Ch 4 : Droites parallèles et droites perpendiculaires

Chapitre 4 : Droites perpendiculaires
et droites parallèles
Dans ce chapitre, on utilisera la règle et l’équerre.
1) Droites perpendiculaires :
Rappel : Si deux droites se coupent en un point, on dit qu’elles sont sécantes.
(même si ce point n’est pas sur la figure).
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant quatre
angles égaux (qui sont des angles droits).
Exemple :
(d)
(d’)
(d) et (d’) sont perpendiculaires.
On note :
(d)  (d’)
On code la figure en traçant deux petits traits.
Remarques :
● On code un seul angle droit, pas les quatre !
● On n’écrit pas « à » après le symbole  .
● Le symbole  ne s’écrit pas dans une phrase avec un verbe.
● Lorsqu’il y a trois droites, on n’écrit pas (d)  (d’)  (d’’) mais on écrit
(d)  (d’) et (d’)  (d’’).
● (d’) se lit « d prime » et (d’’) se lit « d seconde »
2) Construction de droites perpendiculaires :
Exemple : A est un point qui n’est pas sur la droite (d).
Construire la droite (d’) perpendiculaire à la droite (d) passant par le point A.
A
(d)
Pour construire la perpendiculaire à la droite (d) passant par le point A, on
pose l’équerre sur (d) et on la fait glisser le long de (d) jusqu’à ce qu’elle
touche le point A.
On trace le morceau de droite, puis on le prolonge de l’autre côté de (d).
On code la figure.
Remarque :
Le côté en face de l’angle droit sert juste à tenir l’équerre. On utilise les deux
autres côtés pour construire.
3) Droites parallèles :
Deux droites distinctes sont parallèles si elles ne sont pas sécantes. Elles
n’ont pas de point d’intersection.
Exemple :
(d)
(d’)
La droite (d) est parallèle à la droite (d’). On note :
(d) // (d’).
Remarques :
● On n’écrit pas « à » après le symbole // .
● Le symbole // ne s’écrit pas au milieu d’une phrase avec un verbe. ll faut
aller à la ligne.
● Lorsque deux droites ne sont pas distinctes, on dit qu’elles sont confondues.
4) Construction de droites parallèles :
On utilise la propriété :
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
En faisant glisser l’équerre le long de la règle, on construit deux droites
toutes les deux perpendiculaires à la règle donc deux droites parallèles.
Exemple : construire la droite parallèle à (d) passant par le point A.
A
(d)
On commence par poser l’équerre sur la droite (d) en face du point A. On pose
ensuite la règle sur l’autre côté de l’équerre et on fait glisser l’équerre le long
de la règle jusqu’au point A.
On trace la parallèle à la droite (d) passant par A. On prolonge si besoin.
Remarques :
● Cette méthode permet aussi de vérifier graphiquement que deux droites
semblent parallèles mais ce n’est pas une preuve.
● Attention à ne pas confondre avec le tracé d’une perpendiculaire où l’on fait
juste glisser l’équerre sur la droite.
5) Pour montrer que deux droites sont
parallèles :
Exemple : Montrer que les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
(d3)
(d1)
(d2)
Preuve :
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
Les deux droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires à la même droite (d3) donc
(d1) et (d2) sont parallèles.
Remarques :
● Lorsqu’on voit deux angles droits sur une figure, les droites sont parallèles.
Pour le montrer, on écrit la propriété dans le cas général puis on la réécrit
avec les lettres de l’énoncé.
● Le 1 de (d1) est écrit en miniature et légèrement sous l’interligne. C’est
pareil pour (d2) et (d3).
● On a aussi la propriété :
Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.
6) Le triangle rectangle :
Définitions :
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Exemple : Construire le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 cm et
AC = 5 cm.
B
3 cm
A
5 cm
C
On construit les deux côtés perpendiculaires [AC] et [AB] de longueur 5 cm et
3cm puis on trace le segment [BC] (sans connaître sa longueur). On code la
figure.
Remarques :
● « rectangle en A » veut dire que l’angle droit se trouve au point A.
● On n’a pas besoin de connaître la longueur du troisième côté pour construire
un triangle rectangle.
● Un triangle peut être isocèle rectangle :
G
3 cm
E
E
3 cm
F
(EF)  (EG) et EF = EG
Le triangle EFG est isocèle rectangle en E. Ses deux côtés perpendiculaires
ont la même longueur.
● Le côté le plus long d’un triangle rectangle est toujours en face de l’angle
droit et s’appelle l’hypoténuse.
7) Le rectangle :
Définition :
Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits.
Exemple : Construire un rectangle ABCD tel que AB = 6 cm et AD = 3 cm.
6 cm
A
B
3cm
3cm
D
C
(AB)  (BC)
(BC)  (CD)
(CD)  (DA)
(DA)  (AB)
Remarque : Attention à l’ordre des points pour construire le quadrilatère
ABCD. Les quatre points doivent se suivre sur la figure.
8) Le carré :
Définition :
Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits et ses quatre côtés
de la même longueur.
Exemple : Construire le carré ABCD tel que AB = 3cm.
A
A
3cm
B
3cm
D
C
(AB)  (BC)
(BC)  (CD)
(CD)  (DA)
(DA)  (AB)
AB= BC = CD = DA
Remarque : Un carré est à la fois un rectangle (car il a quatre angles droits) et
un losange (car il a ses quatre côtés de la même longueur).
Annexe : extrait du programme officiel 2016 :
Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des figures et solides usuels.
Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques (notions de perpendicularité, de parallélisme).
Reconnaitre, nommer, comparer, vérifier, décrire :
- des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples) ;
- Figures planes et solides, premières caractérisations :
- triangles dont les triangles particuliers (triangle rectangle) ;
- quadrilatères dont les quadrilatères particuliers (carré, rectangle) ;
Effectuer des tracés correspondant à des relations de perpendicularité ou de parallélisme de droites et de
segments.
Perpendicularité, parallélisme (construction de droites parallèles, lien avec la propriété reliant droites
parallèles et perpendiculaires).