8.5 Conservation de l`énergie mécanique

8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Prédiction du mouvement d’un pendule
Un pendule est constitué d’une sphère de masse m reliée à une corde de
longueur L. Si initialement, la corde fait un angle θo avec la verticale,
A) déterminez la vitesse de la sphère au point le plus bas.
Situation:
θο
Problème : Je cherche v en bas
1
8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Un pendule est constitué d’une sphère de masse m reliée à une corde de
longueur L. Si initialement, la corde fait un angle θo avec la verticale,
déterminez :
Situation:
θο
Problème : Je cherche v en bas
Solution possible :
J’utilise le principe de conservation de l’énergie
mécanique
Ki + U i = K f + U f
2
8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Situation:
L
Problème : Je cherche
v en bas
θο
Solution possible :
J’utilise le principe de
conservation de l’énergie
mécanique
h
Ug =0
Ki + U i = K f + U f
K i = 0 U i = mgh
1 2
K f = mv U f = 0
2
Nous
aurons
Ki + U i = K f + U f
1 2
mgh = mv
2
3
8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Situation:
L
θο
Problème : Je cherche
v en bas
Solution possible :
h
Ug =0
1 2
mgh = mv
2
h = L − L cos θ 0
h = L(1 − cos θ 0 )
J’utilise le principe de
conservation de l’énergie
mécanique
1 2
gL(1 − cos θ 0 ) = v
2
v = 2 gL(1 − cos θ 0 )
4
8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Situation:
L
Problème : Je cherche
v en bas
θο
Solution possible :
J’utilise le principe de
conservation de l’énergie
mécanique
h
Ug =0
Résultat probable:
v = 2 gL(1 − cos θ 0 )
Analyse
Si θ = 60o
alors
v = gL
Si θ = 90o
alors
v max = 2 gL
Si θ =
41,4o
alors
v max
v=
2
5
8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Situation:
θο
B) Déterminez la tension T dans la corde au point le plus bas.
Problème : Je cherche T
Solution possible :
J’applique la deuxième loi de
Newton.


∑ F = ma
6
8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Situation:
θο
Problème : Je cherche T
Solution possible :


∑ F = ma
Puisque la masse effectue un mouvement circulaire,
la force résultante est une force centripète
mv
∑F =
L
2
T
2
mv
= T − mg
∑F =
L
Fg
7
8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Puisque la masse effectue un
mouvement circulaire, la force
résultante est une force
centripète
mv
∑F =
L
2
2
mv
= T − mg
∑F =
L
mv
T = mg +
L
2
Nous avons vu que
v = 2 gL(1 − cos θ 0 )
8
8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Puisque la masse effectue un
mouvement circulaire, la force
résultante est une force
centripète
mv
∑F =
L
2
mv 2
v = 2 gL(1 − cos θ 0 )
T = mg +
L
T = mg + 2mg (1 − cos θ o )
Résultat probable: Au point le plus bas, la tension est
donnée par :
T = mg (3 − 2 cos θ o )
N
9
8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Tension en bas
T
T = mg (3 − 2 cos θ o )
T = 3mg
Analyse :
A)
Si θο = 90
De plus
T
N
N
∑ F =ma = T − mg
a = 2g
En bas
v = 2 gL
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8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Tension en bas
T
T = mg (3 − 2 cos θ o )
T = 2mg
B)
Si θο = 60
N
N
∑ F =ma = T − mg
a=g
T
En bas
v = gL
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8.5 Conservation de l’énergie mécanique
C ) déterminez la vitesse que la masse doit avoir au point le plus bas,
afin que la masse fasse un tour complet sur la circonférence,
Situation
vi
Problème : Je cherche la vitesse initiale en bas.
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8.5 Conservation de l’énergie mécanique
C ) Si nous voulons que la masse fasse un tour complet, déterminez la
vitesse que la masse doit avoir au point le plus bas.
Portons d’abord attention au
point le plus haut.
Si la vitesse en bas est trop
faible, la masse ne fera pas un
tour complet
Nous voulons que la masse
fasse un mouvement circulaire
dans la partie supérieure
vi
Il nous faut une force résultante
centripète
13
8.5 Conservation de l’énergie mécanique
C ) Si nous voulons que la masse fasse un tour complet, déterminez la
vitesse que la masse doit avoir au point le plus bas.
Portons attention au point le
plus haut.
Fg
Si la vitesse en bas est trop
faible, la masse ne fera pas un
tour complet
T
Nous voulons que la masse
fasse un mouvement circulaire
dans la partie supérieure
Il nous faut une force résultante
centripète
vi
Nous avons T et Fg
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8.5 Conservation de l’énergie mécanique
C ) Si nous voulons que la masse fasse un tour complet, déterminez la
vitesse que la masse doit avoir au point le plus bas.
∑ F = ma
Fg
T
mv 2
∑ F = ma = R = T + mg
Si la vitesse est trop grande, nous
avons besoin de T
À la bonne vitesse, T sera nulle
vi
mv 2
∑ F = R = mg
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8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Fg
T
Si la vitesse est trop grande, nous
avons besoin de T
À la bonne vitesse, T sera nulle
mv 2
∑ F = R = mg
Nous aurons
Ug =0
vi
v = Rg = Lg
2
en haut
À partir du principe de conservation de l’énergie mécanique, nous pouvons
écrire
Ki + U i = K f + U f
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8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Fg
T
1
1 2
2
mvi = mv f + mg 2 L
2
2
1
1
2
mvi = mgL + mg 2 L
2
2
1
5
2
mvi = mgL
2
2
Ug =0
vi
vi = 5 gL
Résultat probable : La vitesse en bas sera
2
vi = 5gL
m/s
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8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Exemple : Saut à l’élastique
Bungee
Vous êtes l’ingénieur(e) responsable des installations d’un saut à l’élastique.
On vous demande de déterminer la constante de rappel de la corde
élastique pour que le saut soit sécuritaire :
La rampe de lancement est située à 36,0 m au-dessus de l’eau
Vous attachez une
masse de 80,0 kg à
la corde de 25 m de
longueur.
Déterminez « k » afin
que la masse touche à
peine à l’eau.
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8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Exemple : Saut à l’élastique
Vous êtes responsable des installations d’un saut à l’élastique. On vous
demande de déterminer la constante de rappel de la corde élastique pour
que le saut soit sécuritaire :
La rampe de lancement est située à 36,0 m au-dessus de l’eau
25 m
11 m
Vous attachez une
masse de 80,0 kg à
la corde de 25 m de
longueur.
Déterminez « k » afin
que la masse touche à
peine à l’eau.
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8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Exemple : Saut à l’élastique
La rampe de lancement est située à 36,0 m au-dessus de l’eau
Selon le principe de
conservation de l’énergie
mécanique
25 m
Ki + U i = K f + U f
11 m
Ug =0
Ui = U f
K i = 0 et
1
mgyi = k (∆y ) 2
2
Kf =0
2mgyi
k=
(∆y ) 2
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8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Exemple : Saut à l’élastique
1
mgyi = k (∆y ) 2
2
2mgyi
k=
2
(∆y )
25 m
11 m
Ug =0
2 × 80 × 9,81× 36
k=
= 467
2
(11)
Résultat probable : La constante de rappel « k» sera d’au moins
467 N/m
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8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Exemple : Saut à l’élastique
B) Est-ce dangereux pour une personne?
Quelle sera l’accélération dans ces conditions?
Au point le plus bas, a est
maximale. Nous avons
T
∑F
Ug =0
= ma
∑ F = ma = T − mg
Fg
ma = k∆y − mg
ma = 467 × 11 − 80 × 9,81 = 4352,2
Résultat probable : L’accélération maximale
sera de
a = 54,4
m/s
2
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8.5 Conservation de l’énergie mécanique
Exemple : Saut à l’élastique
B) Est-ce dangereux pour une personne?
Quelle sera l’accélération dans ces conditions?
Résultat probable :
L’accélération maximale sera de
T
Ug =0
a = 5,5 g
a = 5,5 g
m/s
2
m/s 2
Fg
Est-ce dangereux pour une personne?
Voir la page 69
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