HST-2901 Histoire des mathématiques

HST-2901 Histoire des mathématiques
Exercices 5: mathématiques orientales et mathématiques médiévales en Europe
1. Rappelons que pour résoudre l’équation x3 + cx =√d, Omar Khayyam fait la construction suivante, où la parabole est d’équation x2 = cy.
Vérifier que l’équation du cercle est
!
d
x
− x = y2
c
et déduire que x0 est la solution de l’équation.
2. Montrer qu’on peut construire la solution de l’équation x3 + d = cx en √
intersectant
d
2
2
2
l’hyperbole d’équation y − x + c x = 0 avec la parabole d’équation x = cy. Tracer
ces deux courbes et trouver les valeurs de c et d pour lesquelles ces courbes sont
disjointes, tangentes, ou s’intersectent en deux points (dans le premier quadrant).
3. Démontrer les propriétés suivantes des nombres de Fibonacci:
(a) Pour tout entier positif n,
F1 + F2 + F3 + . . . + Fn = Fn+2 − 1.
(b) Pour tout entier positif n,
F1 + F3 + F5 + . . . + F2n−1 = F2n .
(c) Pour tout entier positif n,
F2 + F4 + F6 + . . . + F2n = F2n+1 − 1.
4. Rappelons que Fibonacci appelait nombre congru un nombre de la forme
mn(m + n)(m − n)
où m + n est pair
ou de la forme
4mn(m + n)(m − n)
où m + n est impair.
Montrer qu’un nombre congru est toujours divisible par 24.
5. Dans la construction vue au cours du nombre congru, dans le cas 0 < m < n, avec
n
m+n
n
m+n
<
avec m et n de même parité, où utilise-t-on l’hypothèse
<
?
m
m−n
m
m−n
6. (a) Trouver toutes les suites distinctes de nombres impairs consécutifs > 1 dont la
somme est égale à 120. Trouver trois carrés consécutifs dont l’écart est de 120.
(b) Même question pour la somme 240.
m+n
n
<
avec m et n de parité opposée. Vérifier
m
m−n
que les 2n(m − n) nombres impairs consécutifs disposés également de part et d’autre
de 2(m + n)m, et les 2m(m − n) nombres impairs consécutifs disposés également de
part et d’autre de 2(n + m)n, constituent deux suites adjacentes de nombres impairs
consécutifs supérieurs à 1 qui ont la même somme 4mn(m + n)(m − n).
7. Supposons 0 < m < n, avec
m+n
n
>
et m et n de même parité, alors la suite
m
m−n
de m(m + n) nombres impairs consécutifs centrée en (m − n)n, et la suite de m(m − n)
nombres impairs consécutifs centrée en (m + n)n constituent deux suites adjacentes de
nombres impairs consécutifs > 1 de même somme mn(m + n)(m − n).
8. Vérifier que si 0 < m < n, avec
Figure 1: Exercice 9 (b): le pentacle
√
9. Le nombre φ := ( 5 − 1)/2, qui est solution de l’équation x2 + x − 1 = 0, et qui est
égal à limn→∞ Fn /Fn+1 est appelé nombre d’or, et est connu de longue date.
(a) Chez Euclide, le problème de couper en moyenne et extrême raison un segment
donné consiste à le couper de telle manière que le rapport de la section la plus
courte à la plus longue soit égal au rapport de la plus longue section au segment
entier. Vérifier que ce rapport est égal à φ.
(b) Montrer que dans un pentagone régulier, le raport d’un côté à la diagonale
(CD/AC sur la figure) est égal à φ, et que deux diagonales qui s’intersectent
se coupent en moyenne et extrême raison.
10* (a) Démontrer le théorème suivant qui est dû à Lamé et date de 1845: parmi toutes les
paires de nombres naturels u > v > 0 pour lesquelles l’algorithme d’Euclide prend
exactement n étapes pour arriver au reste 0, celle qui minimise u est u = Fn+2 ,
v = Fn+1 .
(b) Déduire que le nombre maximal d’étapes pour trouver (a, b) est au plus 5 fois
nombre chiffres du plus petit des nombres a, b.