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Section : 4éme Maths
Série d’exercices
Prof : Dhahbi . A **** Por : 97441893
Arithmétiques : Divisibilité dans Z
EXERCICE N°1 :QCM
Cocher la réponse exacte :
1°/ 257 est congru à 2 modulo
2
 5.
 7.
2°/ le reste de la division euclidienne par 5 de 32009.
1
 2.
 3.
3°/ Pour tout entier naturel n,
 n3 – n  0 (mod 6).
 n3 – n  0 (mod 12).
 n3 – n  n2 (mod 6).
4°/ Soit a un entier non nul. Si a  19 (mod 20) alors :
 a420  1 (mod 20).
 a420  - 1 ( mod 20).
 a420  19 x 402 (mod 20).
EXERCICE N°2:
1°/ Ecrire l’ensemble des entiers relatifs diviseurs de 6.
2°/ Déterminer les entiers relatifs n tels que n – 4 divise 6.
3°/ Déterminer les entiers relatifs n tels que n – 4 divise n + 2.
4°/ Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise 3n - 4.
EXERCICE N°3:
On suppose que a  3 (mod17 ) et b  5 (mod 17 ).
1°/ Démontrer que 4a + b est un multiple de 17.
2°/ Démontrer que 7a + 5b  12 ( mod 17 ).
3°/ Démontrer que a2 + b2 est un multiple de 17.
4°/ Déterminer le reste de la division euclidienne de a3 + 3b2 par 17.
EXERCICE N°4 :
1°/ Montrer que 9 divise 73n – 1, pour tout entier naturel.
2°/ Démontrer que l’on a : 2 x 352008 – 3 x 842007  5 ( mod17)
3°/ Démontrer que , pour tout entier naturel n ≥ 1
a) 32n+1 + 2n+2 est divisible par 7.
b) 3 x 52n-1 + 23n-2 est divisible par 17.
c) 3 n+3 - 4 4n+2 est divisible par 11.
EXERCICE N°5:
1°/ Trouver, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division euclidienne de 3n par 8.
2°/ Quel est l’ensemble des entiers naturels n tels que le nombre 3n . n - 9n + 2 soit divisible par 8.
3°/ a) Montrer que pour tout entier naturel n, 32n  1(mod8).
b) En déduire que le nombre 34n+1 + 32n+1 + 2 est divisible par 8.
EXERCICE N°6:
1°/ Quel est le reste de la division euclidienne par 7 du nombre 3245.
2°/ Quel est le reste de la division euclidienne par 11 du nombre 3227.
3°/ Quel est le reste de la division euclidienne par 19 du nombre 57383114.
4°/ Quel est le reste de la division euclidienne par 2008 du nombre 20072006.
EXERCICE N°7:
1°/ a) Déterminer le reste de la division de 5p par 13 pour tout p entier naturel.
b) En déduire que 19811981 – 5 est divisible par 13.
2°/ En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 314n+1 + 18 4n + 3
est divisible par 13.
EXERCICE N°9:
1°/ Prouver les équivalences suivantes :
a) 3x  8 ( mod10)
 x  6 (mod10)
a) x2  6 (mod 10)
 x  4 (mod10) et x  6 (mod10)
EXERCICE N°10:
Résoudre dans Z
1°/ x2  1 (mod 8)
2°/ x2  -1 (mod11)
3°/ x2  -2 (mod 11)
Série d’exercices : Arithmétiques
1
Dhahbi . A
Série d’exercices :4éme Maths
EXERCICE N°11:
1°/ Vérifier que 34  -1 (mod 41).
2°/ Quel est le reste modulo 41 de 7x 320 + 6
EXERCICE N°12:
Soit n  IN ; An = n ( n2 – 1 ) ( n2 – 4 ) et Bn = n5 – n .
1°/ a) Montrer que An  0 (mod 5).
b) Calculer An - Bn puis en déduire que Bn  0 ( mod 5)
2°/ a et b deux entiers relatifs .Démontrer que ( a + b ) 5 – a5 – b5  0 (mod 5).
3°/ En déduire que pour tout a et b dans Z : a5 + b5  0 ( mod 5)  a + b  0 (mod 5).
4°/ Déterminer les entiers naturels a tels que a5 + 32  0 ( mod 5) et 0 ≤ a ≤ 20.
EXERCICE N°13:
Déterminer tous les entiers a et b tels que ab  -2 ( mod 8) .
EXERCICE N°14 :
1°/ a) Discuter, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de 2n modulo 7.
b) En déduire le reste de 247349 modulo7.
2°/ Calculer le reste de 298349 modulo13.
EXERCICE N°15:
1°/ a) Pour tout entier naturel n, déterminer suivant les valeurs de n le reste de la division de 2n par 3.
b) Déterminer le reste modulo 3 de (40502)2009
2°/ a) Montrer que pour tout n de IN, 52n  1 ( mod 3).
b) Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tel que : 2n - 52n  0 ( mod 3).
c) Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tel que : (40502)n - (40525)n  0 (mod 3).
EXERCICE N°16 : ( Théorème de Fermat)
Quel est le reste de la division de 71347 18 par 19.
EXERCICE N°17:
1°/ Démontrer que pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3.
2°/ Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que 428 – 1 est divisible par 29.
3°/ Pour tout entier naturel 1 ≤ n ≤ 4, déterminer le reste de la division de 4n par 17.
En déduire que, pour tout entier k, le nombre 44k - 1 est divisible par 17.
4°/ Pour quels entiers naturels n, le nombre 4n – 1 est divisible par 5.
5°/ A l’aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de 428 – 1.
EXERCICE N°18:
1°/ Déterminer le reste modulo 3 de 2008 . En déduire le reste modulo 3 de 2008 2009.
2°/ Déterminer le reste modulo 5 de chacun des entiers 2011 2009 , (- 2011) 2009 et 2008 2009.
EXERCICE N°19:
1°/ On note n un entier naturel.
Quels sont les restes possibles des divisions euclidiennes de l entier naturel n2 par 5.
2°/ a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 2n+4  2n ( mod 5).
b) Trouver, sans l aide de la calculatrice, le reste de la division euclidienne de 121527 par 5.
3°/ a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 5n+6  5n ( mod 7).
b) Démontrer que pour tout entier naturel n, 2n+6  2n ( mod 7).
c) Trouver, sans l aide de la calculatrice, le reste de la division euclidienne de 1952 x 2341 par 7.
Pour une bonne réussite
Signature : Dhahbi . A
Série d’exercices : Arithmétiques
2
Dhahbi . A
Section : 4éme Maths
Série d’exercices
Prof : Dhahbi . A **** Por : 97441893
Arithmétiques : Identité de Bézout
EXERCICE N°1:
A l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminer a ^ b.
1°/ a = 9185 et b = 2007
2°/ a = 5633 b = 4847
3°/ a = - 5617 b = 813.
EXERCICE N°2:
n est un entier supérieur ou égal à 6 , on pose : A = n – 1 et B = n2 -3n + 6 .
1°/ Montrer que le PGCD(A, B) est égal au PGCD(A, 4 ).
2°/ Déterminer suivant les valeurs de n le PGCD(A, B).
n 2  3n  6
3°/ Pour quelles valeurs de l’entier relatif n, différent de 1, le nombre
est- il un entier relatif ?
n 1
EXERCICE N°3:
On admet que 1999 est un nombre premier.
Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels (a, b) ont pour somme 11994 et pour PGCD 1999.
EXERCICE N°4:
Déterminer les couples d’entiers naturels ( a , b ) tels que : a b = 216
a^ b=6
EXERCICE N°5:
Déterminer les couples d’entiers naturels ( a , b ) tels que :
a + b = 168
a ^ b = 21
EXERCICE N°6:
Soit a  IN et b  IN tel que a + b = 23
1°/ Montrer que a et b son premier entre eux.
2°/ En déduire a et b sachant que a < b et PPCM ( a , b ) = 126.
EXERCICE N°7 :
Soit n entier naturel non nul. A = 3 n + 1 et B = 5 n – 1
Démontrer que le PGCD de A et B est un diviseur de 8.
EXERCICE N°8:
Soit k un entier naturel non nul.
1°/ Montrer que les entiers 2k + 1 et 9k + 4 sont premiers entre eux.
2°/ Démontrer que le PGCD des nombres 2 k + 1 et 9k – 4 est 1 ou 17.
(On distinguera les cas 0 < k ≤ 8 et k > 8).
3°/ Pour quelles valeurs de k ce PGCD est – il égal à 17 ?
EXERCICE N°9 :(Théorème de Gauss )
1°/ Enoncer le théorème de Gauss.
2°/ Trouver tous les couples d’entiers naturels (x, y) tel que 2 x – 3 y = 0 .
EXERCICE N°10:
1°/ On considère l’équation: 7x  1 (mod19)
a) Vérifier que 11 est une solution particulière de l’équation 7x  1 (mod19).
b) On suppose que x est solution, déduire que 7(x-11)  0 (mod19).
c) Déduire d’après le théorème de Gauss, que x – 11 est un multiple de 19
d) Justifier que l’ensemble des solutions est l’ensemble des entiers x tel que x = 11 + 19k.
2°/ Résoudre dans Z: 7x  2 (mod19).
EXERCICE N°11:
Soit n  IN* et a et b deux entiers naturels définie par : a = 5n2 + 7 et b = n2 + 2.
1°/ Montrer que tout diviseur commun de a et b est un diviseur de 3 ;
2°/ Montrer que a ^ b = 3 si et seulement si n2  1 (mod3)
EXERCICE N°12:
Soit n entier naturel non nul. x = 2n + 5 et y = n – 3
1°/ Démontrer que le PGCD de x et y est un diviseur de 11.
2°/ En déduire, suivant les valeurs de n, la valeur de x ^ y.
3°/ Application: Déterminer x ^ y lorsque x = 2 x 12540 + 5 et y = 12540 – 3.
Série d’exercices : Arithmétiques
1
Dhahbi . A
Série d’exercices :4éme Maths
EXERCICE N°13:
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1°/ Montrer que les entiers n et 2n + 1 sont premiers entre eux.
2°/ On pose a = n + 3 et b = 2n + 1 et on note d le PGCD de a et b.
a) Calculer 2a – b et en déduire les valeurs de d.
b) Démontrer que a et b sont des multiple de 5 si et seulement si (n – 2) est multiple de 5.
EXERCICE N°14:
Soit a et b deux entiers naturels.
1°/ Montrer que si a et b sont premiers entre eux alors a ^ (a + b) = 1.
2°/ Montrer que si a et b sont premiers entre eux alors b ^ (a + b) = 1.
3°/ Montrer que si a et b sont premiers entre eux alors (a + b) ^ (ab) = 1.
4°/ Montrer que:a ^ b = (a + b ) ^ ( a  b).
5°/ Trouver deux entiers a et b tel que :
a + b = 168
a  b = 640
EXERCICE N°15:
Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels IN le système suivant:
p.g.c.d (a, b) = 27
p.p.c.m( a, b) = 108
EXERCICE N°16
1°/ Trouver l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 5929.
2°/ Résoudre l’équation x2 – 91x + 588 = 0 (1).
3°/ Déterminer les couples (a, b) d’entiers naturels dont le PGCD et le PPCM sont solutions de (1).
EXERCICE N°15:
1°/ Déterminer un inverse de 4 modulo 13.
2°/ Résoudre dans Z l’équation 4x  1 (mod 13).
3°/ En déduire les solutions dans Z de 43x  1 (mod 13).
EXERCICE N°17:
Résoudre dans Z
a) 2x  3 ( mod7)
b) 2x  3 (mod11)
c) 2x  12 (mod15 )
d) 3x  2 (mod 7)
e) 7x  3 (mod 5)
EXERCICE N°18 :
1°/ Déterminer l’ensemble des entiers x tel que a = x2 + x – 2 est divisible par 7.
2°/ Déterminer l’ensemble des entiers x tel que a = x2 + x – 2 est divisible par 3.
3°/ a) Déterminer l’ensemble des entiers x tel que a = x2 + x – 2 est divisible par 42.
b) Quel est le plus petit élément positif.
EXERCICE N°18 :
On considère l’équation (E) : 8x - 5y = 7 ou x et y sont des entiers relatifs.
1°/ Vérifier, que le couple (9, 13) est solution de (E).
2°/ Montrer que (x, y) est solution de (E) si et seulement si 8 (x – 9) = 5 (y – 13).
3°/ En déduire toutes les solutions de (E).
EXERCICE N°19:
1°/ Montrer que pour tout entier relatif n les entiers 14n + 3 et 5n + 1 sont premiers entre eux.
2°/ On considère l’équation (E) : 87x + 31y = 2 ou x et y sont des entiers relatifs.
a) Vérifier, en utilisant par exemple la question 1, que 87 et 31 sont premiers entre eux.
b) En déduire un couple (u, v) d’entier relatif tels que 87u + 31v = 1, puis une solution (x0, y0) de (E).
3°/ Soit (E’) l’équation : 87x + 31y = 0 ou x et y sont des entiers relatifs.
a) Démontrer l’équivalence : (x, y) est solution de (E)  ( x - x0, y - y0 ) est solution de ( E’ ).
b) Résoudre l’équation ( E’).
c) En déduire l’ensemble des solutions de (E) ;
EXERCICE N°20 : Vrai ou faux
1°/ Si a  (mod n) alors a2  1(mod n)
2°/ Si deux entiers a et b sont premiers entre eux alors les entiers 2a = b et 3a + 2b sont premiers entre eux.
3°/ L’équation 11x – 19y = 1 n’a pas de solutions.
4°/ L’équation 168x + 20y = 6 n’a pas de solutions.
Série d’exercices : Arithmétiques
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Dhahbi . A
Série d’exercices :4éme Maths
EXERCICE N°21
1°/ Résoudre dans Z2 l’équation: 13 x – 84 y = 7 (1).
2°/ Montrer que si (x, y) est solution de (1), alors PGCD(x, y) vaut 1 ou 7.
3°/ En déduire les solutions (x, y) de (1) telle que PGCD (x, y) = 1.
EXERCICE N°22
On se propose de résoudre dans Z2 l’équation : 36 x – 25 y = 10 (1).
1°/ Montrer que pour toute solution (x, y) de (1), x est un multiple de 5.
2°/ Déterminer une solution particulière de (1).
3°/ En déduire l’ensemble des solutions de (1) Vérifier que y est toujours pair.
4°/ Soit (x, y) une solution de (1) et d = PGCD (x, y).
a) Quelles sont les valeurs possibles de d?
b) Quels sont les solution pour les quelles d = 2 ?
EXERCICE N°23:
1°/ Déterminer deux entiers u et v tels que 9u – 11v = 1.
2°/ Soit a, b et x trois entiers. Montrer que si x  a (mod 9) et x  b (mod 11) alors x  45b – 44a (mod 99).
3°/ Résoudre dans Z le système
x  6 (mod 9)
x  8 (mod 11)
EXERCICE N°24:
1°/ On considère l’équation (E) : 8x + 7y = 1 ou x et y sont des entiers relatifs.
a) Donner une solution particulière de l’équation (E).
b) Résoudre l’équation (E).
N = 8a + 1
2°/ Soit N un nombre naturel tel qu’il existe un couple (a, b) des nombres entiers vérifiant : N = 5b + 2
a) Montrer que le couple (a, -b) est solution de (E).
b) Quel est le reste, dans la division de N par 40.
3°/Résoudre dans Z2 l’équation : 8 x + 5 y = 100, ou x et y sont des entiers relatifs.
EXERCICE N°25 :
1°/ On considère dans Z x Z, l’équation (E) : 91x + 10y = 1 ou x et y sont des entiers relatifs.
a) Enoncer un théorème permettant de justifier l’existence d’une solution à l’équation (E).
b) Déterminer une solution particulière de (E).
c) Résoudre dans Z x Z, l’équation (E’) : 91x + 10y = 412.
2°/ Montrer que les nombres entiers An =32n – 1, ou n est un entier naturel non nul, sont divisible par 8.
3°/ On considère dans Z x Z, l’équation (E’’): A3x + A2y = 3296.
a) Déterminer les couples d’entiers relatif (x, y) solution de l’équation(E’’).
b) Montrer qu’il existe un couple d’entiers naturels solution de (E’’). Le déterminer.
EXERCICE N°26:Bac 2008
1°/ On considère dans Z x Z, l’équation (E): 3x - 8y = 5 ou x et y sont des entiers relatifs.
Montrer que les solutions de (E) sont les couples (x, y) tels que x = 8k – 1 et y = 3k – 1 avec k  Z.
n = 3x + 2
2°/ a) Soit n, x et y trois entiers tels que
n=8y+7
Montrer que (x, y) est une solution de (E).
n  2 (mod 3 )
b) On considère le système (S)
ou n est un entier.
n  7 (mod 8 )
Montrer que n est solution du système (S) si et seulement si n  23 (mod 24).
3°/ a) Soit k un entier naturel. Déterminer le reste de 22k modulo 3 et le reste 72k modulo 8.
b) Vérifier que 1991 est une solution de (S) et montrer que l’entier (1991)2008 – 1 est divisible par 24.
Pour une bonne réussite
Signature : Dhahbi . A
Série d’exercices : Arithmétiques
3
Dhahbi . A
EXERCICE N°3 :
Soit n un entier naturel non nul .Déterminer en fonction de n : pgcd (n2 + 1, n + 1)
EXERCICE N°5:
Montrer que si a et b sont deux entiers relatifs premiers entre eux alors p.g.c.d (a + b,a – b) est égal à 1ou à 2.
EXERCICE N°7:
n désigne un entier naturel.
1°/ Montrer que PGCD (n + 2, 5 n 3 – n) = PGCD (n + 2, 38).
2°/ Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que n + 2 divise 5 n 3 – n.
3°/ Quelles sont les valeurs possibles de PGCD (n + 2, 5 n 3 – n) ?
4°/ Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que PGCD (n + 2, 5 n 3 – n) = 19.
EXERCICE N°10 :
Soit n entier naturel non nul, on pose: A = 3n + 2n et B = 3n+1 + 2n+1
Démontrer que A et B sont premier entre eux.
EXERCICE N°12:
Déterminer les paires {a, b} d’entiers naturels non nuls tels que: 2m + 7 d = 111
ou m = a v b et d = a ^ b
EXERCICE N°19:
1°/ Déterminer p.g.c.d (21590, 9525).
2°/ Résoudre dans Z2 l’équation : 21590 x + 9525 y = 1270.
EXERCICE N°6:
Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5. Montrer que p2 – 1 est divisible par 24.
EXERCICE N°13 :
1°/ Soit d, k, et k’ des entiers naturels vérifiant d = 5k et d = 2k’.Vérifier que d = 10 (k’ – 2 k).
2°/ Soit n entier naturel non nul.
a) Montrer que n (n4 – 1) est divisible par 5.
b) Montrer que n (n4 – 1) est divisible par 2.
c) En déduire que n (n4 – 1) est divisible par 10.
EXERCICE N°14
On cherche tous les couples d’entiers naturels non nuls a et b tels que a ≤ b et vérifiant (1) :
m + 10 d = 142 ou d = PGCD (a, b) et m = PPCM (a, b) ;
1°/ Soient a1 et b1 les quotients respectifs des divisions euclidiennes de a et b par d.
Trouver une relation entre a1, b1 et d si (a, b) est solution de (1).
2°/ Montrer que l’on ne peut avoir que d = 1 ou d = 2.
3°/Quelles sont les valeurs possibles de a dans chaque cas et conclure ?
EXERCICE N°12:
Soit n un entier naturel tel que n ≥ 2 .On considère les entiers A = 3 n + 4 et B = 9 n – 5.
1°/ Déterminer suivants les valeurs de n, le PGCD de A et B. (on distinguera les cas 2 ≤ n ≤ 10 et n ≥ 11)
2°/ Déterminer l’ensemble des entiers naturels n pour lesquelles PGCD (A, B) =17 et PPCM(A,B) = 170.
EXERCICE N°4:
1°/ Déterminer le PGCD de 2688 et 3024.
2°/ Dans cette question x et y sont des entiers relatifs.
a) Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes :
(1) 2688x + 3024y = - 3360 (2) 8x + 9y = -10
b) Vérifier que (1; -2) est solution particulière de l’équation (2).
3°/ L’espace E est rapporté à un repère orthonormé R ( o , i , j , k ) .
On considère les plans P et P’ d’équations respectives: P : x + 2y - z + 2 = 0 ; P’ : 3x – y + 5 z = 0 .
a) Montrer que les plans P et P’ se coupent suivant une droite D.
b) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (D).
c) Montrer que les coordonnées des points de D vérifient l’équation (2).
d) En déduire l’ensemble  des points de D dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
EXERCICE N°2(Bac 2008)
On considère dans Z x Z , l’équation ( E ) : 11x - 5y = 2 ou x et y sont des entiers relatifs.
1°/ a) Vérifier, que le couple ( 2 , 4 ) est solution de ( E ).
b) Montrer que ( x , y ) est solution de ( E ) si et seulement si 11( x – 2 ) = 5 ( y – 4 ) .
c) En déduire toutes les solutions de ( E ).
2°/ Soit n un entier naturel non nul. On pose a = 5 n + 2 et b = 7 n + 5 .
a) Calculer 7a – 5 b et en déduire que P.G.C.D( a,b) = 1 ou P.G.C.D( a,b) = 11.
b) Déterminer en utilisant 1°/ les entiers naturels non nuls tels que P.G.C.D( a,b) = 11
EXERCICE N°2(Bac2008)
1°/ Déterminer les couples ( a,b) d’entiers tels que 19a = 7b.
2°/ On considère dans Z x Z , l’équation ( E ) : 19x - 7y = 1 ou x et y sont des entiers relatifs.
a) Vérifier, que le couple ( 3 , 8 ) est une solution particulière de ( E ).
b) Résoudre dans Z x Z , l’équation ( E ).
EXERCICE N°4:
Les deux questions sont indépendantes .En utilisant l’algorithme d’Euclide :
1°/ Déterminer le PGCD de 1064 et 700.
2°/ Déterminer un couple d’entiers relatifs p et q tels que 185p – 401q = 1.
EXERCICE N°5:
1°/ Déterminer p.g.c.d ( 21590, 9525).
2°/ Résoudre dans Z2 l’équation : 21590 x + 9525 y = 1270.
EXERCICE N°2 :
Soit n, a et b trois entiers relatifs non nul.
1°/ Montrer que si n divise a et a – b, alors n divise b.
2°/ En utilisant la première question, montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre 676
divise 27n+ 1 – 26n – 27.