Modèle mathématique.

Chap 9 : Cosinus d’un angle aigu
dans un triangle rectangle
Le cosinus sert à calculer un angle ou bien la longueur d’un côté d’un triangle
rectangle. On l’utilise en construction (pente d’un terrain), en repérage
(boussole, astronomie), …
Une calculatrice « collège » avec la touche lcos est indispensable dans tout le
chapitre. Elle doit être en MODE Degré. (D affiché en haut). On utilisera aussi
le rapporteur.
1) Vocabulaire :
Notations :
hypoténuse e
Hypoténus
C
B
A
côté adjacent à l’angle C
L’hypoténuse d’un triangle rectangle est le côté le plus long, situé en face de
l’angle droit.
Le côté adjacent à un angle aigu est le côté qui « touche » l’angle et qui n’est
pas l’hypoténuse. (un angle aigu est plus petit que 90°)
Remarques :
● attention, pour l’angle B, le côté adjacent est AB et le côté opposé est AC.
● Il n’y a pas de côté adjacent pour l’angle A qui est droit.
2) cosinus d’un angle aigu :
définition :
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle est égal au côté adjacent divisé
par l’hypoténuse.
Il se note cos.
Exemple :
B
5
3 cm
C
4 cm 4
A
Le triangle ABC est rectangle en A
cos C =
AC
BC
( côté adjacent sur hypoténuse )
Remarques :
● Il faut toujours commencer par écrire que le triangle est rectangle, sinon il
n’y a pas d’hypoténuse.
● Le cosinus d’un angle est toujours plus petit que 1 car c’est le résultat d’une
division par un nombre plus grand (l’hypoténuse est le côté le plus long).
● Le cosinus d’un angle est aussi donné par la touche lcos de la calculatrice qui
doit être en mode degré (D ou DEG affiché).
cos 0° = 1
cos 30° ≃ 0,87
cos 60° = 0,5
Plus l’angle est grand, plus son cosinus est petit.
● Il faut connaître ABSOLUMENT PAR CŒUR la formule :
lcosinus d’un angle =
côté adjacent
hypoténuse
3) Calcul d’un côté connaissant un angle et un
côté :
Rappel : Pour calculer un nombre qui manque dans une égalité de deux fractions,
on multiplie les deux nombres en diagonale et on divise par le troisième
nombre :
10 2
=
5 1
et 1 =
Exemple :
5x2
10
B
6cm
30°
C
A
Dans le triangle ABC rectangle en A tel que BC = 6cm et ACB = 30°, calculer la
longueur AC. (on donnera sa valeur exacte puis sa valeur approchée arrondie au
millimètre )
Le triangle ABC est rectangle en A.
AC
BC
cos 30° AC
=
1
6
cos ACB =
lAC = 6cos 30°
(valeur exacte )
lAC ≃ 5,2 cm
(valeur approchée)
Remarques :
● On écrit toujours le nombre AVANT le cosinus de l’angle.
(6 x cos30 et pas cos30 x 6)
● On tape à la calculatrice « 6cos 30 l= » et on arrondit le résultat obtenu.
Attention, on ne calcule JAMAIS séparément un nombre qui n’est pas exact.
● Si on cherche l’hypoténuse, le cosinus se retrouve au dénominateur dans la
valeur exacte :
BC =
AC
cos ACB
● Si on connaît deux côtés du triangle rectangle, le troisième peut se calculer
avec le théorème de Pythagore.
4) Trouver un angle connaissant ses deux
côtés :
Exemple :
B
5
C
3
4
A
Donner la valeur approchée au degré près de l’angle ACB.
Le triangle ABC est rectangle en A
AC
cos ACB =
BC
4
cos ACB =
5
ACB ≃ 37°
Sur la calculatrice on tape lseconde lcos (4 l: 5) =
et on arrondit à l’unité le résultat obtenu.
Mais ON N’ECRIT PAS sur sa feuille « seconde cos 4 : 5 = ».
Remarque : la somme des angles d’un triangle est égale à 180°. On peut donc
rapidement calculer B quand on connaît C :
A + B + C = 180° donc B = 180 - A - C = 180 – 90 – 37 = 53°
On peut aussi calculer B en utilisant son cosinus.
Annexe : extrait du programme officiel :
Triangle rectangle : cosinus d’un angle.
- Utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d’un angle aigu et les
longueurs des côtés adjacents.
- Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée :
- du cosinus d’un angle aigu donné ;
- de l’angle aigu dont le cosinus est donné.