2 année niveaux normal et avancé

GENEVE – Collège Sismondi
MATHEMATIQUES – 2e année niveaux normal et avancé
COMPETENCES MINIMALES - EXEMPLES
Thème algèbre
Polynômes
Addition et multiplication de polynômes, détermination du degré
Ex
4
3
2
2
3
Soit les polynômes A(x) = x - 8x + 5x + 3x – 5 ; B(x) = x – 3 et C(x) = 3x - 2x + 10.
a) Calculer le polynôme D(x) = 3A(x) – 2(B(x) – C(x))
b) Déterminer le degré des polynômes suivants E(x) et F(x) définis ci-dessous :
i) E(x) = A(x) – 2.B(x)
ii) F(x) = A(x) - (B(x))
2
4
c) Déterminer le coefficient de x du polynôme G(x) = A(x).B(x) (sans calculs inutiles).
Division euclidienne de polynômes (division avec reste et schéma de Horner)
Ex
Ecrire lʼégalité fondamentale de la division euclidienne de P(x) par T(x) en utilisant la méthode
de votre choix
a) P(x) = x3 - x2 + x + 4
T(x) = x - 3
b) P(x) = 4x5 +3x3 – 2x2 – 3x + 5
T(x) = 2x2 – 3x + 1
c) P(x) = x5 - a5
T(x) = x + a
(avec a ∈ R)
Evaluation dʼun polynôme
Ex
Evaluer P(x) pour les valeurs de x fixées en utilisant le schéma de Horner, lorsquʼil nʼest pas
possible de trouver le résultat mentalement.
P(x) = 5x4 + 6x3 - 5x2 + 4x - 4
x = -2
x=0
x=
1
2
Détermination des racines rationnelles dʼun polynôme
Ex
4
3
2
Soit P(x) = 18x - 27x + x + 12x - 4
!
a) Déterminer le nombre maximal de racines de P(x) et toutes les racines rationnelles possibles.
b) Déterminer les racines de P(x) ?
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Factorisation des polynômes
Ex
Factoriser les polynômes P(x) et Q(x) suivants :
3
2
a) P(x) = x - x - 14x + 24
4
3
2
b) Q(x) = 6x + 5x - 16x - 9x - 10
Résolution dʼéquations polynomiales
Ex
Résoudre les équations suivantes :
3
2
3x - 4x + 3x - 4 = 0
4
3
2
8x - 16x - 26x + 4x + 6
Fractions rationnelles
Détermination du domaine de définition ; simplification
Addition, soustraction, multiplication et division de fractions rationnelles
Ex
1)
Déterminer le domaine de définition et simplifier les fractions rationnelles suivantes :
2
18x 4 " 9x 3 " 14x2 + 3x + 2
x "x "2
36x 4 " 55x2 " 35x " 6
2
x " 5x + 6
2)
Effectuer :
2
!
x "5
xy
2
#
2xy
!
2
x " 4x + 4
2
x " 5x + 6
2
!
!
2
:
2
2
x + 7x " 8 64 " x
1
1
1
+
a"b a+b
9"x
3x " 27
"
1
x "3
de fractions rationnelles
! Résolution dʼéquations et dʼinéquations constituées
!
Ex
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
2
4
x
x
+
=
x x +1 x2 + x
!
x2 " x " 2
≤ 0
2x " x 2
7
4
3
"
=
x " 3 x " 5 x +1
!
3x + 5
>0
2x " 1
Tableau des signes
!
!
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Thème fonctions
Composition et décomposition de fonctions
Composition de fonctions, détermination du domaine de définition
Ex
1)
Soit les 3 fonctions f, g, h et k définies par i(x) = x, g(x) = 3 – x, h(x) =
1
et k(x) = x 2 " 4x " 5 .
x
a) Déterminer les fonctions suivantes : g o h , h o g , h o k o g
b) Démontrer que h o h = i
!
!
!
Décompositions en fonctions élémentaires
!
Ex
1)
!
!
Ecrire sous forme de composée de fonctions élémentaires les fonctions suivantes définies par
leurs images:
f(x) =
1" x
2
g(x) = x 2 + 4x + 3
!
Fonction
réciproques !
h(x) =
2
x "1
!
Détermination de la réciproque ( « méthode directe » et décomposition en fonctions simples)
Ex
1)
Soit les fonctions suivantes définies par leurs images :
f(x) = 2x - 5
g(x) =
x "2
h(x) = 3 +
2
x
a) Ecrire les fonctions f,g, et h définies ci-dessus comme composée de fonctions élémentaires
!
b) Représenter ces fonctions.
!
c) Déterminer les ensembles A et B maximaux pour quʼelles soient des bijections de A vers B.
d) Déterminer les fonctions réciproques des fonctions ci-dessus et les représenter.
2)
3x " 2
et g(x) = 2x 2 + 8x " 3
x+4
a) Déterminer les ensembles A et B maximaux pour quʼelles soient des bijections de A vers B.
Soit les fonctions f et g définies par f(x) =
b) Déterminer la fonction réciproque de f par la «!méthode directe » (x = …)
!
c) Déterminer la fonction réciproque de g en utilisant la décomposition de fonctions
élémentaires.
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Fonctions polynomiales
Esquisse et reconnaissance de graphiques
Ex
1)
Déterminer le polynôme de degré 3 dont le graphe est donné ci-dessous.
5
4
3
2
1
5 4
3
2
11 0 1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
2
3
4 5
5 4
3
2
11 0 1
2
3
4
5
2
3
4 5
Fonctions homographiques
Esquisse et reconnaissance de graphiques, asymptotes verticales et horizontales
Ex
1)
Soit les trois fonctions
1
f1: x a + 3
x
f2 : x a
1
3+x
f3 : x a -
1
+2
x
a) A l'aide du calcul de ad - bc, dire si elles sont croissantes ou décroissantes sur les
intervalles où elles sont définies
!
!
!
b) Tracer les trois graphiques sur trois repères différents et contrôler les réponses données cidessus (Calculer plusieurs points dont les intersections avec les axes).
2)
Soit la fonction f définie ainsi : :
2x " 3
f: x a
x+2
a) Déterminer le domaine de définition et les intersections avec les axes (zéros, ordonnée à
!
lʼorigine)
b) Déterminer toutes les asymptotes de f
c) Déterminer les ensembles de départ et dʼarrivée maximaux afin que f soit bijective.
d) Déterminer la réciproque de f
e) Sur un repère orthonormé, tracer la fonction f en noir et sa réciproque en rouge.
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Fonctions exponentielles
Définition et propriétés
Ex
1)
Ecrire les réels suivants sous forme décimale
8
1
2
83
" 1 %( 4
$ '
# 16 &
2)
1
#
a 2
3)
3
" a .a
+
2
3
x y3 :
y
3
x
!
Rendre rationnel!le dénominateur
des fractions :
!
5+ 3
!
3
1
#
" a 3 .a 2
2
!
-1
Simplifier l'écriture :
!
1
2
a
!
(0,02)
" 3 %3
$3 4 '
$ '
# &
3+3 2
2 3" 2
Esquisse et reconnaissance
de fonctions exponentielles.
!
Ex
1)
Déterminer lʼexpression des fonctions f et g dessinées ci-dessous.
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Fonctions logarithmiques
Définition et propriétés
Ex
1)
Quels sont les réels x qui vérifient les égalités suivantes :
log(x) = 2
2)
ln( 3 e 2 ) = x
log(1 - x) = 1
logx(8) = -6
Simplifier lʼécriture de :
3log5 2 + 4log5 3 +!2log5
1
4
Application de la formule de changement de base
!
Ex
1)
Approximer log 8 15 (précision 3 décimales)
Esquisse et reconnaissance de graphiques,
!
Ex
1)
Soit la représentation graphique dʼune fonction f représentée ci-dessous.
a) Déterminer lʼexpression de la fonction f en justifiant brièvement la réponse
b) Soit la fonction t : x x a x " 1.
On définit les fonctions g et h de la manière suivante : g = f o t et h = t o f
Dessiner en rouge la fonction g et en bleu la fonction h.
!
!
ORRM/conférence des PG
!
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Equations exponentielles et logarithmiques
Méthode de résolution
Ex
1)
Résoudre les équations suivantes :
!
a
7
3x
=
3
7x
e 2x
4 2x = 3
!
!
! 2)
x"1
2 x = 32
2
# 2 &3
= %a (
$ '
"x
x 2
(3 )
= e6
=
1
27
2 "16 x # 7 " 4 x = 4
!
!
!
!
Résoudre les équations suivantes :
log(x - 2) = 2log(x)
log(x – 5) + log(12 – x) = 1
2
2
ln(x – 4) + ln(2) = 2ln(x + 1)
log (x - 4x + 3) = log (3 - 2x)
log 4 (x) + log2 (x) = 3
! Problèmes dʼapplication
Ex
1)
En 1978, on estimait la population de baleines bleues de lʼhémisphère Sud à 5000 individus.
Puisque la pêche à la baleine a été proscrite dans cette région et quʼune nourriture abondante
était disponible, on sʼattendait à une croissance exponentielle du nombre N(t) des baleines
données par la formule N(t) = N0e 0,0036 t où t est en années.
a) Si t = 0 correspond à 1978, déterminer le nombre théorique de baleines en 2010.
2)
b) Combien dʼannées faudrait-il pour que la population de baleines double ?
!
Dans une culture de bactéries, toute bactérie donne 2 bactéries “filles” après un certain temps
Tg , appelé “durée dʼune génération”. On admet que toutes les bactéries présentes dans le
milieu de culture se divisent en même temps.
3
a) Le nombre initial de bactéries dʼune culture est N0 = 2.10 . Tg=45 minutes. Calculer le
nombre de bactéries présentes au bout de 9h.
9
9
b) Après 3 heures le nombre de bactéries est 64.10 , après 5h il est 1024.10 .
Quel est le nombre initial de bactéries ?
3)
On désire constituer un capital de 50ʼ000.- Fr. par une annuité de 15 termes annuels identiques
versés sur un compte à 4%.
a) Calculer le montant de chaque terme.
b) Quel montant unique faudrait-il effectuer au moment du versement du 1er terme afin de
pouvoir retirer la même somme de 50'000.- Fr. au moment du versement du dernier terme ?
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Fonctions trigonométriques
Angles en radians, cercle trigonométrique, définitions des fonctions sin, cos et tg, propriétés
(amplitude, période, valeurs remarquables, angles)
Ex
1)
Soit le cercle ci-dessous.
A
B
"
Rayon du cercle :
1 unité
sens positif de rotation
a) Construire sur le dessin en bleu le sinus
de α et en vert le sinus de β. Déterminer
le signe de sin(α).
b) Construire la tangente de α et de β.
!
O
Déterminer le signe de tan(β).
c) Placer sur le dessin un angle α ' ayant le
même sinus que α. Placer sur le dessin
un angle β' ayant le même sinus que β.
2)
Sur un cercle trigonométrique (rayon = 10 carrés), construire et calculer les angles β, sachant
que :
3)
a) sin(β) = - 0,5
et
cos(β) > 0
b) cos(β) = 0,8
et
sin(β) < 0
c) tg(β) = -1
et
sin(β) > 0
Sur un cercle de 16 cm de rayon, quelle est la longueur d'un arc correspondant à un angle de
2"
(rad)
5
4)
Montrer que tg(") =
sin(")
cos(")
!
Tracer et reconnaître des graphiques simples
!
Ex
1)
Soit les fonctions f et g définies par f(x) = sin(2x) et g(x) = 2sin(x)
a) Déterminer la période des fonctions f et de g.
b) Représenter les fonctions f et g sur l' intervalle [-π ; π].
c) Déterminer le nombre de solutions de l' équation f(x) = g(x) .
d) Résoudre f(x) =
!
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2
1
; g(x) < 2
2
!
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2)
Déterminer l'expression mathématique et la période des fonctions trigonométriques
représentées ci-dessous.
a)
b)
c)
d)
Equations trigonométriques
Ex
1)
Résoudre les équations suivantes. Placer les solutions sur le cercle trigonométrique
$
#'
1
sin&2x " ) = 0
cos(x " # ) =
%
2(
2
2)
Résoudre les équations suivantes.
#
!
"&
sin (3x) = sin % x + (
$
4'
!
2
4 cos (x) = 3
$
#'
tg &2x " ) = tg (4x)
%
3(
!
!
ORRM/conférence des PG
#
"&
3 tg % 3x + ( = $
4'
!
3
!
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Thème géométrie
Trigonométrie du triangle quelconque
Démonstration des théorèmes du sinus et du cosinus
Résolution de triangles
Ex
1)
Soit ABC un triangle quelconque. Trouver toutes les
C
grandeurs manquantes dans les cas suivants :
"
b
a
!
A
#
c
a) a = 32 cm
c = 41 cm
γ = 63°
b) a = 21 mm
b = 38 mm
c = 52 mm
c) a = 60 mm
β = 31°
γ = 128°
B
Problèmes dʼapplication
Ex
1)
Soit ABC un triangle isocèle tel que
C
a = b ( CA = CB) Exprimer en fonction de b et de β :
#
a) la base c = AB
b
b) la hauteur h issue de C
c) l'aire du triangle ABC.
A
2)
a
h
!
"
c
B
Un téléphérique transporte des passagers dʼun
point A, qui se trouve à 2 km du point B situé au
pied de la montagne Les angles dʼélévation de P
aux points A et B sont respectivement de 21° et
65°.
a) Calculer la distance entre A et P.
b) Calculer la hauteur de la montagne.
3)
Une corde sous-tendant un arc de 82° est à 20 [cm] du centre. Quelle est la longueur de cette
corde ?
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Introduction à la géométrie analytiques
Distances, point milieu dʼun segment
Ex
1)
Soit A = <6;10>, B = <4 ; -6 > et C = <-6; 1> les sommets du triangle ABC et M,N,P
respectivement les points milieux des côtés BC, CA, AB . Déterminer :
a) les coordonnées des points M,N et P
b) les longueurs des trois côtés du triangle
c) les longueurs des segments joignant les points milieux des côtés
d) les longueurs des trois médianes
e) la pente de chaque côté du triangle
f) les coordonnées du point K tel que 2 NK = KB et K ∈ NB
Droites
!
!
Construire, reconnaître et utiliser des équations de droites (parallélisme, perpendicularité)
Ex
1)
Soit le points A = (-4 ; -2) et B = ( 2; -10), soit la droite d : 2x – 3y - 4 = 0
a) Calculer la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite d1 et faire apparaître ces deux
nombres sur le graphique de d1 ; déterminer lʼéquation cartésienne de la droite d1.
b) Déterminer lʼéquation cartésienne de la droite d2 parallèle à d et passant par le point A
b) Déterminer les coordonnées du point dʼintersection des droites d et d1
c) Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment AB.
2)
Soit les droites
d1: x + 2y - 8 = 0
d3
d2: 4x + 3y- 7 = 0
d3: 3x + y - 9=0
d1
Déterminer l'aire du triangle délimité par ces trois droites.
d2
Equations des médianes, médiatrices et hauteurs dʼun triangle
Ex
1)
Soit les points A = <-7; 4>; B = <-1; 8> et C = <13; -6>.
a) Déterminer l'équation de la médiane issue de B.
b) Déterminer l'équation de la hauteur issue de C
c) Déterminer le point d'intersection des médiatrices du triangle ABC,
puis le rayon du cercle circonscrit.
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Cercles
Construire, reconnaître et utiliser des équations de cercles
Ex
1)
2
2
Soit C le cercle défini par l'équation x + y " x = 0
a) Déterminer le centre et le rayon de C.
b) Calculer les coordonnées des points d'intersection de C avec le cercle Γ d'équation
!
2
2
x + y " 4x " 3 = 0
2)
Soit le point T = <4 ; 3> ∈ Γ et le cercle Γ d'équation : x 2 + y 2 " 2x " 4y " 5 = 0
!
a)
Vérifier que le point T ∈ Γ.
b)
Déterminer l'équation de la droite t qui est tangente au cercle Γ et qui passe par le point C .
!
Déterminer les intersections entre droites et cercles
Ex
1)
Soit C le cercle défini par l'équation x 2 + y 2 " 25 = 0 et la droite d : d : x - 2y + 5 = 0
Déterminer l'intersection I du cercle C et de la droite d :
!
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