Pour λ = −1 l’équation aux valeurs propres de P s’écrit ψ (−x) = −ψ (x) : les
fonctions impaires sont donc les fonctions propres de l’opérateur parité pour la valeur
propre λ = −1.
1
1
Soit ψ (x) une fonction quelconque : ψ (x) = {ψ (x) + ψ (−x)}+ {ψ (x) − ψ (−x)} .
2
2
1
1
La fonction {ψ (x) + ψ (−x)} est une fonction paire tandis que {ψ (x) − ψ (−x)} est
2
2
une fonction impaire. Toute fonction d’onde est donc la somme de une ou deux fonctions
propres de l’opérateur
h
i P : celui-ci est donc un opérateur observable.
c) Calcul de P, Ĥ
Considérons l’hamiltonien d’une particule de masse m soumise à l’énergie potenh
i
~2 d2
P,
Ĥ
,
+
V
(x)
.
Pour
calculer
le
commutateur
tielle quelconque V (x) : Ĥ = −
2m dx2
nous formons P Ĥ ψ (x) − ĤP ψ (x) .
00
ψ est notée ψ0 et sa¶dérivée
La fonction dérivée
µ de
µ seconde
¶ est notée ψ .
2
2
~ 00
~ 00
ψ (x) + V (x) ψ (x) = −
ψ
P Ĥ ψ (x) = P −
+ V (−x) ψ(−x).
2m
2m
(−x)
¡ ¢
dψ (−x)
= −1 × ψ0 (−x) d’où
Pour calculer ĤP ψ (x) nous utilisons la relation
dx
d2 ψ (−x) ¡ 00 ¢
= ψ (−x) .
on déduit
dx2
µ
¶
~2 d2
~2 00
ψ
ĤP ψ (x) = −
ψ (−x) + V (x) ψ (−x) = −
+ V (x) ψ (−x) .
2m dx2
2m
(−x)
De ce qui précède on déduit P Ĥ ψ (x) − ĤP ψ (x) = [V (−x) − V (x)] ψ (−x)
quelle que soit ψ.
h
i Dans le cas particulier où V (x) est une fonction paire, V (x) = V (−x), il vient
P, Ĥ = 0. Dans ce cas, il existe une base de l’espace des états formée de vecteurs propres
communs à Ĥ et P.
L’énergie potentielle V (x), donnée par l’expression 5.2 est une fonction paire de
x. Nous nous proposons donc d’étudier les fonctions propres de Ĥ qui sont soit paires,
soit impaires.
5.2.4 Etats propres de l’énergie dans cas V0 < E < 0 : fonctions paires
La fonction cherchée est de la forme donnée par les expressions 5.3 avec ψ I (−x) =
ψIII (x) et ψII (−x) = ψII (x). On en déduit
ψI (x) = Aeγx , ψII (x) = B cos (kx) , ψ III (x) = Ae−γx
où A et B sont des coefficients, arbitraires a priori. La fonction ainsi définie étant paire, il
suffit d’imposer les conditions de continuité en x = a; dès lors les conditions de continuité
de la fonction d’onde et de sa dérivée seront assurées en x = −a :
B cos (ka) = Ae−γa , −Bk sin (ka) = −γAe−γa
La solution de ces équations est A = B = 0 sauf pour cos (ka) =
k
sin (ka) .
γ
On définit
ξ := ka :=
ap
2m (E − V0 ) et
~
θ :=
a√
−2mV0
~
La barrière et le puits de potentiel.
72
p
ξ
k
a√
−2mE = θ2 − ξ 2 et = p 2
.
γ
~
θ − ξ2
k
La relation cos (ka) = sin (ka) s’écrit encore
γ
On en déduit γa =
ξ
1
=p 2
:= ηp (ξ)
tan ξ
θ − ξ2
(5.4)
Nous résolvons graphiquement cette équation. Sur la figure 5-9 nous avons représenté le
graphe des deux fonctions ξ 7→ 1/ tan ξ et ξ 7→ ηp (ξ) . L’intersection de ces deux courbes
détermine les valeurs de ξ, solutions de l’équation 5.4 et par conséquent les valeurs de
~2 2
ξ + V0 .
E=
2ma2
Figure 5-9.
Remarquons que les solutions sont en nombre fini (trois solutions apparaissent
sur la figure 5-9). Quelle que soit la valeur de θ, il y a toujours une solution ; il n’y en a
qu’une seule pour θ < π et au moins 2 pour θ > π.
Pour une valeur propre de l’énergie, E, la solution paire est de la forme
ψI (x) = A cos (ka) eγx , ψII (x) = Ae−γa cos (kx) , ψIII (x) = A cos (ka) e−γx
A chaque valeur de l’énergie correspond une fonction propre de l’hamiltonien, définie à
un facteur multiplicatif près (ici c’est A). L’énergie n’est donc pas dégénérée.
La densité de présence de la particule est représentée sur la figure 5-10.
Figure 5-10.
Dans les régions I et III l’onde est évanescente. Dans la région II l’onde est une
superposition de deux ondes de courants opposés qui donnent lieu à une figure d’interférences sur fond noir. A l’origine, x = 0, se trouve une frange brillante.
Le puits de potentiel
73
Etats propres de l’énergie dans cas V0 < E < 0 : fonctions impaires
Le cas des fonctions impaires se traite de façon semblable au cas des fonctions
paires. On trouve
5.2.5
ψI (x) = −Aeγx , ψII (x) = B sin (kx) , ψIII (x) = Ae−γx
avec
B sin (ka) = Ae−γa et kB cos (ka) = −γAe−γx
k
La condition d’existence d’une fonction d’onde non nulle s’écrit sin (ka) = − cos (ka) .
γ
Avec les définitions déjà posées de ξ et θ, il vient
p
θ2 − ξ 2
1
=−
:= ηi (ξ)
tan ξ
ξ
La solution graphique de cette équation est donnée sur la figure 5-11.
Figure 5-11.
Remarquons qu’il n’existe aucune solution impair pour θ < π/2.
Pour une valeur propre de l’énergie, E, la solution impaire est de la forme
ψI (x) = −A sin (ka) eγx , ψII (x) = Ae−γa sin (kx) , ψIII (x) = A sin (ka) e−γx
Ici encore, les énergies ne sont pas dégénérées.
La densité de présence de la particule est représentée sur la figure 5-12.
Figure 5-12
Dans les régions I et III l’onde est évanescente. Dans la région II l’onde est une
superposition de deux ondes de courants opposés qui donnent lieu à une figure d’interférences sur fond noir. A l’origine, x = 0, se trouve une frange noire.
La barrière et le puits de potentiel.
74
5.2.6
Conclusion
Le spectre de l’énergie est continu et dégénéré d’ordre 2 pour E > 0. Il est discret
et non dégénéré pour V0 < E < 0.
Dans le cas des solutions V0 < E < 0, les fonctions propres de l’énergie décroissent
rapidement lorsqu’on s’éloigne du puits. Cela signifie que la probabilité de trouver la
particule loin de l’origine est très faible. On dit que ces états sont des "états liés". Par
opposition, les états correspondant à des flux non nuls vers x = ±∞ sont appelés "états
libres".
5.3
Conclusion en forme de synthèse
Dans l’étude de la marche, de la barrière et du puits de potentiel nous avons
souligné le caractère continu ou discret, dégénéré ou non du spectre de l’hamiltonien.
Ces résultats se généralisent au cas où l’énergie potentielle cesse d’être constante par
morceau. Le diagramme de la figure 5-13 résume les propriétés générales des modèles à
une dimension.
Figure 5-13.
Une question se pose, concernant la valeur précise de l’énergie potentielle. Dans
le cadre de la théorie classique l’énergie potentielle est définie à une constante additive
près. Qu’en est-il dans le cadre de la théorie quantique ?
Nous savons que deux fonctions d’onde proportionnelles décrivent le même état
physique (voir page 25). Ainsi ψ (t, r) et ϕ (t, r) = f(t) ψ (t, r) décrivent le même état
physique. Cependant la forme du produit scalaire est en général modifiée sauf dans le cas
où f (t) = eiθ(t) , la fonction θ (t) étant une fonction réelle du temps t. En effet, dans ce
cas ψ (t, r) = e−iθ(t) ϕ (t, r) , on en déduit
Z ZZ
Z ZZ
Z ZZ
¡
¢
hψ1 |ψ2 i :=
e−iθ(t) ϕ1 e−iθ(t) ϕ2 d3 x =
ψ1 ψ2 d3 x =
ϕ1 ϕ2 d3 x
Le même état physique est décrit aussi bien par ψ (t, r) que par ϕ (t, r), et en outre,
les expressions mathématiques des diverses grandeurs physiques sont formellement les
même : expression et spectre d’une observable, probabilités des divers résultats possibles d’une mesure, valeur moyenne d’un opérateur, etc... Une seule différence subsiste, elle concerne l’hamiltonien qui régit l’évolution de la fonction d’onde. L’équation
Conclusion en forme de synthèse
75
∂ψ
= Ĥψ. En remplaçant ψ (t, r) par e−iθ(t) ϕ (t, r) il vient
d’évolution de ψ s’écrit i~
∂t¶
µ
¢
¡
dθ
∂ϕ −iθ(t)
~2
e
∆ + V (r), on vérifie aii~ −i e−iθ(t) ϕ +
= Ĥ e−iθ(t) ϕ . Pour Ĥ = −
dt
∂t
2m
¢
¡
dθ
∂ϕ
= Ĥϕ − ~ ϕ. Les
sément la relation Ĥ e−iθ(t) ϕ = e−iθ(t) Ĥϕ. On en déduit i~
∂t
dt
équations d’évolution de ϕ et ψ sont régies par des hamiltoniens différents
·
¸
·
¸
∂ϕ
dθ
∂ψ
~2
~2
= −
∆ + V (r) ψ , i~
= −
∆ + V (r) − ~
i~
ϕ
∂t
2m
∂t
2m
dt
Les énergies potentiels diffèrent d’une constante additive arbitraire dans le cas où θ est
d2 θ
choisi de telle sorte que 2 = 0. Ici encore, l’énergie potentielle est définie à une constante
dt
additive près. Cette constante peut même être choisie fonction du temps. Les conventions
généralement respectées consiste à poser lim V (r) = 0 quand c’est possible. Dans ces
krk→∞
conditions les états liés présentent une énergie négative.
76
La barrière et le puits de potentiel.
Chapitre 6
LE POTENTIEL PÉRIODIQUE
6.1
Le double puits de potentiel
Considérons une particule de masse m soumise à l’énergie potentielle V (x) dont
le graphe est représenté sur la figure 6-1.
Figure 6-1.
Si d est assez grand, chacun des puits peut être étudié indépendamment de l’autre.
Les puits étant identiques, ils présentent des spectres d’énergie identiques. Soit E l’une
des valeurs du spectre. Une particule piégée dans le premier puits avec l’énergie E a pour
fonction d’onde u1 (x). La particule piégée dans le second puits avec la même énergie E
est décrite par la fonction d’onde u2 (x). Les fonctions u1 et u2 représentent deux états de
même énergie. Elles se déduisent de l’étude générale des fonctions uE (x) du paragraphe
5.2. Les densités de présence, ρ1 et ρ2 , correspondant à deux solution de même énergie E,
sont représentées sur la figure 6-1. Toute combinaison linéaire de u1 et u2 est une fonction
propre de l’hamiltonien Ĥ pour la valeur propre E. Cette valeur propre se trouve donc
dégénérée d’ordre 2† .
Lorsque la distance 2d, entre les deux puits diminue le potentiel se présente sous
la forme d’un puits de potentiel unique présentant en son milieu une barrière de potentiel
(voir la figure 6-2 a). Nous assimilons cette barrière de potentiel à la fonction W0 δ (x) où
R d+ε
l’on a posé W0 = −d−ε V (x) dx = 2d V0 , tandis que δ (x) est la fonction généralisée de
Dirac.
† Les résultats généraux du paragraphe 5.3 page 74 ne sont pas remis en cause car, en toute rigueur, il
n’y a dégénérescence que pour d → ∞.
Le potentiel périodique
78
V(x)
W0 δ(x)
V0
a
∞
∞
a
E
a)
E
x
-a
b)
a
x
Figure 6-2.
Nous considérons le cas où l’énergie E satisfait la relation 0 < E << V0 . Dans
ces conditions, par souci de simplification, nous admettons que V0 est pratiquement infini.
L’énergie potentielle est alors la fonction V (x) de la figure 6-2 b), telle que
½
∞ pour |x| > a
V (x) =
W0 δ (x) pour |x| < a
Soit uE (x) une fonction propre de l’hamiltonien pour la valeur propre E. La
fonction uE satisfait l’équation
−
~2 00
u (x) + V (x) uE (x) = E uE (x)
2m E
(6.1)
Les conditions de continuité en x = ±a imposent la condition uE (±a) = 0.
Aucune condition de continuité n’est imposée sur la dérivée de uE pour les raisons déjà
évoquées page 33 (§2).
En x = 0 on impose la continuité de la fonction uE . Pour obtenir la condition
imposée sur la dérivée de uE on intègre l’équation 6.1 entre −ε et ε où ε est une quantité
positive arbitrairement petite :
−
avec
2mW0
~2 0
(u (ε) − u0E (−ε)) + W0 uE (0) = 0 ⇒ u0E (ε) − u0E (−ε) =
uE (0)
2m E
~2
(6.2)
Les solutions de l’équation 6.1 s’écrivent sous la forme

 0 pour |x| > a
uE (x) =
u (x) pour −a < x < 0
 I
uII (x) pour 0 < x < a
uI (x) = Aeikx + Be−ikx
uII (x) = Ceikx + De−ikx
(6.3)
√
2mE
, tandis que A, B, C et D sont des constantes arbitraires, reliées
où l’on a posé k :=
~
entre elles par les conditions de passage.
La fonction δ (x) est une fonction paire, par conséquent l’opérateur parité commute avec l’hamiltonien. Nous cherchons donc les fonctions uE qui sont soit paires soit
impaires.
Le double puits de potentiel
79
Solutions impaires : α et ϕ étant des constantes arbitraires, nous posons
uII (x) = α sin (kx + ϕ) , ce qui est l’expression la plus générale de uII (x) , écrite sous une
forme différente de l’expression 6.3. La fonction cherchée étant impaire, on en déduit par
symétrie uI (x) = α sin (kx − ϕ)
Les conditions de continuité en x = ±a s’écrivent sin (ka + ϕ) = 0. En x = 0, il
vient
uII (0) = α sin (ϕ) = uI (x) = α sin (−ϕ)
On peut donc poser ϕ = 0, la constante α étant de signe arbitraire. On vérifie alors que
la condition 6.2 est satisfaite.
Ainsi la solution cherchée est de la forme
uE = αi sin (kx) pour
− a < x < a avec
sin (ka) = 0
Le coefficient constant est ici noté αi .
De la relation sin (ka) = 0 on déduit les valeurs possibles de E associées aux
π2 ~2
solutions impaires de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien : En i = n2 ×
2ma2
où n est un entier arbitraire.
Solutions paires : Nous posons ici uII (x) = α cos (kx + ϕ) et, pour des raisons de
parité, uI (x) = α cos (kx − ϕ) . On peut toujours considérer que ϕ appartient à l’intervalle [−π/2 , π/2] et que α est une constante arbitraire car deux fonctions d’ondes
proportionnelles décrivent le même état physique.
Les conditions de continuité en x = ±a s’écrivent : cos (ka + ϕ) = 0. Les condi2mW0
uE (0) , soit
tions de continuité en x = 0 s’écrivent u0II (0) − u0I (0) =
~2
2mW0
−2αk sin ϕ =
α cos ϕ. On obtient
~2
tan ϕ = −
mW0
~2 k
π
mW0
>> 1. On en déduit ϕ ' −π/2, plus précisément ϕ = − + θ
Supposons la relation 2
2
~ k
avec θ << π.
~2 k
'θ
tan θ =
mW0
et donc
uI (x) = −αp sin (kx − θ) ,
uII (x) = αp sin (kx + θ) avec
sin (ka + θ) = 0
Ici, la constante α est notée αp .
µ
¶
π2 ~2
2θ
1
−
De la relation sin (ka + θ) = 0, on déduit En p = n ×
où
2ma2
nπ
nous avons négligé les termes de l’ordre de θ2 . Dans les mêmes conditions on trouve
µ
¶
π ~2
π2 ~2
2~2
θ=n
1
−
et En p = n2 ×
maW0
2ma2
maW0
2
Le potentiel périodique
80
Ep
Ei
u1paire
x
-a
a
u1impaire
x
-a
a)
a
b)
Figure 6-3.
Le spectre de l’hamiltonien est représenté sur la figure 6-3 a). Pour les solutions
impaires, le spectre est celui du puits infini. C’est presque le même spectre pour les
solutions paires ; cependant, la dégénérescence qui serait présente pour θ = 0 est levée
(θ = 0 signifie W0 = ∞ ou encore d = ∞).
Sur la figure 6-3 b) nous avons représenté les fonctions u1paire et u1impaire , fonctions
d’onde paire et impaire de plus basse énergie (n = 1) pour αp = αi , en supposant θ
négligeable.
Considérons le cas où la particule est initialement décrite, à l’instant t = 0, par
la fonction d’onde ψ0 = u1paire + u1impaire . Au cours du temps ψ0 évolue :
ψ (t, x) = e−iE1p
= e−iE1i
u1paire (x) + e−iE1i t/~ u1impaire (x)
³
´
t/~
e−i(E1p −E1i ) t/~ u1paire (x) + u1impaire (x) .
t/~
Il est toujours loisible de multiplier la fonction d’onde par une constante (indépendante de x); la nouvelle fonction d’onde ainsi obtenue décrit le même état physique.
Nous considérons donc la fonction d’onde
Ψ (t, x) = eiΩ t u1paire (x) + u1impaire (x)
(6.4)
π 2 ~4
avec, ici, n = 1 A l’instant t = π/Ω la fonction
2m2 a3 W0
d’onde est Ψ = −u1paire (x) + u1impaire (x) .
Les fonctions Ψ (0, x) et Ψ (π/Ω, x) sont représentées sur la figure 6-4 pour αp =
αi :
avec ~Ω = (E1i − E1p ) = n2
Ψ (0, x) = u1paire (x) + u1impaire (x) et Ψ (π/Ω, x) = −u1paire (x) + u1impaire (x)
Figure 6-4.
Le double puits de potentiel
81
Initialement la particule est dans le puits de droite. La théorie classique prédit
que la particule reste à droite car elle ne peut pas traverser la barrière W0 δ (x) qui est
infiniment haute. La théorie quantique prévoit que la particule peut passer dans le puits
de gauche par effet tunnel. C’est effectivement ce qui se passe. On vérifie aisément que la
fonction d’onde 6.4 est une fonction périodique de période 2π/Ω. Le passage d’un puits à
πθ ~2
π
=
.
l’autre s’effectue en un temps
Ω
ma2
Le modèle précédent décrit qualitativement la molécule d’ammoniac N H3 .
H
H
N
H
V(x)
x
Figure 6-5.
Dans la position d’équilibre stable, les trois noyaux d’hydrogène, H, forment un
triangle équilatéral qui définit un plan P . Par raison de symétrie, la théorie classique
prévoit l’existence de deux positions d’équilibre stables sur axe perpendiculaire à P, de
part et d’autre de P. Cette propriété se traduit par l’existence de deux puits de potentiel
séparés par une barrière dans le plan P.
La fréquence d’oscillation par effet tunnel d’une position d’équilibre à l’autre est
une caractéristique de la molécule d’ammoniac. Celle-ci peut donc servir de référence pour
asservir un oscillateur micro-ondes qui définis un étalon de temps précis.
Lorsque d = ∞, les spectres de l’énergie des solutions paires et impaires sont les
mêmes. La dégénérescence se lève lorsque d décroît.
Le potentiel périodique
82
Figure 6-6.
La figure 6-6 représente l’allure du spectre de l’hamiltonien en fonction de d dans
le cas de 2, 3, N puits de potentiels. On constate alors l’apparition de bandes d’énergie.
Lorsque N → ∞, l’énergie potentielle est périodique. Chacune des bande est alors constitué de niveaux d’énergie si proches que l’on peut considérer qu’elle forme un continuum.
6.2
Le potentiel périodique
Nous allons étudier un modèle simple de réseau périodique à une dimension dont
nous pourrons cependant tirer quelques informations générales.
Nous considérons une particule de masse m soumis à une énergie potentielle périodique : V (x) = V (x + a).
Une telle énergie potentielle est, par exemple, celle d’un électron dans le réseau
périodique d’un cristal.
L’énergie potentielle est prise sous la forme
V (x) =
∞
X
W0 δ (x − na) avec n ∈ Z
n=−∞
V(x)
An
Bn
x
-2a
-a
0
a
2a
Figure 6-7.
L’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien s’écrit
−
~2 d2
u (x) + V (x) u (x) = E u (x)
2m dx2
na
(n+1)a
Le potentiel périodique
83
La solution est de la forme
ikx
u (x) = un (x) := An e
−ikx
+ Bn e
√
2mE
pour na < x < (n + 1) a avec k =
~
(6.5)
Les conditions de raccordement en x = na sont celles que nous avons rencontrées
2mW0
un (na) (voir la
précédemment : un (na) = un−1 (na) et u0n (na) − u0n−1 (na) =
~2
relation 6.2 ci-dessus).
(An − An−1 ) einka + (Bn − Bn−1 ) e−inka
(An − An−1 ) einka − (Bn − Bn−1 ) e−inka
= 0
(6.6)
¢
2mW0 ¡
An einka + Bn e−inka (6.7)
= −i 2
~ k
Etant donné un nombre réel, a, donné, définissons l’opérateur de translation
Ta défini par la relation Ta ψ (x) = ψ (x + a) où ψ est une fonction d’onde arbitraire.
On vérifie aisément que Ta n’est pas un opérateur hermitique. Plus précisément
on démontre les relations
Ta† = T−a ainsi que Ta Ta† = Ta† Ta = 1
1
eipx/~ ,
Cependant toute fonction d’onde se décompose sur la base des fonctions up (x) = √
2π~
R∞
fonctions propres de l’opérateur impulsion : ψ (x) = −∞ f (p) up (x) dp. Or les fonctions
up (x) sont des fonctions propres de l’opérateur Ta . En effet Ta up (x) = eipa/~ × up (x) .
L’opérateur Ta fournit l’exemple d’un opérateur qui n’est pas observable mais qui dispose
d’un ensemble de vecteurs propres qui forment une base de l’espace des états.
Lorsque a est une quantité infinitésimale, notée ε, il vient Tε ψ (x) = ψ (x + ε) '
1
d
ψ (x) + ε ψ (x) . On écrit cette relation sous la forme Tε ψ (x) = ψ (x) + iε p̂ψ (x) avec
dx
~
d
p̂ = −i~ . Dans ces conditions Tε s’exprime sous la forme
dx
Tε = 1 + iε
p̂
~
On désigne p̂ comme le "générateur des translations infinitésimales".
Supposons que la particule de masse m soit soumise à une énergie potentielle
périodique de période a, c’est-à-dire telle que V (x + a) = V (x). On vérifie alors que
l’hamiltonien, Ĥ, commute avec l’opérateur translation, Ta :
ĤTa ψ (x)
~2 d2
=−
ψ (x + a) + V (x)ψ (x + a)
dx2 ¶
µ 2m
~2 d2
=
−
ψ
+ V (x + a) ψ (x + a) := Ta Ĥ (x)
2m dx2
(x+a)
:
On peut déduire de ce qui précède que toute fonction d’onde se décompose sous la forme
d’une somme de fonctions propres de Ĥ et Ta .
Nous cherchons donc les fonctions propres de l’hamiltonien qui satisfont les équations
Ĥ ψ = E ψ et Ta ψ = F ψ
L’équation aux valeurs propres de Ta s’écrit ψ (x + a) = F ψ (x) et plus généralement ψ (x + na) = F n ψ (x) pour n ∈ Z. La fonction d’onde reste bornée lorsque
Le potentiel périodique
84
x → ±∞; ceci n’est possible que pour |F | = 1 soit F = eiθ . Nous cherchons donc les
solutions de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien satisfaisant la relation
ψ (x + a) = eiθ ψ (x)
(6.8)
où θ est un nombre réel arbitraire.
Explicitons cette condition pour la solution 6.5 considérée. On obtient
Bn e−ika = eiθ Bn−1
An eika = eiθ An−1 et
Nous exprimons An−1 et Bn−1 en fonction de An , Bn et θ dans les conditions de
passage 6.6 et 6.7 :
³
´
³
´
An 1 − ei(ka−θ) einka + Bn 1 − e−i(ka+θ) e−inka
³
´
³
´
An 1 − ei(ka−θ) einka − Bn 1 − e−i(ka+θ) e−inka
= 0
= −i
¢
2mW0 ¡
An einka + Bn e−inka
2
~ k
Un tel système implique An = Bn = 0 sauf si le déterminant, D ci-dessous, est
nul :
¡
¢
¯
¯
1 − ei(ka−θ)
¯ ¡
¢
D := ¯
2mW
¯ 1 − ei(ka−θ) + i 2 0
~ k
On en déduit
¡
¢
1 − e−i(ka+θ)
¢
¡
2mW0
− 1 − e−i(ka+θ) + i 2
~ k
cos θ = cos (ka) +
¯
¯
¯
¯=0
¯
mW0
sin (ka)
k~2
Pour que cette relation soit satisfaite l’énergie ne peut être arbitraire mais doit satisfaire
la condition
maW0 sin (ka)
<1
−1 < cos (ka) +
ka
~2
Les valeurs possibles de k, et par conséquent celles de E, se trouvent limitées par cette
condition. Seules certaines bandes d’énergie sont permises (figure 6-8).
Figure 6-8.
Les bandes d’énergie permises sont séparées par des bandes interdites.
Le modèle des électrons libres
6.3
85
Le modèle des électrons libres
Nous considérons des électrons d’hamiltonien Ĥ. Celui-ci commute avec l’opérateur translation Ta . Cette propriété suggère de déterminer les fonctions propres de
l’énergie, u(x) qui satisfont la relation u(x + a) = eiθ u(x).
Posons θ := Ka et u (x) := eiKx U (x) . Il vient
eiK(x+a) U (x + a) := u(x + a) = eiKa u(x) = eiKa eiKx U (x)
On en déduit U (x + a) = U(x).
Lorsque l’énergie potentielle est périodique, de période a, toute fonction propre de l’énergie est une superposition de fonctions ϕK (x) = eiKx U (x)
où U est une fonction périodique de période a.
Cette affirmation constitue le théorème de Floquet, souvent appelé "théorème
de Bloch".
Sur la figure 6-9, on représente l’énergie en fonction de θ. On distingue diverses
zones :
θ ∈ [−π, π] constitue la première "zone de Brillouin". Celle-ci
à la
· correspond
¸
h πi
π 2π
. La seconde zone de Brillouin correspond à |K| ∈
,
.
valeur |K| ∈ 0,
a
a a
En première approximation, les électrons de conduction d’un métal peuvent être
assimilés à des électrons libres dans un puits de potentiel. Dans ce cas U est une constante
et K est le nombre d’onde de la solution considérée. Un tel modèle est un modèle d’élec~2 K 2
.
trons libres dont l’énergie est
2m
Dans le cas général, on peut considérer eiKx U (x) comme une onde de nombre
d’onde K, dont l’amplitude U (x) est modulée semon la position.
Sur la figure 6-9,
h πoni représente l’énergie en fonction de K = θ/a. On distingue
diverses zones : |K| ∈ 0,
constitue la première "zone de Brillouin". La seconde zone
a
·
¸
Nπ
π 2π
,
. Les discontinuités apparaissent pour |K| =
de Brillouin correspond à |K| ∈
a a
a
où N est un entier positif (c’est à dire pour θ := Ka = N π et donc cos θ = ±1, voir la
2π
du modèle d’électron
figure 6-8). Introduisons la longueur d’onde de de Broglie λ =
|K|
libre.
Le potentiel périodique
86
Modèle de l’électron
libre
E (eV)
Zones de Brillouin
9
2
2
6
3
1
−2π
1
θ = K/a
2π
−π
π
0
Bandes d’énergie du sodium
Figure 6-9.
λ
Les discontinuités apparaissent pour a = N . Ces conditions sont "les conditions
2
de Bragg". Pour interpréter ces conditions, remarquons que a représente la période de
l’énergie potentielle de l’électron. Pour fixer les idées nous considérons une chaîne d’ions
distants de a. Une onde électronique subit sur chaque ions une réflexion (figure 6-10).
A
Mj
C
a
B Mj+1
D
AMjC = BMj+1D , AB=a , DC=a
ABMj+1DC - AMjC = 2a
Interférences constructives entre ondes réfléchies pour 2a = N λ
Figure 6-10.
Les ondes réfléchies par l’ion n◦ j et l’ion n◦ j + 1 sont en phase pour 2a = N λ àù
N est un entier. Ces conditions sont précisément les conditions de Bragg, elles assurent
ici la réflexion optimale des ondes électroniques par le réseau d’ions.
6.4
Conducteurs et isolants
Dans un milieu cristallin, un métal par exemple, les bandes d’énergie sont peuplées
par des électrons fournis par chacun des atomes. Ces électrons sont mis en commun sur
l’ensemble de la structure. Ils ne sont pas localisés et passent d’un atome à l’autre par
effet tunnel.
Une bande d’énergie autorisée n’est pas un vrai continuum mais est constituée
de niveaux très proches (voir la figure 6-6). Le nombre de niveaux étant finis, égal au
nombre d’atomes constituant le cristal, le nombre d’électrons susceptibles d’être accueillis
dans une bande d’énergie est lui-même fini car le principe d’exclusion de Pauli interdit
la présence de plus de deux électrons (de spins différents) sur un même niveau d’énergie.
Conducteurs et isolants
87
Ainsi une bande d’énergie peut-elle être pleine, ce qui ne serait pas le cas si l’énergie était
vraiment continue.
Le sodium (N a) a pour configuration électronique 1s2 2s2 2p6 3s. Les couches
1s, 2s, 2p, 3s correspondent à quatre niveau d’énergie différents qui donnent quatre bandes
d’énergie lorsque N atomes de sodium forment un cristal. Le niveau 2p d’un atome isolé,
est susceptible d’accueillir 6 électrons ; il donnera naissance à une bande contenant N
niveaux d’énergie dont chacun peut accueillir 6 électrons, soit 6N électrons au total† .
Cependant le niveau 2p de l’atome de sodium est saturé, c’est à dire que chaque atome
de sodium possède effectivement 6 électrons qu’il met en commun pour peupler la bande
d’énergie correspondant au niveau 2p. C’est donc 6N électrons qui vont peupler la bande
d’énergie considérée, c’est le nombre maximum que celle-ci peut accueillir : cette bande
est donc pleine.
La situation est différente pour les électrons 3s. Si le cristal contient N atomes, il
dispose de N niveaux d’énergie dans la bande susceptible d’accueillir ces électrons. Celleci pourrait en fait accueillir 2N électrons (l’introduction du spin multiplie par 2 l’ordre
de dégénérescence de tous les niveaux d’énergie). La bande est donc seulement à moitié
pleine. Les électrons peuvent y acquérir une énergie cinétique qui assure leur mobilité. Par
conséquent les alcalins sont des conducteurs.
Lorsque la bande d’énergie maximale est partiellement vide on l’appelle "bande
de conduction" car ce sont les électrons de cette bande d’énergie qui assurent la conduction de l’électricité. Si cette bande est pleine, on l’appelle "bande de valence".
La bande de valence étant pleine, les électrons ne peuvent y acquérir de l’énergie
cinétique car tous les niveaux sont occupés. C’est une conséquence du principe d’exclusion
de Pauli. Pour assurer le passage d’un courant, il faut donc chasser un (ou plusieurs)
électrons vers la bande de conduction, d’énergie supérieure, qui est vide. Si le saut entre
les deux bandes est important, cette opération est impossible. Le milieu est alors un
isolant.
E
Conducteur
Isolant
Semiconducteur
Figure 6-10.
Le germanium (Ge) est un semiconducteur dont la bande de valence est pleine à
basse température. La bande de conduction est donc vide, le saut énergétique est 0,65 eV.
A la température ordinaire, les électrons peuvent acquérir une énergie de l’ordre de kB T ∼
2, 5 × 10−2 eV. Le saut énergétique n’est pas assez important pour éviter qu’une faible
proportion d’électrons ne quitte la bande de valence pour la bande de conduction. Ainsi
le germanium très pur‡ montre-t-il une certaine conductivité intrinsèque qui dépend de
la température. Par contre le diamant est caractérisé par un saut de 5 eV de la bande
de valence vers la bande de conduction. Il est exclu que l’acquisition d’énergie thermique
permette ce saut. Le diamant reste donc un bon isolant à la température ordinaire
† S’il n’y avait pas de dégénérescence, le niveau 2p correspondrait à 6 niveaux d’énergie différents dont
chacun fournirait une bande susceptible d’accueillir N électrons soit au total 6N électrons pour la (les)
bande(s) corespondant au niveau 2p.
‡ Les semiconducteurs sont généralement dopés par des impuretés qui leur confère des propriété intéressantes.
88
Le potentiel périodique
La situation est compliquée par le fait que la maille du cristal considéré peut-être
formée de plusieurs sortes d’atomes dont les bandes d’énergie peuvent se recouvrir. C’est
aussi le cas de certains métaux (ou semi-métaux) comme le magnésium qui dispose de
deux électrons de valence 3s2 et devrait être un isolant s’il n’y avait pas recouvrement des
bandes d’énergie.